Расширение выражений — expand

Даже в жизни мы говорим: «не все так просто». Порою упрощенное выражение скрывает его особенности, знание которых является желательным. В этом случае можно говорить о полезности расширения или раскрытия выражения. Функция expand «расширяет» выражение expr и записывается в виде

expand(expr, expr1, expr2, ..., exprn)

где expr — расширяемое выражение, expr1, expr2, …, exprn — необязательные подвыражения — опции. Имеется также инертная форма данной функции — Ехpand(expr). Кроме того, возможно применение операторной конструкции frontend(expans,[expr]).

Функция expand раскладывает рациональные выражения на простые дроби, полиномы на полиномиальные разложения, она способна раскрыть многие математические функции, такие как sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, det, erf, exp, factorial, GAMMA, ln, max, min, Psi, binomial, sum, product, int, limit, bernoulli, euler, abs, signum, pochhammer, polylog, BesselJ, BesselY, BesselI, BesselK, AngerJ, Beta, Hankel, Kelvin, Struve, WeberE и функция piecewise. С помощью дополнительных аргументов expr1, expr2, …, exprn можно задать расширение отдельных фрагментов в expr.

Примеры применения функции expand приведены ниже (файл expand):

> expand((х+2)*(х+3)*(х+4));

x³ + 9х² + 26х + 24

> expand(sin(2*х));

2sin(x)cos(x)

> expand(sin(х+у));

sin(x)cos(y) +cos(x)sin(y)

> expand([(a+b)*(a-b),tan(2*x)]);

> expand((a+d)*(b+d)*(c+d));

abc + abd + adc + ad² + dbc + d²b + d²с = d³

> expand((х+1)*(y+1));

xy + х + у + 1

> expand((у+1),(х+1));

y + 1

> expand( (х+1) *(у+z));

ху + xz + y +z

> expand((х+1)*(y+z), х+1);

(х + 1)y +(х + 1)z

> frontend(expand,[(a+b)^3]);

а³ + 3a²b + 3аb²+b³

32. Символьные преобразования выражений. Команда factor, collect. Разложение выражений (факторизация) — factor

Для алгебраических выражений функция факторизации записывается в вычисляемой и невычисляемой (инертной) формах:

factor(a)

Factor(a)

factor(a,K)

Factor(a,K)

Здесь а — полином с несколькими переменными, К — необязательное алгебраическое расширение. Для получения результата от инертной формы функции факторизации надо использовать функции вычисления evala или evalgf.

Главная цель факторизации — это нахождение максимального числа независимых сомножителей выражения, линейных по заданным переменным с коэффициентами наиболее простой формы. Ниже представлены примеры применения функции factor:

> factor(а^2+2*а*b+b^2);

(а+b)²

> factor(а^2-2*а*b-b^2);

а² - 2ab - b²

> p:=expand((х-1)*(х-2)*(х-3)*(х-4));

р: = х⁴ - 10х³ + 35х² - 50х + 24

> factor(р);

(х-1)(х-2)(х-3)(х-4)

> factor(х^5-2,2^(1/5));

(х -2^(1/5))(х⁴ + х³2^(1/5) + х²2^(2/5) + х²2^(3/5) + 2^4/5))

> alias(alpha=RootOf(х^2-2));

α

> factor(х^2-2,alpha);

(х + α)(х - α)

> factor(х^3-у^3);

(х - у)(х² + ху + y²)

> factor(х^3-у^3, (-2)^(1/2));

(x - y)(x² + ху + y²)

> factor(х^3-у^3, (-3)^(1/2));

> factor(х^3-3,complex);

(х+.7211247852 + 1.249024766I)(х+.7211247852 - 1.249024766I) (х - 1.442249570)

Комплектование по степеням — collect

Еще одна функция общего назначения — collect — служит для комплектованиявыражения expr по степеням указанного фрагмента х (в том числе множества либо списка). Она задается в одной из следующих форм:

collect(а, х)

collect(а, х, form, func)

Во второй форме этой функции дополнительно задаются параметры form (форма) и func (функция или процедура). Параметр form может иметь два значения: recursive (рекурсивная форма) и distributed (дистрибутивная форма). Параметр func позволяет задать имя функции, по которой будет идти комплектование expr. Примеры применения функции collect представлены ниже (файл collect):

> collect(х+х^3-2*х,х);

-x + x³

> collect(х+2*у^3+х+3+х^3*у,recursive, х);

х(2х + 2у³ + 3 + х³y)

> collect(х+2*у^3+х+3+х^3*у,distributive,у);

у(2х + 2y³ + 3 + х³y)

> f:=а*ехр(х)-ехр(х)*х-х;

f: = ае^х - е^x - х

> collect(f,ехр(х));

(а - х)е^х - х

> g:=int(х*(ехр(х)+ехр(-х)),х);

> collect(g,ехр(х));

> р:=х*у+а*х*у+у*х^2-а*у*х^2+х+а*х;

р:= ху + аху + уx² - аух² + х + ах

> collect(р,[х,у],recursive);

(1 - а)ух² + ((1 + а)у + 1 + а)х

> collect(р,[х,у],distributed);

(1 +а)х + (1 + а)ху + (1 - а)ух²

> f:=а^3*х^2-х+а^3+а;

f:= а³х² - х + а³ + а

> collect(f,х);

а³х² - х + а³ + а

> collect(f,х,factor);

а³х² - х + а(а² + 1)

> p:=y/x+2*z/x+x^(1/3)-у*х^(1/3);

> collect(р,х);