12. Математический анализ. Исследование функций. Разложение и приближение функций.

Для разложения функции в ряд Тейлора в Maple используется команда series. Она зависит от трех параметров: первый - разлагаемая функция; второй задает точку, в окрестности которой ведется разложение; третий определяет порядок бесконечно малых, с точностью до которых члены ряда будут вычисляться явно.

 

> f:=int(sin(x)/x, x); series(f, x=0,10);

f:= Si(x)

> h:=series(log(x), x=1, 5);

 

Часто бывает полезно преобразовать ряд в полином, отбросив остаточный член.

 

>convert(h,polynom);

 

Дополнительные возможности манипулирования с формальными степенными рядами (например, умножения рядов) можно получить, подгрузив специализтрованный пакет powerseries.

Примеры анализа функций на непрерывность(-функция непрерывна,-имеет разрыв, closed - показывает, что конечные точки должны проверяться):

1.> iscont( 1/x, x=1..2 );
2.> iscont( 1/x, x=-1..1 );
3.> iscont( 1/x, x=0..1 );
4.> iscont( 1/x, x=0..1, 'closed' );

Примеры определения точек нарушения непрерывности:

1.> discont(1/(x-2),x);
2.> discont(1/((x-1)*(x-2)*(x-3)),x);

Примеры нахождение экстремума:

1.> extrema(2*x^2+3*x-7,{},x);
2.> extrema( a*x^2+b*x+c,{},x );

Примеры нахождение минимального значения- (minimize - минимальное значение , maximize - максимальное значение):

1.> minimize(exp(tan(x)), x=0..10);
2.> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3);

Примеры вычисления приделов (infinity - бесконечность,  - несуществует):

1.> limit(sin(x)/x, x=0);
2.> limit(exp(x), x=infinity);
3.> limit(exp(x), x=-infinity);
4.> limit(1/x, x=0, real);
5.> Limit(sin(x), x=0);

13. Математический анализ. Дифференцирование функций. Интегрирование. Производные

Для вычисления обычных и частных производных в Maple

используется команда (функция) diff, первый аргумент которой есть дифференцируемая функция, а второй - переменная, по которой надо брать производную.

 

> diff(sqrt(x^2+3), x);

> diff(diff(z*sin(z), z), z); diff(z*sin(z), z, z);

2 cos(z) - z sin(z)

2 cos(z) - z sin(z)

Обратите внимание на эквивалентность двух последних команд.

Еще несколько примеров:

 

> Diff(exp(x^2)*sin(1/x),x,x);

> diff(x^3+t*x+t, x);

3 x² + t

> diff(x^3+t*x+1, t);

x

 

Разумеется, переменная, по которой ведется дифференцирование, должна быть именно переменной (в математическом смысле). В противном случае Maple выдаст сообщение об ошибке.

 

> x:=4: diff(x^2+3*x, x);

Error, wrong number (or type) of parameters in function diff

> x:='x': diff(x^2+3*x, x);

2 x + 3

>

Обратите внимание на то, как было отменено присваивание переменной x конкретного числового значения.

Для нахождения производной неявной функции используется

implicitdiff, у которой второй параметр - неявно заданная функция, а третий - аргумент, по которому ведется дифференцирование:

 

> implicitdiff(x^2+3*y*x+y^3,y,x);

 

Кроме команды diff, в Maple имеется также оператор дифференцирования D. Проиллюстрируем его действие на примерах:

> D(x^3); D([sin,cos,tan]);

3 D(x) x²

[cos, -sin, 1 + tan²]

Вышеприведенные примеры показывают, что, в отличие от функции diff, D не требует второго аргумента. Дифференцируя выражение x³, D рассматривает x не как независимый аргумент, а как некоторую функцию. Если результат операции дифференцирования затруднительно записать без использования аргумента дифференцируемой функции, то Maple "выкрутится" следующим образом:

> D(D(log));