Интегралы

Для нахождения определенных и неопределенных интегралов в Maple используется функция int, зависящая от двух аргументов, первый из которых представляет собой подынтегральное выражение, а второй - переменную, по которой ведется интегрирование. Если для второй переменной указан диапазон изменения переменной, то Maple ищет определенный интеграл, а в противном случае - неопределенный (возращается одна из первообразных).

 

> int(sin(x)*x^2, x);

-x² cos(x) + 2 cos(x) + 2 x sin(x)

> Int(x/(x^2+x+1),x)=int(x/(x^2+x+1),x);

> int(x^3-t*x^2+4*t, x=1..4);

> int(sin(x)/x, x);

Si(x)

 Последний интеграл не выражается конечным числом элементарных функций. В таких случаях Maple пытается найти интеграл, используя специальные функции. В приведенном примере это несложно сделать с помощью интегрального синуса. Если же Maple все-таки не сможет взять интеграл в конечном числе элементарных и специальных функций (это не обязательно означает, что он не берется), то результатом вызова функции int будет перевод всей команды в математический формат так, как если бы мы использовали инертную форму функции интегрирования ( Int ).

> g:= int(sin(1/cos(x)), x);

> diff(g, x);

Для численного интегрирования команда int используется в комбинации с функцией evalf . Причем в этом случае неважно, какая форма функции Int используется: активная или инертная.

> evalf(int(sin(x^2), x=1..2)); evalf(Int(cos(x^2), x=1..2));

.4945081882

-.4430627755

14. Обзор пакетов Maple 15. Пакет linalg. Элементарные операции с матрицами и векторами. Состав пакета linalg

Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4–5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и трудно обозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.

Поэтому разработчики Maple были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т.д. Решение задач линейной алгебры в численном виде можно рассматривать как одну из форм визуализации результатов вычислений, относящихся к линейной алгебре.

В ядро Maple, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры linalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Для их просмотра достаточно использовать команду:

> with(linalg);

Для большинства пользователей системой Maple набор функций пакета оказывается чрезмерно обширным и потому опущен. Укажем, однако, наиболее употребительные функции пакета linalg:

• addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;

• addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;

• angle — вычисляет угол между векторами;

• augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;

• backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);

• band — создает ленточную матрицу;

• basis — находит базис векторного пространства;

• bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов;

• BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;

• blockmatrix — создает блок-матрицу;

• cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;

• charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) матрица, вычисляемая как v∙E-М);

• charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;

• colspace — вычисляет базис пространства столбцов;

• colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;

• companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;

• cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M)∙norm(M^-l));

• curl — вычисляет ротор вектора;

• definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;

• diag — создает блок-диагональную матрицу;

• diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;

• eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;

• eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;

• equal — определяет, являются ли две матрицы равными;

• exponential — создает экспоненциальную матрицу;

• ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;

• fibonacci — матрица Фибоначчи;

• forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например для матрицы L и вектора b forwardsub(L,b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L∙x=b);

• frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы;

• gausselim — Гауссово исключение в матрице;

• gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса-Жордана);

• geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;

• genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;

• grad — градиент векторного выражения;

• GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;

• hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;

• hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;

• hilbert — создает матрицу Гильберта;

• htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;

• ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;

• indexfunc — определяет функцию индексации массива;

• innerprod — вычисляет векторное произведение;

• intbasis — определяет базис пересечения пространств;

• ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;

• iszero — проверяет является ли матрица ноль-матрицей;

• jacobian — вычисляет якобиан векторной функции;

• JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;

• kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;

• laplacian — вычисляет лапласиан;

• leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;

• linsolve — решение линейных уравнений;

• Ludecomp — осуществляет LU-разложение;

• minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;

• mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;

• mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;

• multiply — перемножение матриц или матрицы и вектора;

• normalize — нормализация вектора;

• orthog — тест на ортогональность матрицы;

• permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;

• pivot — вращение относительно элементов матрицы;

• potential — вычисляет потенциал векторного поля;

• Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;

• randmatrix — генерирует случайные матрицы;

• randvector — генерирует случайные векторы;

• ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;

• references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;

• rowspace — вычисляет базис пространства строки;

• rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;

• rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;

• scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;

• singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;

• singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;

• smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;

• submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;

• subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;

• sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;

• swapcol — меняет местами два столбца в матрице;

• swaprow — меняет местами две строки в матрице;

• sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;

• toeplitz — создает матрицу Теплица;

• trace — возвращает след матрицы;

• vandermonde — создает вандермондову матрицу;

• vecpotent — вычисляет векторный потенциал;

• vectdim — определяет размерность вектора;

• wronskian — вронскиан векторных функций.

Назначение многих функция вполне очевидно из названия. Далее мы рассмотрим более подробно некоторые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. Для этого достаточно использовать команду ?name;, где name — имя функции (из приведенного списка).