Операции над степенными многочленами с отрицательными степенями
Хотя в подавляющем большинстве случаев используются степенные многочлены (полиномы) с положительными степенями, Maple не накладывает особых ограничений и на многочлены с отрицательными степенями. Например, можно задать такой степенной многочлен:
> pp:=а*х^(-2)+b*x^(-1)+c*x+d+e*x^2+f*х^3;
Нетрудно показать, что с ним можно выполнять различные операции:
> рр+рр;
> рр-рр;
0
> pp^2
> simplify(%);
> Diff(pp, x)=diff(pp, x)
> Int(pp,x);
> int(рр,х);
Хотя Maple и не накладывает ограничений на применение степенных многочленов (полиномов) с отрицательными степенями свойства таких полиномов заметно отличаются от свойств полиномов с положительными степенями, поэтому при применении первых надо проявлять известную осторожность.
10. Решение уравнений и неравенств.
Решение одиночных нелинейных уравнений вида f(х)=0 легко обеспечивается функций solve(f(x),x). Это демонстрируют следующие примеры (файл solve):
> solve(х^3-2*х+1,х);
> solve(х^(3/2)=3,х);
3(2/3)
> evalf(%);
2.080083823
> solve(sqrt(ln(х))=2,х);
e4
> evalf(%);
54.59815003
Если уравнение записывается без правой части, то это означает, что она равна нулю. Часто бывает удобно представлять уравнение и его решение в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной (файл solve):
> eq:=(2*х^2+х+3=0);
eq := 2x²+x+3 = 0
> s: = [solve(eq,x)];
В частности, это позволяет легко проверить решение (даже если оно не одно, как в приведенном примере) подстановкой (subs):
> subs(x=s[1],eq);
> subs(x=s[2],eq);
> evalf(%);
0. + 0.I = 0.
Сводящиеся к одному уравнению равенства вида f1(х)=f2(x) также решаются функцией solve(f1(x)=f2(x),x):
> solve(х^4=-х-1,х);
RootOf(_ Z4 + _Z + 1, index = 1), RootOf (_Z4 + _Z + 1, index = 2), RootOf(_Z4 + _Z + 1, index = 3), RootOf(_ Z4 +_Z + 1, index = 4)
> evalf(%);
.7271360845 + .9340992895 I, -.72711360845 + .4300142883 I, -.7271360845 - .4300142883 I, .7271360845 - .9340992895 I
> solve({exp(x)=sin(x)},x);
{x = RootOf(_ Z-ln(sin(_Z)))}
> evalf(%);
{x = .3627020561 - 1.133745919I}
> solve(x^4=2*x,x);
> evalf(%);
0., 1.259921050, -.6299605250 + 1.091123636 I, -.6299605250 - 1.091123636 I
Обратите внимание в этих примерах на эффективность применения функции evalf, позволяющей получить решения, выраженные через функцию RootOf, в явном виде.
Некоторые даже с виду простые уравнения могут дать неожиданные для многих пользователей результаты. Пример такого рода приведен ниже (файл solve):
> restart;eq:=ехр(-х)=х;sol:=solve(exp(-х)=х,х);
eq := е(-х) = х sol = LambertW(1)
> evalf(sol);
0.5671432904
В данном случае решение получено через значение специальной функции Ламберта. Впрочем, с помощью функции evalf его можно представить в численном виде.
Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства. Они вводятся знаками отношений, например > (больше), < (меньше) и т.д. Решение неравенств существенно расширяет возможности функции solve. При этом неравенства задаются так же, как и равенства. Приведенные на рис. 4.35 примеры поясняют технику решения неравенств.
Рис. 4.35. Примеры, иллюстрирующие решение неравенств
Из приведенных примеров очевидна форма решений — представлены критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значений области действия неравенства (они указываются словом Open). Всегда разумным является построение графика выражения, которое задает неравенство — это позволяет наглядно убедиться в правильности решения.
Приведем еще несколько примеров решения неравенств в аналитической форме (файл solveu):
> solve(5*х>10,х);
RealRange(Open(2), ∞)
> solve(5*х>=10,х);
RealRange(2, ∞)
> solve(ln(х)>2,х);
Rea1Range(Open(e²), ∞)
> solve(ехр(х)>10, х);
RealRange(Open(ln(10)), ∞
> solve(a*x>b,{х});
> eqn := abs(z)^2/(z+1) < ехр(2)/(ехр(1)-1);
> solve(eqn, {z});
> eqn := ехр(х)*х^2 >= 1/2;
> solve(eqn, {x});
> eqns := abs((z+abs(z+2))^2-1)^2 = 9;
eqns := |(z +|z + 2|)² - 1|² = 9
> solve(eqns, {z});
{z = 0 }, { z ≤ -2}
> eqns := { х^2<1, у^2<=1, х+у<1/2 };
eqns:={х² < 1, y² ≤ 1, х + y < ½}
> solve(eqns, {x, у});
{y ≤ 1, -1 ≤ y, x+y < ½, -1 < x, x < 1}
В последнем примере показано решение системы неравенств. При этом выдаются области определения нескольких переменных.