22. Системы нелинейных и трансцендентных уравнений. Решение уравнений в численном виде. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений
Функция solve может использоваться для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств. Ниже приведены примеры решения уравнений (файл solvenl):
> restart;
> solve{{х*у=а,x+y=b},{х,у});
у = RootOf(_Z² - _Zb + а), х = -RootOf(_Z² -_Zb + a)+b)
> allvalues(%);
> s:=solve({x*y=2,x+y=3},{x,y});
s:={y = 1, x = 2}, {y = 2, x = 1}
> assign(s); x; y;
1 2
> unassign('x'); y:= 'y';
y:= y
> [x, y];
[x,y]
В этих примерах хорошо видна техника работы с функциями solve и assign. В конце примеров показано восстановление неопределенного статуса переменных х и у с помощью функции unassign и снятие определения переменных с помощью заключения их в прямые апострофы.
Приведем еще один пример решения системы нелинейных уравнений с проверкой правильности решения с помощью функции eval:
> eqs: = {2*х+4*у=6,у+1/х=1};
> r:=solve(eqs, {х, у});
r:= {y = 2, х = -1}, {у = ½, х = 2}
> eval(eqs,r[1]);
{1 = 1, 6 = 6}
> eval(eqs,r[2]);
{1 = 1, 6 = 6}
Для проверки всех решений можно использовать также функции map и subs:
> map(subs,[r],eqs);
[{1 = 1, 6 = 6}, {1 = 1, 6 = 6}]
Maple имеет и еще ряд возможностей для проверки решений, но представленных обычно вполне достаточно для такой проверки. Ее следует принять за правило при выполнении решений уравнений.
Решение в численном виде — функция fsolve
Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в формате вещественных чисел удобно использовать функцию
fsolve(eqns, vars, options)
Эта функция может быть использована со следующими параметрами:
complex — находит один или все корни полинома в комплексной форме; fulldigits — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функцией Digits;
maxsols=n — задает нахождение только n корней;
interval — задается в виде а..b или х=а..b или {x=a..b, y=c..d, …} и обеспечивает поиск корней в указанном интервале.
Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры (файл fsolve):
> fsolve(sin(х)=Pi/4,х);
.9033391108
> fsolve(sin(х)=1/2,х=4..8);
6.806784083
> fsolve(2*х^2+х-1=10,x);
-2.608495283, 2.108495283
> fsolve(х^5-х,x);
-1., 0., 1.000000000
> fsolve(х^5-х,x,complex);
-1.000000000, -1.000000000 I, 0., 1.000000000 I, 1.000000000
> eqns := abs(x)*x+exp(x) > 0;
eqns:= 0 <|x|x +ex
> solve(eqns, {x});
{-2 LambertW(½)<x}
> f := sin(x+y) — exp(x)*y = 0: g := x^2 - у = 2:
fsolve{{f,g},{x,y},{x=-1..1,y=-2..0});
{x = -.6687012050, у = -1.552838968}
Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые не удается получить с помощью функций solve и fsolve в обычном применении. В последнем из приведенных примеров дается решение системы нелинейных уравнений, представленных уравнениями f и g.
Чтобы еще раз показать различие между функциями solve и fsolve, рассмотрим пример решения с их помощью одного и того же уравнения erf(x) = 1/2:
> solve(erf(х)=1/2,х);
RootOf(2 erf(_Z) -1)
> fsolve(erf(x)=1/2);
.4769362762
Функция solve в этом случае находит нетривиальное решение в комплексной форме через функцию RootOf, тогда как функция fsolve наводит обычное приближенное решение.
Мы уже отмечали, что функция solve дает решение уравнения ехр(-х) = х в форме специальной функции Ламберта. Нетрудно заметить, что функция fsolve дает результат сразу в форме числа с плавающей точкой:
> restart;eq:=exp(-х)=х;sol:=fsolve(ехр(-х)=х,х);
eq: = e(-x) = х sol: =0.5671432904