11. Математический анализ. Пределы, суммы. Ряды. Пределы
Для нахождения пределов служит функция limit , которая может иметь два или три аргумента. Первый аргумент. - это функция (последовательность), предел которой надлежит искать. Второй указывает переменную и значение, к которому ее надо устремить.
Смысл третьего, необязательного параметра будет ясен из рассматриваемых ниже примеров.
> limit(sin(3*x)/x, x=0);
3
> limit((1+1/n)^n,n=infinity);
e
> limit((exp(x^2)+sin(x)^2)^(1/(x^2)),x=0);
e2
В следующем примере предел значений функции при стремлении аргумента к 0 не определен, поскольку односторонние пределы различны:
> a:= (exp(x^2)+sin(x))^(1/(x^2));
>
> limit(a, x=0); limit(a, x=0, left); limit(a, x=0, right);
undefined
0
В
зависимости от того, где - в действительной
или в комплексной области - ведутся
вычисления, Maple по-разному интерпретирует
константу infinity (бесконечность), различая
понятия + 
и
-
в
области вещественных чисел или оперируя
понятием бесконечно-удаленной точки
комплексной плоскости:
>limit(1/x,x=0, real);
undefined
>limit(1/x,x=0, complex);
infinity
Многие функции, в том числе большинство команд (функций) математического анализа, можно вызывать в так называемой инертной форме. Инертная форма функции (если она имеется) именуется так же, как и активная, с той разницей, что первая буква имени заменяется на соответствующую заглавную. (Заметим, что существуют функции, не имеющие инертной формы, имена которых начинаются, тем не менее, с заглавных букв.) В случае использования инертной формы вычисления откладываются. Этот эффект можно, в частности, использовать для оформления математических документов:
> Limit((n^3+3*n)/2^n, n=infinity) = limit((n^3+3*n)/2^n, n=infinity);
Суммы и ряды
Maple умеет находить конечные и бесконечные суммы, а также разлагать функции в степенной ряд в окрестности указанной точки и с указанной точностью. Рассмотрим примеры:
>sum(i^3, i=0..5);
225
Во избежание ошибок (связанных, например, с тем, что переменная по которой ведется суммирования уже имела какое-то значение) рекомендуется заключать общий член и переменную суммирования в одинарные кавычки.
> sum('a[k]*x^k','k'=0..n);
> sum('1/k!', 'k'=0..infinity);
e
> sum('1/k^2', 'k'=1..infinity);
Как и в случае с интегралами, если ответ не выражается в конечном числе элементарных функций, Maple использует специальные функции, а если и это не помогает просуммировать ряд, ограничивается переводом выражения в математический формат вывода.
> sum('(1/k!)^2', 'k'=0..infinity);
BesselI(0, 2)
> sum('1/k^3', 'k'=1..infinity);
> sum('1/(k^2)!', 'k'=0..infinity);
Для разложения функции в ряд Тейлора в Maple используется команда series. Она зависит от трех параметров: первый - разлагаемая функция; второй задает точку, в окрестности которой ведется разложение; третий определяет порядок бесконечно малых, с точностью до которых члены ряда будут вычисляться явно.
> f:=int(sin(x)/x, x); series(f, x=0,10);
f:= Si(x)
> h:=series(log(x), x=1, 5);
Часто бывает полезно преобразовать ряд в полином, отбросив остаточный член.
>convert(h,polynom);
Дополнительные возможности манипулирования с формальными степенными рядами (например, умножения рядов) можно получить, подгрузив специализтрованный пакет powerseries.