Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кушнир - Статистика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

5.3. Показники варіації

Середні величини дають узагальнюючу характеристику сукупності за варіаційними ознаками і показують типовий для даних умов рівень цих ознак. Проте велике теоретичне і практичне значення має визначення відхилень від середніх величин. При цьому цікавими є не тільки крайні відхилення (кращі і гірші), а й сукупність усіх відхилень. В дисперсійному аналізі варіацією вважається відхилення індивідуальних значень від загальних. Для характеристики варіацій застосовують таку систему показників:

Розмах варіації:
R = xmax - xmin,	(5.5)

В інтервальних рядах розподілу R визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого, або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів.

Середнє арифметичне або лінійне відхилення – це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини:

∑

x −

для незгрупованих даних,

(5.6)

d =

∑

x −

для згрупованих даних.

(5.7)

d =

∑ f

Коефіцієнт осциляції – відношення розмаху варіації до

середньої величини ознаки:	R
V =		(5.8)

R	x

Лінійний коефіцієнт варіації визначається, як відношення середнього лінійного відхилення до середнього значення ознаки:

V		=	d	(5.9)
	d
			x

Однак, визначення лінійного коефіцієнта варіації, коефіцієнта осциляції та середнього лінійного відхилення недостатньо для оцінки варіації.

Основними узагальнюючими характеристиками варіації є

дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Ці показники застосовуються не лише для оцінки варіації ознаки, але і для виміру

зв’язку між явищами та оцінки величини похибки при вибірковому спостереженні.

Дисперсія – це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від середньої величини. Дисперсію також називають середнім квадратом відхилень. В залежності від вихідних даних дисперсія може визначатися за середньою арифметичною простою або зваженою.

Для незгрупованих даних розраховується проста дисперсія:

			∑(x −		)2
σ	2	=		x
			(5.10)
			n

Для згрупованих даних розраховується зважена дисперсія:

			∑(x −		)2 f
σ	2	=		x		(5.11)
			∑ f

Середнє квадратичне відхилення – це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки в сукупності. Визначається як корінь квадратний із дисперсії:


			∑(x −				)2
σ = σ	2	=	∑(x −			x	)2		- для незгрупованих даних	(5.12)
σ = σ		=		n					- для незгрупованих даних	(5.12)
		∑(x −		n
					)2 f
σ =				x	)2 f			- для згрупованих даних		(5.13)
σ =			∑ f					- для згрупованих даних		(5.13)
			∑ f

Середнє квадратичне відхилення завжди виражається в тих же одиницях виміру, що і ознака (в метрах, тонах, відсотках, гектарах) і є абсолютною мірою варіації.

Якщо вихідні дані представлені у вигляді інтервального ряду, то спочатку треба визначити дискретні значення, а потім розраховувати усі показники.

Порядок розрахунку середнього квадратичного відхилення:

1.Обчислюємо середню арифметичну ряду ( Х ) .

2. Відхилення кожної варіанти від середньої арифметичної:

(Х − Х) .

3.Кожне відхилення підноситься до квадрату: (Х − Х)2 .

4.Квадратвідхиленнямножитьсянавідповіднувагу: (Х − Х)2 f

5.Додаються всі добутки: Σ(Х − Х)2 f


6.	Ділиться сума				добутків на	суму	ваги (частот):
Σ(Х −			)2 f
Σ(Х −		Х	)2 f	і отримується дисперсія.
	Σf			і отримується дисперсія.
	Σf
7.	З		дисперсії		вилучається	корінь	квадратний:

Σ(Х −	Х	)2 f	і отримується середнє квадратичне відхилення.
Σf			і отримується середнє квадратичне відхилення.
Σf

Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим типовіша середня і тим більш однорідна сукупність. На практиці застосовують спрощений метод визначення дисперсії за

залежністю:

∑ x2 f

∑ xf

= x

− x

∑ f

− ( ∑ f

)

(5.14)

Тобто дисперсія ознаки дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки і квадратом середньої.

Коефіцієнт варіації – є відносною мірою варіації і дозволяє порівняти ступінь варіації ознак у рядах варіації з різним рівнем середніх. Розраховується як відношення середнього квадратичного

відхилення до середньої величини:
V =	σ		100	(5.15)

		x

Якщо коефіцієнт варіації < 33%, то така сукупність вважається

однорідною.

Розглянемо обчислення характеристик варіації для альтернативної ознаки. Позначимо через ” 0 ” – відсутність ознаки. Частку одиниць, які мають наявність ознаки позначаємо через “ p ”, а частку одиниць, які мають відсутність ознаки – “ q “.

p + q = 1 q = 1 − p	(5.16)
42

Тоді
		= 1 p + 0 q = p
	x	= 1 p + 0 q = p	(5.17)
		p + q
Дисперсія альтернативної ознаки ( σр2 ) дорівнює			добутку
частки (р) на доповнююче частки число (1 – q).
		σр2 = р( 1 – pq ),	(5.18)

Корінь квадратний σр2 дасть середнє квадратичне відхилення.

Приклад обчислення показників варіації. Визначити дисперсію, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації за такими даними:

Таблиця 5.6

Група	Середина	Число
робітників за	Середина	Число	_	_	_
розміром	інтервалу,	робітників,	_	_	_
розміром	інтервалу,	робітників,	х - х	( х – х )2	( х – х )2f
заробітної	(х)	( f )
плати, грн.
1300-1400	1350	10	-308	94864	948640
1400-1500	1450	50	-208	43264	2163200
1500-1600	1550	100	-108	11664	1166400
1600-1700	1650	115	-8	64	7360
1700-1800	1750	180	92	8464	1523520
1800-1900	1850	45	192	36864	1658880
Разом:	-	500	-	-	7468000

1. Визначаємо середню арифметичну зважену:

	=	∑xf	=		1350 10 +1450 50 +1550 100 +1650 115 +1750 180 +1850 45	= 1658,0 грн.
x
				500
		∑ f

2.Визначаємо дисперсію:

σ2 = ∑(x − x)2 f = 7468000 = 14936

∑f 500

3.Визначаємо середнє квадратичне відхилення:

σ= σ 2 = 14936 = 122,2 грн.

4.Коефіцієнт варіації:

V= σx = 1221658,2 100 = 7,4%

5.Розрахунок дисперсії за спрощеною формулою (табл. 5.2):

		_	_
		σ = х 2 – ( х )2		Таблиця 5.7
				Таблиця 5.7
x		f	x2	x2f
1350		10	1822500	18225000
1450		50	2102500	105125000
1550		100	2402500	240250000
1650		115	2722500	313087500
1750		180	3062500	551250000
1850		45	3422500	154012500
Разом:		500	-	1381950000
		= 1381950000 = 2763900
	x2	= 1381950000 = 2763900
		500
		_

( х )2 = (1658)2 = 2748964

σ= х 2 – ( х )2 = 2763900 – 2748964 = 14936

5.4.Дисперсійний аналіз. Правило додавання дисперсій.

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення на основі величини загальної дисперсії впливу окремих чинників на варіацію ознаки. Для оцінки частки варіації, зумовленої тією чи іншою ознакою, сукупність розподіляють на групи за тією ознакою, властивість якої досліджується. Це дозволяє розкласти загальну варіацію на 2 дисперсії, з яких одна частина варіації визначається впливом чинника, покладеного в основу групування, а друга – варіацією усіх чинників, крім того, що вивчається. Отже, згідно з правилом додавання дисперсій в дисперсійному аналізі визначають загальну, міжгрупову, внутрішньогрупову дисперсії.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у статистичній сукупності в результаті впливу всіх чинників.

σ 2 =		−		2	(5.19)
	x2
			x

Міжгрупова дисперсія показує рівень відхилення групових середніх від загальної середньої, тобто характеризує вплив чинника, покладеного в основу групування.

			∑(		−		)2 fi
δ	2	=		xi		x		(5.20)
				∑ fi

Внутрішньогрупова дисперсія (залишкова) характеризує варіацію ознаки в середині кожної групи статистичного групування.

σ2 = ∑(xi − xi )2 fi

i ∑ fi

Отже, загальна дисперсія складається внутрішньогрупової дисперсії і міжгрупової дисперсії.

Сутність зв’язку між ознаками характеризує детермінації, який розраховується як відношення дисперсії до загальної дисперсії:

(5.21)

із суми

коефіцієнт

міжгрупової

η	2	=	δ 2	(5.22)
η		=	σ 2

Корінь квадратний з		η2		- це емпіричне кореляційне
співвідношення:
η =			δ 2	(5.23)
η =			σ 2

Кореляційне співвідношення характеризує ступінь наближення зв’язку до функціонального, тобто тісноту кореляційної залежності і коливається від 0 до 1 .

Якщо η2 = 0, то міжгрупова дисперсія дорівнює 0.

Якщо η2 = 1, то міжгрупова дисперсія дорівнює загальній, а середня з групових дорівнює 0. "η" може бути як додатнім так і від'ємним. Якщо факторна і результативна ознака змінюються в одному напрямку, то кореляційне співвідношення буде з знаком

“+”.

Правило додавання дисперсій. Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої із групових дисперсій і міжгрупової дисперсії.

σ 2 =

σ 2

+ ∂2

(5.24)

Приклад 1:

Відомі дані про розподіл заробітної плати по трьом групам робітників з різним стажем роботи.

Визначити:

1.Середню заробітну плату для всієї сукупності робітників.

2.Загальну дисперсію і дисперсію заробітної плати.

Таблиця 5.8.

Дані про розподіл заробітної плати по трьом групам робітників з різним стажем роботи

	Число	Середня		Середнє квадратичне
Стаж роботи	робітників(f),			Середнє квадратичне
Стаж роботи	робітників(f),	зарплата	x	відхилення, грн (σ )
	або(n)		i
<3	10	500		12
3 – 10	15	600		10
>10	25	700		20
∑	50

x = 500 10 +15 600 + 25 700 = 630 (грн) 50

σ 2 =σ 2 + ∂2

σ 2 = 122 10 +102 15 + 202 25 = 258,8 (грн) 50

∂2 = (500 − 630)2 10 + (600 − 630)2 15 + (700 − 630)2 25 = 6100 (грн) 50

σ2 =258,8+6100=6358,8

σ= 6358,8 = 79,7 (грн)

Приклад 2. Визначити дисперсію, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації:

Таблиця 5.9.

Розрахункова таблиця для визначення дисперсії, середнього квадратичного відхилення і коефіцієнта варіації

Групи

робітників зарозміром зарплати, грн.

1300-1400

1400-1500

1500-1600

1600-1700

1700-1800

1800-1900

Разом

Варіанта	Число			(x −		)2	(x−		)2f
(середина	робіт-	x −								x2	x2f
			x
			x		x			x
інтервалу)	ників
, x, грн.
1350
1350	10	-308		94864			948640			1822500	18225000
1450	50	-208		43264			2163200			2102500	105125000
1550	100	-108		11664			1166400			2402500	240250000
1650	115	-8		64			7360			2722500	313087500
1750	180	92		8464			1523520			3062500	551250000
1850	45	192		36864			1658880			3422500	154012500
—	500	—		—			7468000			—	1381950000