книги из ГПНТБ / Гофман М.Л. Аэродинамика гиперзвуковых скоростей и супераэродинамика

что Мао* = 10; кроме того, подобие профилей будет при условии

следует, что

»К«

Таким образом, параметр подобия позволяет довольно просто по известным коэффициентам одного профиля определить эти коэффициенты для других подобных профилей.

Выражения (2.15) и (2.17) могут быть применимы и для част­ ного случая, когда число М«, становится бесконечным. В этом случае К = °° и функции Р, Y, X, М не зависят от относитель-

50

Небезынтересно сравнить закон подобия для гиперзвуковых скоростей с линейной теорией Аккерета для сверхзвуковых

Это обстоятельство навело на мысль объединить теории малых возмущений сверхзвукового и гиперзвукового потока, в результате чего получен смешанный „сверхзвуковой-гиперзву- ковой“ закон подобия. Полученные ранее законы подобия видо­

В результате получается единый закон, который справедлив для тонких тел в области скоростей от М > 1 до М — со.

Можно дать несколько иную форму объединенного закона подобия. Согласно этой форме получаются следующие выраже­ ния для коэффициентов лобового сопротивления и подъемной силы:

ся — т2+гА' (т У M i — 1),

(2.20)

су = t>+zY (т у M i — 1).

Здесь т —характерный параметр; практически берется наклон поверхности тела к направлению невозмущенного потока; коэф­ фициент z — 1 для плоского потока и г = 0 для трехмерной области.

Если в качестве т брать синус максимального угла наклона поверхности тела, то этот закон подобия можно применять для достаточно толстых тел.

Остается оценить ту ошибку в коэффициенте давления, которую мы делаем при применении гиперзвуковой теории подобия. Ошибка в теории малых возмущений при гиперзвуко­

вых скоростях составляет величину порядка сг по сравнению

с ошибкой порядка с для сверхзвуковой линейной теории и с8'* для околозвуковой теории. Отсюда следует, что необходимость внесения поправок для членов более высокого порядка по толщинев гиперзвуковой области меньше, чем при малых сверх­ звуковых скоростях.

Гиперзвуковой закон подобия может быть распространен на тела вращения, крылья конечного размаха и др.

Если анализ, проделанный для плоской задачи, провести для осесимметричных течений, то оказывается, что параметр подо­

бия также равен К —ЪК^с. В таком случае, законы подобия для коэффициента давления и коэффициента сопротивления (отне­ сенного к площади миделя) осесимметричных тел запишутся в виде:

Для крыльев конечного размаха можно также применить гиперзвуковой параметр подобия, если принять, что кривизна,

угол атаки и удлинение изменяются пропорционально с. Полу­ чаемые при этом формулы для аэродинамических коэффициен­ тов идентичны формулам (2.15), (2.16) и (2.17),

Следует учесть, что при гиперзвуковых скоростях концевые ко­ нусы возмущений покрывают незначительную часть площади крыла и поэтому с достаточной точностью поток вообще может рассматри­ ваться как двухмерный.

Законы гиперзвукового подобия могут быть применены как для потенциальных, так и для вихревых потоков; это важно с той точки зрения, что в гиперзвуковых потоках энтропия сильно растет в ко­ сых скачках и поэтому учет вихрей необходим.

52

§ 2.5. ТЕОРИЯ НЬЮТОНА. ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ТЕОРИЯ НЬЮТОНА

Как было сказано ранее (§ 2.!,' 2.2), одной из теорий, получив­ ших широкое применение для расчета характеристик тел при гипер­ звуковых скоростях, является ударная теория Ньютона, изложен­ ная в его «Математических началах натуральной философии» [39].

В этой теории течение подробно не анализируется, а просто пред­ полагается, что набегающий поток при ударе о тело теряет нормаль­ ную (по отношению к поверхности тела) составляющую количества движения. Естественно, что расчеты, основанные на этой гипотезе, являются простыми.

Ньютон принимал схему течения, которую фактически можно рассматривать как течение разреженного газа с пренебрежимо ма:

Рис. 2.8. Обтекание плоской пластинки при гиперзвуковых скоростях

лыми тепловыми движениями, частицы которого ударяются о твер­ дую поверхность и теряют нормальную составляющую количества движения.

При гиперзвуковых скоростях (при больших числах М) угол возмущений очень мал и поэтому волны возмущений стремятся следовать за поверхностью тела. Подобно этому косые скачки составляют очень малый угол с направлением потока и почти совпадают с поверхностью тела. В таком случае нормальная к поверхности тела составляющая количества движения за

Для иллюстрации этого рассмотрим обтекание плоской пластин­ ки, поставленной под некоторым углом к потоку (рис. 2.8). Так как

53

возрастание давления за скачком при больших числах М намного превышает уменьшение давления внутри волн возмущений, можно в качестве приближения принять, что на верхней поверхности пла­ стинки имеется вакуум. На нижней поверхности косой скачок близ­ ко примыкает к поверхности пластинки. Поэтому поток на рис. 2.8а примерно соответствует схеме течения около плоской пластинки по ударной теории Ньютона.

Формула Ньютона (2.2) может быть получена из рассмотрения течения за присоединенным косым скачком при обтекании пластины

с18^ ~ Т ~ г (5|п2р - л к )

Это означает, что фронт скачка совпадает с поверхностью пла­ стины и давление на ней совпадает с давлением, найденным по фор­ муле Ньютона.

Характерной особенностью теории Ньютона является то, что все аэродинамические коэффициенты не зависят от числа М; это-утверж­ дение, безусловно, справедливо при М >10 для тонких тел и при меньших числах М для тупых тел.

При обтекании тупоносых тел и наличии отсоединенного скачка уплотнения теоретическое исследование потока затруднено. Однако близость скачка к поверхности тела наводит на мысль о возможно­ сти использовать теорию Ньютона для определения распределения давления.

Действительно, если рассматривать схему обтекания тупоносого тела (рис. 2.9), можно видеть, что вблизи области торможения со­

54

Следовательно,

ния поперек слоя почти уравновешивает эффект удаления скачка. Следует отметить, что модифицированная формула Ньютона дает правильное распределение давления как на поверхности тела со сфе­ рическим носком при угле атаки, отличном от нуля, так и при нуле­ вом угле атаки, и не только в плоскости наклона, но и во всех диаго­ нальных плоскостях. Худшие результаты получаются для цилинд­ ров, но этого следовало ожидать, так как расстояние от скачка до поверхности для цилиндрических тел больше, чем для тел осесим­

метричных при том же числе М» (рис. 2.12).

Формула Ньютона p = 2sin20 достаточно точно определяет давление на поверхности тела, если кривизна тела и, следова­ тельно, зоны возмущенного течения малы в направлении дви­ жения. Это происходит потому, что в таком случае центробеж-

56

ные силы в слое уплотнения (между скачком и телом) не изме­ няют существенно величину давления при переходе от скачка

к телу.

Если же кривизна тела в направлении движения достаточно велика, наличие центробежных сил, действующих в слое уплот-

8

нения, изменит давление на поверхности тела, которое теперь может значительно отличаться от давления на скачке.

Буземан [81] рассмотрел эту задачу для предельного случая, когда М« -> со, и нашел, что коэффициент давления в некото­

где F — площадь поперечного сечения тела.

Как известно, теория Ньютона не учитывает той части тела, кото­ рая находится в «тени» течения. Однако в полученном выражении в отличие от формулы Ньютона давление в данной точке обтекаемой

57

поверхности определяется не только «освещенной» частью тела, но и формой всей поверхности, расположенной вверх по течению.

Для оценки точности обеих формул на рис. 2.13 приведены три кривые. Одна из них рассчитана по методу характеристик (для 1г= 1,4) и две другие — по формулам (2.3) и (2.22). Эти кривые дают рас­ пределение давления по оживалу при М = 6.

Меньшая точность формулы Буземана связана с тем, что она сильно переоценивает действие центробежных сил при тех числах М«, , которые значительно превосходят единицу, но при которых величина k ближе к 1,4, чем к 1. По-видимому, поправка на центробежные силы улучшает точность теории в случае тонких профилей и тел вра­ щения.

§ 2.6. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ КЛИНЬЕВ ИЛИ КОНУСОВ

Хорошее совпадение результатов расчета обтекания тел по тео­ рии Ньютона с точными методами указывает на то обстоятельство, что «теневая» часть тела делает пренебрежимо малый вклад в аэро­ динамические характеристики тела при гиперзвуковых скоростях. Это дает основание предположить, что, например, в плоском потоке давление в любой точке поверхности тела при некотором угле атаки равно давлению на клине с полууглом раствора, равным •местному углу наклона поверхности тела (метод касательных клиньев) [82]. Физически это приближение исходит из того факта, что при гипер­ звуковых скоростях слой уплотнения очень тонок и что, следова­ тельно, малы изменения как в наклоне поверхности, так и в давле­ нии по нормали к профилю. Простота этого метода состоит в том, что давление является лишь функцией угла наклона-тела.

Для расчета используем известные соотношения для косого скачка уплотнения. Налагая на эти выражения условия, пригод­ ные для существования подобия при гиперзвуковых скоростях,

58

Подставляя полученное выражение в уравнение (2.24), имеем

То же предположение может быть сделано для тел враще­ ния; при этом принимается, что давление на элемент поверхно­ сти тела равно давлению на помещенный в тот же поток конус, касающийся тела в рассматриваемом сечении (метод касатель­ ных конусов). 1 Согласно этому методу для давления на поверх­ ности конуса получаются простые алгебраические выражения,

ван с применением приближенного решения линеаризированной задачи обтекания тонкого тела сверхзвуковым потоком газа, данного Карманом:

Метод касательных клиньев и конусов дает хорошую сходи­ мость с расчетами по точной теории. На рис. 2.14 дано сравне­ ние распределения давления на телах вращения, вычисленного по методу касательных клиньев и конусов и методу характе­ ристик.' Присущие методу касательных клиньев и конусов при­ ближения и причины, лежащие в основе его высокой степени точности при А ^ 1 ,4 , становятся наиболее ясными при рассмо­ трении предельного случая &->со.

В таком случае касательные к скачку уплотнения и к поверхно­ сти тела пересекаются в точке, находящейся на оси (рис. 2.15), а

1 Этот метод предложен С. В. Валландером в 1949 г.

59