книги из ГПНТБ / Гофман М.Л. Аэродинамика гиперзвуковых скоростей и супераэродинамика

Закон подобия устанавливает, что потенциальный поток около геометрически подобных профилей и. тел вращения является динамически подобным, если произведение числа М на

относительную толщину является постоянным {К — Мюс = const). Иначе можно сказать, что геометрически подобные тонкие тела вызывают одинаковое движение газа, если их относительные тол­ щины обратно пропорциональны числам М полета. При такой физи­ ческой основе течения в любых двух плоскостях, нормальных к на-

. правлению потока, практически не зависят одно от другого, так как время, потребное для распространения звуковой волны от одной пло­ скости к другой, намного больше времени, необходимого для про­ хождения тела между этими плоскостями. Следовательно, течение в любой фиксированной поперечной плоскости зависит Только от ха­ рактера изменения местного угла наклона тела со временем.

Метод подобия легко распространяется на тонкие тела вращения, осесимметричные тела, включающие тела с крылом, имеющие малые углы атаки, а также на колебания тел, включающие упругие движе­ ния.

Если параметр подобия К ненамного меньше единицы, проблемы течения с гиперзвуковыми скоростями существенно нелинейны и по­ этому крайне желательно создание приближенных методов построе­ ния потока. Несколько таких приближенных теорий исходит из того, что скачок уплотнения примыкает очёнь близко к поверхности тела при К -> оо.

Одной из таких теорий является теория Ньютона[56]. Согласно теории Ньютона частицы жидкости набегающего потока остаются невозмущенными до тех пор, пока они не ударяются о поверхность тела. При ударе частицы теряют нормальную к поверхности тела со­ ставляющую своего количества движения, после чего движутся по касательной к поверхности без дальнейшего изменения скорости. Этим самым в любой точке тела создается давление, определяемое

Принятая гипотеза видоизменяется следующими двумя фактора­ ми. Во-первых, наличие твердой стенки создает эффект вязкости, т. е. пограничный слой. Во-вторых, не существует математически точной острой кромки и поэтому всегда возникает тип отсоединенного скач­ ка с, очень большой кривизной вблизи носка.

Фактическая картина потока более похожа на картину обтекания для случая тела с тупым носком, когда «эквивалентное тело» соот­ ветствует области, занимаемой пограничным слоем. Более того, боль­ шая кривизна отсоединенного скачка вызывает вихри в невязкой об­ ласти потока между скачком и пограничным слоем. Тем не менее, законы ньютоновского течения можно принять как достаточно точ­

40

ные приближения, причем для двухмерных потоков результат не­ сколько хуже.

Если поверхность тела искривлена, поток неизбежно искривляет­ ся и приближение Ньютона может быть улучшено путем учета влия­ ния центробежных сил между скачком уплотнения и поверхностью тела.

Подобный подход к ньютоновской концепции чисто местной за­ висимости давления на поверхность от наклона тела содержится в приближенном методе касательных клиньев для тонких профилей в потоке газа, движущемся с гиперзвуковыми скоростями. В этом ме­ тоде давление на тело считается равным давлению на клин с углом наклона, равным местному углу наклона тела. Аналогом для тон­ ких тел вращения является приближенный метод касательных кону­ сов.

Эти методы пытаются учесть тот факт, что скачок уплотнения очень близок к поверхности тела, но не совпадает с ней. Физически это приближение основано на том факте, что при гиперзвуковых ско­ ростях слой уплотнения существенно тонок и поэтому мало откло­ нение потока или давления по нормам к профилю.

Как метод Ньютона, так и метод касательных клиньев и конусов не основываются на рациональной теории и опираются на опытные данные; однако они дают хорошее совпадение и легки для примене­ ния.

Метод касательных клиньев дает лучшие результаты для малых углор наклона и неприменим для отсоединенных скачков; метод Нью­ тона лучше применять для больших углов наклона тела.

Недостатком, этих методов является то, что с их помощью нельзя определить достаточно точно значения градиентов давлений.

Другим приближенным методом для тонких тел является

ненному. •

Если k -> 1, то изменение давления по Прандтлю—Мейеру для даннрго изменения угла наклона скорости становится бесконечно большим по сравнению с изменением давления в косом скачке уп­ лотнения, поэтому отраженные волны почти столь же сильны, как и волны, отходящие от поверхности тела. В таком случае метод скач­ ков—разрежений становится неточным.

Для более точного определения аэродинамических коэффициен­ тов и прежде всего коэффициента давления необходимо рассмот­ реть условия за скачком и в области линий возмущений и использо­ вать более высокие члены ряда выражения для коэффициента давле­

41

ния. Метод основывается на разложении коэффициентов отношения давления по ударной адиабате и по формулам Прандтля—Мейера по степеням параметра гиперзвукового подобия.

Выражения для коэффициентов при наличии скачка и в случае расширения, определенные этим способом, мало отличаются друг от друга уже при трех членах разложения в случае /С<1. При учете первых трех членов разложения получены формулы для расчета аэродинамических характеристик различных профилей (см. § 3.2).

Можно, показать, что, используя условие гиперзвукового

§ 2.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБТЕКАНИЯ ТУПОНОСЫХ ТЕЛ

Как известно, одной из серьезных проблем полета на гиперзвуко­ вых скоростях является уменьшение нагрева летательного аппарата при возврате через плотные слои атмосферы. В качестве одного из способов уменьшения теплопередачи является использование тел ту­ поносой формы, что обеспечивает уменьшение максимальных удель­ ных тепловых потоков. При этом установлено, что уменьшение теп­ лопередачи зависит от увеличения радиуса кривизны тела в крити­ ческой точке.

Кроме того, было показано, что одним из решений проблемы теп­ лопередачи является использование тел, обладающих большим соп­ ротивлением, у которых большая часть кинетической энергии отдает­ ся в виде тепловой энергии окружающему воздуху. В связи с этим за последние годы проделана большая работа по решению проблем, связанных с обтеканием тупоносого тела в гиперзвуковом потоке [57—60]. Тем не менее, в настоящее-время нельзя указать такого ме­ тода, который давал бы возможность наилучшим образом вычис­ лить поток вокруг тупого тела.

Математические трудности, возникающие при расчете обтекания тупоносого тела, заключаются в том, что поток за скачком является смешанным и вследствие этого течение описывается уравнениями различного типа: эллиптическим в дозвуковой области и гиперболи­ ческим — в сверхзвуковой. При этом большие трудности представля­ ет составление граничных условий: неизвестна форма скачка уплот­ нения, граница дозвуковой и сверхзвуковой областей, неизвестно так­ же положение «граничной характеристики», которая пересекает зву­ ковую линию в некоторой точке (рис. 2.4).

Следует заметить, что при гиперзвуковых скоростях полета даже гонкие тела должны быть до некоторой степени затуплены, чтобы уменьшить до приемлемых значений интенсивность теплопередачи и создать возможность отвода тепла внутрь конструкции. Если же те­ ло движется в воздухе с очень большой скоростью и на такой высо­ те, на которой воздух можно рассматривать как континуум, то раз­

42

личие между телами с заостренной и затупленной носовыми частя­ ми, которым соответствует присоединенная или отошедшая ударная волна, утрачивает свое значение, так как в практических случаях ги­ перзвукового полета головная волна всегда является отошедшей и весьма сильной.

Практически все тела ведут себя как затупленные с большей или меньшей дозвуковой областью вблизи носовой части, где из-за кри­ визны ударной волны энтропия и соответствующая потеря полного давления меняются от одной линии тока к другой. В связи с этим перестают быть справедливыми те допущения, которые принимаются в приближенных расчетах обтекания тонких заостренных тел пото­ ком газа с гиперзвуковыми скоростями.

Задаче обтекания тонких тел с затупленной носовой частью по­ священ ряд работ [61—64].

Рис. 2.4. Форма звуковой линии и граничной характе­ ристики при обтекании тупого тела

Так как для расчета теплопередачи необходимо знать распреде­ ление скорости по поверхности тела, внимание привлекает прежде всего течение в окрестности критической точки, находящееся между скачком уплотнения и передней частью тела. Этой проблемой зани­ мались многие исследователи [65—69]; обзор некоторых из них про­ изведен в [70].

Предложенный А. А. Дородницыным численный метод интег­ ральных соотношений был применен к расчету прямой задачи об об­ текании тела с отошедшей ударной волной [71]. '

Вследствие того что расчет невязкого течения между ударной волной и затупленным телом представляет собой трудную задачу, было сделано несколько попыток получить аналитические решения, отправляясь от предельного случая очень большого числа М и мало­ го отношения плотности перед прямым скачком к плотности за ним. Действительно, в невозмущенноМ потоке газ рассматривается невяз­ ким, имеющим равномерную скорость-, параллельную оси симмет­ рии. Из-за большой сверхзвуковой скорости газа в набегающем по­ токе число М в слое газа около передней части тупоносого тела сов­ сем невелико и поэтому принимается допущение о том, что в этой области плотность почти постоянна, т. е. газ можно считать несжи­ маемым.

43

Здесь уместно сделать следующее замечание. Обычно принято считать, что «несжимаемый поток» и поток «постоянной плотности» являются синонимами. Однако плотность в сжимаемом потоке мо­ жет быть существенно постоянной, если изменения в давлениях, вы­ званные жидкостью в потоке, малы. Поэтому можно рассматривать гиперзвуковой поток с постоянной плотностью, хотя мы никогда не бу­

дем представлять жидкость в гиперзвуковом потоке как несжимае­ мую.

В работе [72] показано, что для сферического тела при таких ус­ ловиях течение в области между телом и скачком имеет постоянную плотность и "ударная волна при этом является концентрической по отношению к телу, а касательная составляющая скорости изменяет­ ся линейно между телом и скачком.

Метод решения с помощью разложения в ряды по степеням ма­ лого параметра (отношения плотностей до и за скачком) был впервые предложен в работе [73].

' Можно указать две причины, служащие основанием для рас­ смотрения решений с постоянной плотностью. Первая — это та, что этот метод позволяет определить параметры потока, исходя из пред­ положения о несжимаемости среды с учетом начальных условий за скачком уплотнения, и, следовательно, получить более точную ин­ формацию о потоке, чем, например, с помощью теории Ньютона, Вторая причина заключается в том, что решения с постоянной плот­ ностью необходимы как первое приближение для более общих ре­ шений, основанных на предположении, что слой уплотнения умерен­ но тонкий. При тонком слое уплотнения форма скачка не будет сильно отличаться от" формы тела и давление на теле определяется прежде всего формой скачка.

Такое предположение легло в основу теории тонкого «слоя уплот­ нения», с помощью которой решается как прямая задача, когда за­ дана форма тела, требуется определить форму скачка и распределе­ ние давления на поверхности тела, так и обратная задача, когда за­ дана форма скачка.

При гиперзвуковом обтекании тупого тела скачок лежит близко к его поверхности, так что линии тока параллельны ’телу, за исклю­ чением небольшой области вблизи критической точки. Этот факт дает возможность применить предполагаемую картину обтекания и форму скачка в качестве исходных параметров для расчета потока вокруг носа тупого тела. Основанный на этом метод получил назва­ ние метода трубок тока. Этот метод является графоаналитическим; форма скачка считается заданной, Давление на тело определяется по формуле Ньютона, исходные данные уточняются методом последо­ вательных приближений.

Для расчета обтекания тупого тела можно воспользоваться видо­ измененной теорией Ньютона.

Как уже указывалось, в результате удара частиц о поверхность тела возникает избыточное давление

44

известные параметры потока в критической точке. Так, напри­ мер, эксперимент показывает, что при k — 1,67 и М = 15 коэф­

фициент ртах = 1,75. Учитывая наличие скачка уплотнения перед телом, удобно пользоваться формулой

Эта формула носит название модифицированного закона Ньютона. На рис. 2.5 представлено сравнение модифицированного закона Ньютона с другими решениями для давления на круговом цилиндре и шаре при М = со.

За последнее время предложен целый ряд других методов расче­ та обтекания тел при гиперзвуковых скоростях, анализ которых вы-

45

ходит за рамки настоящей книги. 1 Мы рассмотрим лишь наиболее распространенные методы, дающие простые и удобные решения за­ дач обтекания и определения аэродинамических характеристик.

«

§ 2.3. ЗАКОНЫ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОДОБИЯ

Теории гиперзвукового подобия посвящено много доследований как в нашей [74—77], так и зарубежной литературе [78—80]. Объяс­ няется это тем, что законы подобия позволяют расширять аналити­ ческие результаты и могут быть применены для уточнения и расши­ рения экспериментальных данных при гиперзуковых скоростях. Как уже указывалось ранее, для получения законов подобия рациональ­ ных форм профилей и тел вращения необходимо лишь предположить наличие малых возмущений в потоке.

Выведем закон подобия для гиперзвукового потока.

Рассмотрим двухмерный безвихревой поток вокруг тонкого про­ филя, для которого уравнение потенциала скоростей имеет вид: 4

1 Подробное рассмотрение теорий обтекания тел с гнперзвуковой скоростью можно найти в [1, 2].

46

Функция h($) представляет собой отношение местного угла

наклона поверхности профиля к относительной толщине с. Записанные граничные условия в переменных ?, ?) и / примут вид: при $ = — оо

(2.12а), получаем следующее правило подобия гиперзвуковых потоков:

Если тела, имеющие подобные формы (одинаковое распре­ деление толщины), но различные малые значения относительной

Произведение М„с называется гиперзвуковым параметром

подобия и обозначается К = М^с.

Так как при выводе уравнения (2.10) было принято, что К имеет порядок единицы, то можно гиперзвуковой поток определить как сла­ бовозмущенный сверхзвуковой поток, для которого параметр К име­ ет порядок единицы или больше.

§2.4. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОДОБИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Как известно, коэффициент давления можно представить

48

Вводя условия линеаризации и граничные условия в выраже­ ние для коэффициента давления, разложим его в ряд. Ограни­ чиваясь членами первого порядка (в соответствии со сделанными ранее предположениями), получим для коэффициента давления выражение

Функции Y, X, М для заданного распределения толщины зависят только от природы газа k и параметра подобия К. Это означает, что если обтекаются гиперзвуковым потоком профили, имеющие одинаковое распределение толщины, с кривизной и углом атаки, пропорциональными относительной толщине, вели­

единственного параметра — критерия подобия М«,с. Практически в дальнейшем задача определения аэродинами­

ческих коэффициентов сводится к вычислению функций Y, X, М для разных типов профилей.

На рис. 2.6 даны поляры различных профилей, вычисленные по гиперзвуковой теории подобия, для разных значений пара­ метра подобия.

Рис. 2.7 иллюстрирует коэффициент су треугольного профиля, вычисленный по гиперзвуковой теории.

Для иллюстрации закона подобия рассмотрим пример. Предположим, что известны коэффициенты су и ся симме­

тричного профиля толщиной Cj= 10% при угле атаки «,=5°, испытанного при М ^ б . Спрашивается, каковы будут аэроди­ намические коэффициенты геометрически подобного профиля

с относительной толщиной с3 = 5% и какому числу М2 они