11 Устойчивость круговой бесшарнирной арки под действием радиальной нагрузки.

(1), где

- перемещение по радиальному направлению;

- угловая координата сечения;

M – изгибающий момент;

EI – жесткость сечения при изгибе;

r – радиус очертания оси арки.

Наименьшей критической нагрузке соответствует кососимметричная форма потери устойчивости.

Изгибающий момент в любом сечении арки:

.

ДУ (1) имеет вид:

, где

, .(2).

Общее решение ДУ (2):

.

Граничные условия для определения C₁, C₂, C₃:

1) при,;

2) при,;

3) при,.

Получим .

Определитель из коэффициентов равен 0.

ДУ изгиба круговой арки

(1)

, ,,,.

Изгибающий момент в произвольном сечении арки:

.

При потери устойчивости опоры поворачиваются на какой-то угол :

.

Уравнение круговой арки при потери устойчивости:

.

Общее решение:

.

Найдем A, B, C:

C зависит от угла поворота:

.

Граничные условия:

1) ,,;

2) ,;

;

;

;

Сократим на k:

;

.

1) ,:

При потеря устойчивости не произошло, невозможно найти.

2) ,,,

составим определитель из коэффициентов при неизвестных которые приравниваются к 0:

, .

Получаем уравнение устойчивости:

,

решая методом подбора при заданном получаем:

.

8 Расчет двухшарнирной арки с затяжкой

Построим эпюры изгибающих моментов в сечении арки. Влиянием продольной и поперечной силы в арке пренебрегаем. Сечение арки постоянно сечение затяжки. Выбираем основную систему. Для этого разрежем затяжку и приложим в этом месте силуX.

Так как ось арки представляет собой половину окружности, поэтому переходим к полярным координатам.

.

Выражение для изгибающего момента в основной системе отдельно от силы P и отдельно от :

.

Переходим к определению перемещений и. При определении перемещенийучитывают деформации арки от изгиба и затяжки от растяжения:

При определении перемещения учитываются только деформации арки от изгиба:

.

Усилие в затяжке или распор:.

Значение распора H в арках с затяжкой зависит от жесткости затяжки с увеличением жесткости затяжки распор возрастает. Значение изгибающего момента в арке с затяжкой , также зависит от жесткости затяжки. С увеличением жесткости затяжки положительные моменты в арке уменьшаются и наоборот.

Если - эпюра в), если- эпюра г).

2 Расчет рам методом сил на действие температуры и смещение опор

При изменении в статически неопределимых системах все элементы работают в пределах упругих деформаций от совокупности нагрузок и температуры, при этом в конструкции возникают внутренние усилия.

Температурные перемещения в статически определимых системах совершаются свободно и, следовательно, не возбуждают никаких напряжений или усилий.

При равномерном нагревании прямолинейного стержня (одинаковое приращение температуры по высоте сечения) он удлиняется без осевых напряжений. При неравномерном нагреве такого стержня (нижние волокна нагреваются на, верхние охлаждаются на) он искривляется без изгибающих напряжений.

При расчете рам на тепловое воздействие и на смещение опор переход к основной системе осуществляется также как и при расчете на силовое воздействие. Аналогично вычисляют и проверяют коэффициенты при неизвестных в канонических уравнениях. Системы канонических уравнений подобны с той разницей, что в качестве свободных членов вместо должны быть поставленыпри расчете рам на тепловое воздействие,при расчете на смещение опор.

.

Свободные члены вычисляют:

, где

- температура от действия равномерного нагрева;

- разница температур при неравномерном нагреве ().

Проверка свободных членов:

;

;

и - площади суммарных эпюрM и N.

Окончательную эпюру изгибающих моментов строят путем суммирования единичных эпюр на соответствующее значение неизвестных:

(1).

Кинематическая проверка окончательной эпюры изгибающих моментов состоит в том, что полные перемещения основной системы от совместных действий неизвестных и тепловых воздействий должны быть равны 0.

.

При расчете рам на смещение , где

- перемещение от заданного смещения c.

В тех случаях, когда неизвестные прикладываются по направлению заданных смещений, свободные члены уравнений будут непосредственно равны этим смещениям. При этом положительными считаются смещения не совпадающие по направлению с направлением тех неизвестных которые приложены не к отсеченной от опоры части рамы, а к самой опоре.

Проверка свободных членов уравнений в общем случае сводится к выполнению условия:

, где

- условная опорная реакция от всех единичных или действующих на основную систему рамы по направлению неизвестных.

c – соответствующее смещение опор.

Окончательную эпюру строят по формуле (1).

Кинематическая проверка:

.