Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SBORNIK_PO_MATANU_ShKERINA_mIKhALKIN

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

632.66 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Блок 1. Ограниченные множества.

Доказать, что множество A ограничено. Установить, какие числа являются его точными границами.

1. A = {1; 2; 4; 8; 6}.

2. A = {4; - 42 ; 43 ; - 44 ; 45 ; - 46 ; 410 }.

3. A = {3n : -4 £ n £ 3, n Î Z}.

4. A = {5k : -5 £ k £ 4, k Î Z}.

A = log3

: 3 £ n £

27, n Î Z .

A = sin

:1 £ k £ 10, k Î Z .

4π

2π

A = sin

: − 2 ≤ k ≤ 7, k Z .

A = cos

:1 £ k £ 8, k Î Z .

πn

A = cos

- 5 £ k £ 6, k Î Z .

10.

A = - arctg

-1 £ n

£ 5, n Î Z .

1 1

2 3

n +1

11.

A = 1;

;

;…;

;… .

12.

A =

;

;…;

;… .

n +

2 3

3 4

2 2

13.

A = 2;

;

;…;

;… .

14.

A = -

; -

;…;-

;… .

3 9

4 8

2 2

15. A = −

; −

;…; (−1)k +1

;… .

16.

A = 2; -

;

;…; (-1)

;… .

4k +

3 5

2k + 1

5 9

17. A =

;

;…;

;… .

18.

A =

;

;…;

;… .

n × (n

+1)

2n × 2n+1

× 2 2

3 3 × 4

2 × 4 4 ×

8 8 ×

sin1

19. A =

;

;…;

;… .

20. A =

;

;…;

;… .

1× 3

3 × 5

5 × 7

(2n +1) × (2n + 3)

2 × 3 × 4

3 × 4 × 5

(n +1)× (n + 2)× (n + 3)

(-1)

n+1

21. A = An : An = 1 +

, n Î N .

22. A = An : An

= 3 -

, n Î N0

n +1

1 1

23.

A = 1

;

;…;

;… .

24.

A =

;

;…;

;… .

2 2 3 3

n n +1

3 5 5 7 7 9

3n 3n + 2

25.

A = An

: An = 1 +

+ …+

, n

Î N

26.

A = An : An

+ …+

, n

Î N 0

× 2n

3 6 12

27. A = {arctg x 2 ; x > 1}.

28. A = log

; x

> -

29.

A = 3

+ tg

; x > 1 .

30. A = 5 - log

3 +

; x

4x +

Блок 2. Ограниченные и неограниченные множества.

Найти множество решений уравнения. Выяснить, является ли оно ограниченным.

1. | 2x − 4 |= 3 .

x2 − 3x

+ x = 2 .

3x − 7

= x2 − 7 .

6x + 15

= 2x2 + 7x + 5 .

x − 4

2x − 8

11x +

x2 − x + 3

= 0 .

− 8 = 0 .

x − 3

−

x − 2

− 3x +

3,5 − x

= 0 .

3x + 5

= 3x2

+ 4x + 3 .

x − 3,5

x2 − 7x + 10

= 5x − 25 .

10.

3x2 − 6x − 1

= 2

3 − x

− 7

= 3

12.

x2 + 7x

3x + 2

− 4 .

11.

x + 9

13.

x − 1

x − 3

= 2x − 4 .

14.

3x2 − 6x − 1

= 2

3 − x

15.

x2 − 1

= −

+ 1.

16.

3 +

1 − x

3 = 9 .

17.

2x − 3

−

x + 1

3 − x

18.

x2 − 4x

= 1.

x − 5

+ 2 .

19.

20. x 3 + 4

3 − 5 = 0 .

3 −

x − 1

21.

x2 − 6

+ 4

= 1.

22.

x −

4 − x

− 2x = 4 .

23.

(x − 5)3 − 76

= 49 .При каких значениях

24.

x − 11

−

x − 1

= a .

параметра a множество решений уравнения

неограниченно?

25.

x − 3

−

x + 1

= a .

26.

x − 10

x + 2

= a .

27.

x + 3

− a

x − 1

= 4 .

28.

x + 6

+ a

= 6 .

29.

+ x + 1

+ a

x2 + x − 1

= 2 .

30. Найти значения параметров a,b,c , при которых

множество решений уравнения

x − a

−

x − b

= c

(a < b) является

неограниченным.

Блок 3. Ограниченные и неограниченные множества.

Найти множество решений неравенства. Выяснить, является ли оно ограниченным.

x - 4

> -1.

3x - 5

> 9x + 1.

x - 2

(x -1) >1.

2x -1

x - 3

£ 4 .

x2 - 5x

< 6 .

-1

> 0 .

-1

3x +1

³1.

x + 3

> 2 .

x - 5

+ 5x +

x3 -1

³1 - x .

10.

x -1

x - 2

³ x - 3.

11.

3x + 4

2x + 11

12.

2x -1

- 4 >

x +1

13.

- 9

16 - x2

£ 25 .

14.

- 3x + 2

£1.

+ 3x + 2

(x -1)

12 + x - x2

£ 0 .

3 - x

15.

16.

3 + x

17.

x - 6

- 5x + 9

18.

x -1

+ 10

> 2 .

x -1

+ 3

19.

x + 2

> 0 .

20.

5 -

- 5

x2 +

4 - x2

- 2 x2 -1

21.

3x + 1

+ x + 1

³ 2 .

22.

x2 + x

>11.

x3 + x - 3

- 5

£ x3 - x + 8 .

2 -

> x - 2 .

23.

24.

x + 2

£1.

25.

x + 2

x + 3

26.

x + 1

x + 5

x +

29.

x - 3a

x + a

< 2a .

-1)( x

+ 3 + 2x)³ 0 .При каких

28.

x - 2

- 4x + 3

значениях параметра a множество решений

неравенства является ограниченным сверху, но

неограниченным снизу?

x - a

- 2a >

x - 3a

Найти все значения параметра a , при каждом из

которых множеством решений неравенства

+ 3

x - a

³ a2

является всё множество R .

Блок 4. Понятие функции.

Задает ли таблица функцию y=f(x)?

1.	х		1		2	3	4		5
	у		2		5	2	6		7
3.
3.	х		–1		1	2
	у		0		1	1
5.
5.	х		0		1	1
	у		3		3	4
7.
7.	х		–1		0	2	2		3
	у		–3		0	2	3		1
9.
9.	х		7		7	0	5
	у		–1		–2	0	6
11.
11.	х		–1		0	1	–1		0	1
	у		1		2	3	4		5	6
13.
13.	х		–5		–4	–3	–2	–1
	у		2		1	0	0		–1
15.	х		–2		–1	0	1	2
	у		3		3	0	4	3
Можно ли задать функцию так?
16. f(x)=		2		, xÎ(– ¥;+¥).

		х - 3

18. f(x)= х2 -1 , xÎ(–2 ;+2).

х +1

Задают ли функцию у=f(x) следующие линии:

20.			21.
	у
22.	у	5	23.
	о	5	х

ох

24.

2.	Х	1	1	2
	У	2	–1	2
4.
4.	х	0	1	2
	у	1	2	3
6.
6.	х	–2	4	5	7
	у	0	3	5	3
8.
8.	х	3	4	5	6
	у	3	3	3	3
10.
10.	х	10	9	8	7	6
	у	0	1	2	3	0
12.
12.	х	1	5	9	13	17	21
	у	21	17	13	9	5	1
14.
14.	х	0	1	–1	1	0	5
	у	0	1	2	3	4	5

17.		2	,	если х £ 2,
	f(x)= х
	5, если х ³ 2.
	- 1,			если х £ 0,
19.				если х = 0,
	f(x)= 2,
				если х ³ 0.
	5 ,

о	у	х

о х

	о	х
25.	Каждому n N соответствует наименьшее простое число р>п. Будет ли при этом				определена
	функция? Каковы ее область определения и множество значений? Можно ли эту функцию полностью
	задать таблицей?
26.	Составьте таблицу значений функции целочисленного аргумента у=		1	для 1≤х≤6.
26.				для 1≤х≤6.
			х!

27.Значение функции целочисленного аргумента u=f(n) равно числу простых чисел, не превосходящих п. Составьте таблицу значений u для 1≤п≤20.

28.Значение функции целочисленного аргумента u=f(n) равно числу целых делителей аргумента, отличных

от 1 и самого п. Составьте таблицу значений и для 1≤п≤20.

29.Самоходный комбайн с шириной захвата жатки в 6,1 м убирает поле пшеницы. Если обозначить путь, пройденный комбайном за время работы, через х, а площадь убранного участка поля через у, то можно ли сказать, что у является функцией х?

30.Определена ли функция, если при х>0 ему соответствует его квадрат, а при х<0 – куб? Если функция определена, то какое множество является ее областью определения и как задано правило, определяющее функцию? Запишите эту функцию.

Блок 5. Значение функции в точке.

Найдите значения функций в указанных точках.

f(x)=x2–4,

x [–3;3].

f(0);

f(3);

f(sint);

f(sin2t–5).

f 3 +

;

f(x)=lg |6x–8|.

f(–1);

f(sin 0);

;

f -

;

f(1);

2a2 +1

sin x,

если -1 < x < 0,

;

f -

;

+ a

f(x)=

если 0 £ x £ 2.

1 + x

f(–1);

f(– a2);

+ 3

f(x)=

f cos

;

f sin

;

- 4x + 3

+ 2

πa

f(x)=lg cos x.

;

f -

;

f(0);

f(p);

, |a|<1.

3π

f(x)=

sin x .

f(0);

;

f(p);

f(pa), 0<a<1.

2x+1,

если x < 0,

2 + 4

5π

f(x)= 3,

если x = 0,

f sin

;

f(lg1);

f(1);

f(3+a

);

+ 3

+1,

если x ³ 3.

если – 1 < x < 1,

f(x)=

f(0);

f(1);

f(1+t

);

tg –

- 2x,

если x ³ 1.

|x|+1

f(x)=

f(–2);

f(0);

f(sint);

; f

1 - x

10.

f(x)=lg (x –10 x).

f(–5);

f(0);

f(15);

f sin

;

f(10+a

), a¹0.

если – 1 £ х £ 0,

3π

11.

f(x)= 2

f(– p);

f(0);

;

f(1+a

);

f(–2–

если x > 0.

sin x,

2x ,

если – 1 < x < 0,

12.

f(x)= 2,

если

0 £ x < 1,

f sin

;

f(lg10);

f -

;

f(cos

a+sin

a).

1 £ x £ 3.

x -1,

если

cos x,

если х £ 0,

13.

f(x)=

если x >

;

f(0);

sin x,

cos x,

если – 1 < х < 0,

14.

f(x)=

;

если 0 £ x £ 2.

1 - x

+ x

+1, если – 1 £ x < 0,

15.

2 x,

0 £ x £ π,

f(–1);

f(x)= sin

если

x -1

если

p < x £ 5.

-1,

если х < 0,

16.

f(–4);

f(0);

f(x)= 1

если x > 0.

f(– a2);		f(2x);	f(pn2).
	π				1
f cos		; f(–	p);	f		; f(sin pn).
					+ a2
	6			1

		3			p2 +1
f(– p); f(cos 0);	f			;	f		.
			2
	1 + а					p

	4p
			2			2
f sin		;	f( lg (x +1));	f	1 + a		.

	5

если x £ -1,

17.

f(x)= 2- | x |,

если – 1 < x < 2,

f(–4);

;

f(–0,5);

f sin

;

f(2+x ).

если x ³ 2.

x+1

если х £ -1,

p(1 + 4n)

18.

f(x)=

f(– p);

f(cos p);

;

f(4+x );

f sin

если x > 1.

2x- | x |,

- x,

если х £ 0,

19.

f(x)=

f(–5);

f(0);

f(2

);

;

f(– a

если x > 0.

log2 x,

20.

f(x)=

cos x

. f(p);

;

f(pn);

;

f(pn

2 - x,

если x £ 2,

−a2

21.

f(x)=

если 2 < x <

f(3);

;

f(sin a);

f(100);

если x ³ 4.

1 + a2

lg x,

< x

< 0,

tg x,

если –

22.

f(x)= cos x,

если 0 £ x <

f(cos p);

;

f(lg 1);

f(2+a

если x ³

sin x,

23.

f(x)=

f(0);

;

f(pn);

f -

1 - sin2 x

4n2

x - 5,

если х £ 0,

7π

24.

f(x)=

f(0);

;

f sin

;

f tg

;

если x ³ 1.

25.

f(x)=

;

f(pn

);

;

f(p n).

sin x × cos x

+ 3x + 2,

если х £ -2,

26.

f(a2+2); f(lg 10);

f(x)=

если x >

f(–2);

f(–10);

lg x

f(1+cos2a).

f(cost).

27.

f(x)=

lg(x2 - 9x) .

f(–1);

f(lg 1);

f(cos 0); f

;

f(|a|+10).

1 + a

p(2n +1)

28.

f(x)=

f sin

;

f(pn);

;

1 - cos2 x

p +1

2|x|

p(2n +1)

29.

f(x)=

sin x

;

f(cos p);

f(pn);

;

p(2n +1)

πa

cos x

30.

f(x)=

lg 2

f(1); f(p);

f(2pn);

;

π +

Блок 6. Область определения функции.

Найдите область определения функции:

1.а)

2.а)

3.а)

4.а)

5.а)

6.а)

7.а)

8.а)

9.а)

10.а)

11.а)

12.а)

13.а)

14.а)

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

19.а)

20.а)

21.а)

f(x)= x2 - 4x -12 ;

f(x)=	(1 - x)(1 + 5x)		;
	x
f(x)=		;

	x2 - 3x + 2

f(x)= log1 (-3x2 - 7x - 2) ;

f(x)=

2x - 4

;

x +1

f(x)=

;

lg(-x2 + 5x - 6)

3x - x2

f(x)=

;

x -1

f(x)=

2 +

;

- x

f(x)=lg

x(x − 3)

;

2x - 5

f(x)=(x–3)

x - 2

;

x +1

f(x)=

;

32 х−2 + 9х -10

f(x)=ctg px;

f(x)= x2 - 4x + 3 ;

cos x

f(x)=

;

3 - 2 sin x

f(x)=

;

+ 2 cos x

f(x)=

;

+ tg x

f(x)=

;

sin x × cos x

f(x)=

;

sin x + cos x

x − 4

f(x)=

;

x2 - x - 2

f(x)=

1000

;

sin

2 x - cos x

x + 2

f(x)=

;

lg cos x

б)

f(x)=lg (x–2) – 9 - x –

x - 4

f(x)=log3 (x2–5 x–36)+ 3

+ 3

б)

x -1

б)

f(x)= log 1 (x2 + 6x + 9) +

x2 - 2x - 8 .

б) f(x)= x2 - 3x + 2 +

3 + 2x - x2

б) f(x)=

- 5

x + 3

2 lg(4x + 5)

б) f(x)=

+ lg

x + 1

9 - x2

x - 2

б)

f(x)=

+ 3 sin x .

sin x

б)

f(x)=

- 5 + sin 3x.

x |

б)

f(x)=

2x − 3

x2 + 2x + 3

б)

f(x)=lg

х − 5

2 + х - х2

х -1 2

б)

f(x)= 1 -

х +1

х − 5

б)

f(x)=lg

- 3 х + 5 .

х2 -10х +

б)

f(x)=

x2 -16

lg(x2 - 8)

б)

f(x)=

log2 x -1 +

- 25

б)

f(x)=

x +

– lg (2 x–3).

- 2

б)

f(x)=lg (x2–1)+

x2 - x -12 .

б) f(x)=

+ lg (x3– x).

4 - x2

б) f(x)= 4

+ 6 9 - x2 .

4 - x

б) f(x)=

+ x + 2 .

lg(1 - x)

б) f(x)=

x - 2

x - 3

+ arcsin

3 − 2x

б) f(x)=

3 - x

22.

а)

f(x)=

lg 3x

;

б)

f(x)= arcsin

x − 3

– lg (4– x).

(x - 3) × lg(x -1)

- x - 4

23.

а)

f(x)=

;

б)

f(x)=lg sin (x–3) + 16 - x2 .

2 - x

f(x)=

sin x +

24.

а)

cos x

;

б)

f(x)= lg cos 2x – arcsin ( x–1).

sin x -

3 cos x

25.

а)

f(x)=log2 log3 log4 x;

б)

f(x)=

cos x - 0,5

6 - 35x - 6x2

26.

а)

x2 - | x | -2 ;

б)

16 - x2 .

f(x)=

sin x

27.

а)

log2 (x2

- 4x - 5)

б)

f(x)=

;

f(x)=

sin x .

1 - sin x

cos x

28.

а)

f(x)=

x - 2

1 - x

;

б)

f(x)= arctg x - arctg

x + 2

1 + x

x − 2

4 - x

29.

а)

f(x)=

;

б)

f(x)=

3 - x + arccos

sin x × cos x

f(x)=logx+1 (x2–3 x+2);

f(x)= arcsin

+ arcsin

30.

а)

б)

1 - x

x .

Блок 7. Множество значений функции.
Найдите множество значений функции:
1.	y=5sin x.	2.	y= – ( x+2)2+5.	π
3.	y=1–2 \|cos x\|.	4.		π
3.	y=1–2 \|cos x\|.	4.	y=sin x + sin х +	.
				3