Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SBORNIK_PO_MATANU_ShKERINA_mIKhALKIN

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

632.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Блок 49. Определение непрерывности функции на «языке приращений».

Пользуясь определением непрерывности «на языке приращений», докажите непрерывность следующих

функций в области их определения:
1.	f(х)=х2–3 х+1.	2.	f(х)=2x–3 х2+1.	3.	f(х)=4x2+6x+2.
4.	f(х)=2х2+8х–1.	5.	f(х)=–3 х2–9 x+5.	6.	f(х)=–5 x2–7 x+4.
7.	f(х)=–3 х2–5 х+1.	8.	f(х)=2x2–3 х–1.	9.	f(х)=4x2– x–3.
10.	f(х)=5х2+3х+9.	11.	f(х)=3х2+5x–9.	12.	f(х)=–2 x2+7x+4.
13.	f(х)=–4 х2+9х–3.	14.	f(х)=–5 х2–8 x+1.	15.	f(х)=–3 x2–6 x+10.
16.	f(х)=2х2–4 х+6.	17.	f(х)=4х2–2 x+3.	18.	f(х)=5x2+5x–7.
19.	f(х)=3х2+7х–4.	20.	f(х)=–2 х2+9x–11.	21.	f(х)=–4 x2–8 x+5.
22.	f(х)=–4 х2–6 х+9.	23.	f(х)=–2 х2–4 x+13.	24.	f(х)=3x2–2 x+5.
25.	f(х)=5х2+х+1.	26.	f(х)=4х2+4x–11.	27. f(х)=2x2+6x+12.
28.	f(х)=–3 х2+8х+4.	29.	f(х)=–5 х2–9 x+7.	30.	f(х)=–4 x2–7 x+6.

Блок 50. Исследование функции на непрерывность. Классификация точек разрыва.

Исследуйте функцию на непрерывность, непрерывность слева и справа. Определите род точек разрыва и

устраните их, где это возможно. Постройте график.

если x < -2,

если x £ 0,

если - 2 £ x < 1,

если 0 < x < 1,

f(х)= x2 -1, если 1 < x £ 2,

f(х)= x

если 1 < x £ 2,

, если x > 2.

- 2

если x > 2.

2x,

если x < 0,

- x

если x £ 0,

tg x,

если 0 < x < p ,

если 0 < x £ 1,

f(х)=

, если 1 < x < 2,

sin x,

если 2 £ x < p,

x -1

если x ³ p.

если x > 2.

	1,	если x £ 0,
		если 0 < x < 1,
3.	lg x,	если 0 < x < 1,
3.	f(х)=
	x -1,	если 1 < x < 2,
		если x ³ 2.
	- x,	если x ³ 2.
	x,	если x £ 0,
		если 0 < x < p ,
	ctg x,	если 0 < x < p ,
			2
6.			p
6.	f(х)=	если x =	p
	1,	если x =	,
			2
			p
		если x >	p
	cos x,	если x >	.
			2

	- 2,						если x £ -1,
				1
				1			если -1 < x < 0,

7.	- ,
7.	f(х)=				x
			3			,	если 0 £ x < 1,
	x					,	если 0 £ x < 1,
							если x > 1.
	1,						если x > 1.
		x		,			если x £ 0,
	5			,			если x £ 0,
								p
							если 0 < x <	p
	tg x,						если 0 < x <	,
10.	f(х)=							2
10.	f(х)=						если p £ x < p,
	sin x,						если p £ x < p,
							2
							если x > p.
	x - π,						если x > p.


	x,						если x £ 0,
							если 0 < x < 1,
8.	f(х)= lg x,						если 0 < x < 1,		9
	1 - x,						если 1 < x < 3,
							если x ³ 3.
	sign x,						если x ³ 3.
	(x -1)2 , если x £ 1,
			2
			2				<	<
11.	f(х)=	1 - x				,	если 1	x	3,
				x
	-				,		если 3 < x £ 4,
	-			3	,		если 3 < x £ 4,
							если x > 4.
	0,						если x > 4.

x3		,				если x £ -1,

1
f(х)=				,		если – 1 < x £ 0,
f(х)=				,		если – 1 < x £ 0,
x	+1					если 0 < x < 1,
x,						если 0 < x < 1,
						если x > 1.
1,						если x > 1.
		sign x,							если x < 0,
					2 ,				если 0 £ x < 1,
		x			2 ,				если 0 £ x < 1,
12. f(х)=			2		x−1		,		если 1 < x £ 2,
			2				,		если 1 < x £ 2,

						1		,	если x > 2.

						- 2
		x				- 2

	\| x \|,			если x £ 1,
		x
	-	x	,	если 1 < x < 2,
13.	-	2	,	если 1 < x < 2,
13.	f(х)=	2
	lg(x - 2),			если 2 < x < 3,

				если x > 3.
	0,			если x > 3.

			если -		p	< x	< 0,
sin x,					2

							1
3x,			если 0 < x <					,
							3

14. f(х)=				1
2,			если		< x £ 1,

			3
	2
		,	если x > 1.
	- x
1

2,

x +1,
15. f(х)= 4,
		1

		- 3
x

если x < 1,

если 1 < x £ 2,

если 2 < x £ 3,

, если x > 3.

	3	,		если x £ 0,
x		,		если x £ 0,
cos x,				если 0 < x < π ,
			π	π		2
16. f(х)=			π	π	< x £ π ,
x -			,	если	< x £ π ,
			2	2			3π
							3π
tg (x - π ),				если π	< x <			.
tg (x - π ),				если π	< x <	2		.
						2

e− x

sin

17. f(х)=

ctg

,если x £ 0,

x, если 0 < x < p , 2

,если p < x £ p,

(x - p), если p < x < 2p.

| x + 1 |,

cos x,

18.f(х)= x ,

x − 2π

åñëè	x < 0,
åñëè	0 < x < π ,
åñëè	π ≤ x ≤ 2π ,
åñëè	x > 2π .

						если 0 < x <		p
	cos 2x,					если 0 < x <		,
								4
				p		p		p
			-	p		p	< x £	p
19.	x		-	4	,	если	< x £	,
19.	f(х)=			4		4		2
			2			, если p < x £ p,
			2
		2x - p
		2x - p				2
						если x > p.
	1,					если x > p.
	3x,					если x < -1,

	x2 - 4, если -1 < x £ 2,
21.	f(х)=		2		,	если 2 < x £ 3,

		2	- x
		2	- x			если x > 3.
	ex ,					если x > 3.

2x ,

					1
	- x -					,
	- x -				2	,
23.	f(х)=				2
23.	f(х)=
	x3,


	tg x,

			x
	cos			,
	cos		2	,
			2
		+1,
25.	x	+1,
25.	f(х)=
	lg (x -1),

		1	x
		1
				,
				,
		2

если x < -1,

если -1 < x £ 0,

если 0 < x £ p , 2

если p < x < 3p . 2 2

если - p < x < 0,

если 0 < x £ 1,

если 1 < x £ 2,

если x > 2.

	x+1			,		если x < -1,
	e

27.	f(х)= 2 + x,					если -1 < x £ 0,
	\| ln x \|,					если 0 < x £ e,
						если x > e.
	0,
	2x3			,		если x < 0,
			-1,			если 0 < x £ 1,
	ex
29.
	f(х)= x +1					если 1 < x £ 2,
					,

	x -			1
		x	,			если x > 2.
	2

	sign x,											если x < -2,
						+1,							если – 2 < x £ 0,
	x					+1,							если – 2 < x £ 0,
20.				x
20.	f(х)=			x		-1,							если 0 < x £ 1,
		e				-1,							если 0 < x £ 1,
		1
		1							,			если x > 1.

					-
	x				-			1
								x				если 0 £ x < p,
	sin									,
	sin							2		,
								2

	x											если p < x < 4,
22.						,
						,
	f(х)= p
	4,												если 4 £ x £ 5,

						1				,		если x > 5.

						-		5
	x					-		5
													если 0 < x <		π
	- sin x,												если 0 < x <		,
															2
													если π < x £ 2,
24.	f(х)= -						2 x				,
24.	f(х)= -										,
							π						2
	ln (x - 2), если 2 < x < 3,
													если x ³ 3.
	3,												если x ³ 3.
	- x,											если x < 0,
												если 0 < x £ π ,
	sin x,											если 0 < x £ π ,
26.													2
26.	f(х)=											если π < x £ π ,
	tg x,											если π < x £ π ,
													2
	π ,											если x > π .
	(x +1)2 ,												если x < -1,
													если -1 £ x < 0,
	x,												если -1 £ x < 0,
28.	f(х)=												если 0 < x £	p	,
			sin 2x,										если 0 < x £	4	,
														4
						4							если x > p .
						4						,
												,
	4x - π												4
								p					если x £ 0,
	cos							,					если x £ 0,
								2
30.												x,	если 0 < x < 2,
30.	f(х)= log1/ 2											x,	если 0 < x < 2,
	x - 3,												если 2 < x < 3,

													если x ³ 3.
	sign x,												если x ³ 3.

Блок 51. Исследование функции и построение графика.

Не используя средств дифференциального исчисления, исследуйте функцию и постройте ее график:


1.	у=	x + 1											2.					x2 + 1											3.				(x − 3)2
						.								у=								.								у=											.
		x2 + 1																x −1																4(x −1)
4.		x											5.				1												6.					x2
	у=			.										у=													.			у=								.
		1 + x2																x2 − 2x + 3																x2 + 1
7.		x2 + 4											8.					x2 − 4											9.					2x
	у=									.				у=									.							у=						.
		x																2x																4 − x
10.		1											11.				1												12.			1
	у=											.		у=											.					у=									.
		x2 + 2x + 3														x2 − 2x − 8																x2 − 9
13.		x + 1											14.				1												15.			1
	у=								.					у=												.				у=														.
		4 − x2															x2 − 5x + 6																(2 − x2 )(5 − x2 )
16.		2x −1											17.					x2											18.			x2 −1
	у=				.									у=						.										у=							.
		3x2																x − 3														x2 + 1
19.		x2 + 1											20.					x3 + 1											21.				x3 + x
	у=						.							у=							.									у=										.
		x2 −1																x2																x2 −1
22.		x											23.					x3											24.			2
	у=										.			у=					.											у=													.
		(x − 1)2															x −1															(3 − x2 )(5 − x2 )
25.		x											26.								x								27.					x2
	у=		.											у=														.		у=					.
		1 − x2															(x −1)(2 − x)														x − 2
28.		3x − 2											29.				x2 + 3x −1												30.			2x2 + x −1
	у=							.						у=										.						у=												.
		5x2													x2 − 3x + 1																		2x2 − x −1

Блок 52. Теоретические задачи по теме «Непрерывность».

1.Функция f непрерывна в точке хо, а функция g разрывна в точке хо. Докажите, что функция f+g разрывна в этой точке. Приведите пример разрывных в точке хо функций f и g, сумма которых: а) разрывна в точке хо; б)

2.	непрерывна в точке хо.
2.	Исследуйте на непрерывность функции f(g(x)) и g(f(x)) в точках, где определены эти композиции, если f(x)=sign
	x, g(x)=x3– x.
3.	Приведите пример непрерывной в точке хо функции f и разрывной в точке хо функции g, произведение которых:
	а) разрывно в точке хо; б) непрерывно в точке хо. Приведите пример разрывных в точке хо функций f и g,
	произведение которых: а) разрывно в точке хо; б) непрерывно в точке хо.

4.Докажите, что если у=f(х) – непрерывная функция, то непрерывны и функции у=|f(х)|, у=f(|х|).

5.Приведите пример функции, непрерывной на каждом из промежутков Х1 и Х2, но не являющейся непрерывной на множестве Х1ÈХ2.

6.Могут ли две непрерывные на [a;b] функции различаться лишь в одной точке?

7.Функция f непрерывна на [а;с] и на (c;b]. Будет ли она непрерывна на [а;b]?

8.Функция f непрерывна на [а;с] и на [c;b]. При каком условии она будет непрерывна на [а;b]?

9.Докажите, что уравнение х5–3 х=1 имеет хотя бы один корень на (1;2) и имеет не менее трех корней на R.

10.Докажите, что разрывная функция у=е| х |×sign x имеет непрерывную обратную.

11.Функция f возрастает на отрезке [a;b] и разрывна в точке хоÎ[a;b]. Функция g монотонна на отрезке [f(a);f(b)]. Приведите примеры таких функций f и g, что g(f(x)) непрерывна в точке хо.

12.Приведите пример функции f: а) непрерывной на интервале (0;1); б) непрерывной на R, для которой уравнение f(x)=x не имеет решений.

13.Докажите, что периодическая функция периода Т, непрерывная на каком-либо отрезке [а;а+Т], непрерывна на R.

14.Найдите все непрерывные на R функции f, удовлетворяющие для любых х, уÎR равенству

f(x+y)=f(x)+f(y). Приведите пример разрывной функции f, удовлетворяющей для любых х,

уÎR равенству f(x+y)=f(x)+f(y).

15.Функция f определена на отрезке [a;b]. Для любого отрезка [c;d], a<c<d<b множество значений f (x), xÎ[c;d] является отрезком. Следует ли отсюда непрерывность функции f на отрезке [a;b]?

16.Приведите пример функции, непрерывной на интервале, множеством значений которой является: а) отрезок; б) интервал; в) полуинтервал.

17.Может ли быть непрерывной композиция g f , если:

1)f непрерывна, g разрывна;

2)f разрывна, g непрерывна;

3)f и g разрывны?

18.Приведите пример непрерывной, строго возрастающей функции, обратная к которой разрывна.

19.Приведите пример функции f, непрерывной в точке хо, имеющей обратную функцию, разрывную в точке

	yo=f(xo).
20.	Функция f		непрерывна на [a;+¥), и существует конечный lim		f (x) . Докажите, что f	ограничена на [a;+¥).
				x→+∞
21.	Функция		f	непрерывна на интервале (a;b) (конечном	или бесконечном), и	существуют конечные
	пределы lim			f (x) и lim f (x) . Докажите, что функция f ограничена на (a;b).
		x→а		x→b
22.	Функция		f	определена на отрезке [a;b] и обладает следующим свойством: для любых х1, х2Î[a;b] и для
	любого числа с, лежащего между f(x1) и f(x2), существует точка xÎ(x1;x2) такая, что f(x)=c.
	1).	Укажите функцию, обладающую таким свойством, но не являющуюся непрерывной на [a;b].
	2).	Точки разрыва какого рода может иметь функция, обладающая указанным свойством?

23.Пусть функция, определенная на отрезке [a;b], непрерывна и обратима. Докажите, что эта функция строго монотонна на [a;b].

24.Докажите, что если функция определена и строго монотонна на промежутке, то ее обратная функция непрерывна.

25.Функция f определена и непрерывна на [a;b], и все ее значения положительны. Докажите, что существует число

m>0 такое, что f(x)³m для любого хÎ[a;b]. Приведите пример функции f, непрерывной на интервале (a;b), принимающей лишь положительные значения и такой, что для любого m>0 найдется значение f(x)<m, хÎ(a;b).

26.Может ли разрывная функция иметь непрерывную обратную?

27.Докажите, что уравнение 10х–1 =х имеет только один корень хо¹1.

28.Функция f непрерывна и ограничена на интервале (а;+¥) и не имеет предела при х®+¥. Докажите, что найдется число а, для которого уравнение f(х)=а имеет бесконечное множество корней.

29.Пусть функция f непрерывна на [0;1] и множество ее значений содержится в [0;1]. Докажите, что существует

точка сÎ[0;1] такая, что f(с)=с.

30. Функция f непрерывна на R и f(f(x))=х для любого хÎR. Докажите, что существует точка с, в которой f(с)=с.

Блок 53. Вычисление предела функции в точке.

Вычислите пределы функций:

	1 - tg x	-	1 + tg x			3	tg x	-1
1. lim				.	2. lim				.
1. lim				.	2. lim				.
x→π	sin 2x				x→	π 2 sin2		x -1
						4

lim

arccos x

x→−1+0 2 sin2 x -1

lim

1 + sin x

1 - sin x

x→0

tg x

lim

1 - cos x

cos 2x

x→0

9.lim . x→0 1 + x sin x - cos x

11.	lim	1	-		cos x	.

	x→+0	1	- cos x
							-		.
13.	lim			1 + 2 sin 3x				1 - 4 sin 5x

	x→0					sin 6x

15.lim 3cos 4x - 3cos5x . x→0 1 – соs 3x

17.

lim

1 - cos x

cos 2x

x→0

tg x2

19.

lim

arctg х×sin2

+ 5 cos x .

x→0

21.

lim

2cos2 x + (ex -1)×sin

x→0

× cos

x + 2

23.

lim

lg(x + 2) + sin

4 - x2

x→2

x - 2

× arctg

+ 3

tg x

25.

lim

2 – lg (1 + sinx)

x→0

27.

1 + cos px

lim

x→−2

4 + (x + 2) ×sin

x + 2

-1

29.

lim

1 + xsin x

x→0

ex2 -1

lim

1 + cos x

sin2 x

x→0

lim

1 + x sin x

cos 2x

2 x

x→0

lim

1 + tg x

1 + sin x

x→0

10.

lim

1 - cos x

x→0

12.

lim

tg2 x

x→0

2 -

1 + cos x

- 3

14.

cos x

lim

sin2 x

x→0

1 -

16.

lim

cos x

x→+0 x - x cos

18.

lim

x 2

+ sin

+ 4 cos x .

x→0

20.

lim

(esin x -1)×cos

+ 4 cos x .

x→0

cos x + ln(1 + x) 2 + cos

22.

lim

2 + ex

x→0

24.

lim

3 sin x + (2x - p) ×sin

x→ π

2x - p

3 tg x + (4x - p) × cos

26.

lim

- p

x→ π

lg (2 + tg x)

28.lim 1 - cos x × 3cos 3x . →0 1 - cos 2xx

30.lim 4sin x - 3cos x .

πcos2 xx→

Блок 54. Вычисление предела функции (первый замечательный предел).

Вычислите пределы функций:

1. lim

x→0

3. lim

x→0

5. lim

x→0

7. lim

x→0

9. lim

x→0

11. lim

x→0

13. lim

x→0

15. lim

x→0

17. lim

x→0

19. lim

x→0

21. lim

x→0

23. lim

x→0

25. lim

x→0

27. lim

x→0

29. lim

x→0

sin 7x x2 + px .

tg (p(2 + x))

tg x - sin x . x(1 - cos 2x)

2x ×sin x .

1 - cos x

1 - cos 2x

cos 7x - cos3x

arcsin 3x

2 + x - 2

4 + x - 2 . 3arctg x

1 - 3 x +1 cos p(x +1) .

cos 2x - cos x . 1 - cos x

ln (1 + sin x) . sin 4x

9 ln (1 - 2x) . 4arctg 3x

2sin(p(x +1)) . ln (1 + 2x)

	e4 x -1						.
		x
	sin p		+	1

		2

	sin(5(x + p))					.
	e3x -1
	ln (x2 +1)				.

1 -		x2 +1

2. lim 3x2 - 5x . x→0 sin 3x

4.			1 - cos3 x
	lim												.
	lim							4x2					.
	x→0							4x2
											-1									.
6.	lim								1 + x		-1
6.	lim
	x→0 sin(p(x + 2))
8.	lim									2x															.

																		1
	x→0																	1
					tg 2p x +
					tg 2p x +
																			2
																			2
	lim			1 -
10.				1 -						cos x					.
10.															.
	x→0						x ×sin x
12.	lim	sin2 x - tg2 x																				.
12.	lim									x4												.
	x→0									x4
14.	lim								arctg 2x															.


	x→0 sin(2p(x +10))
												5p
			cos x +														× tg x
			cos x +														× tg x
16.	lim											2														.
16.	lim								arcsin 2x2																	.
	x→0								arcsin 2x2
18.	lim						ln (1 –				7x)										.

											+ 7))
	x→0 sin(p(x										+ 7))
															x
					tg			p 1			+
					tg			p 1			+
														2
20.	lim													2									.
20.	lim							ln (x			+1)												.
	x→0							ln (x			+1)
22.	lim						arcsin 2x														.


	x→0 ln (e - x) -1
24.	lim					1 – cos x								.
24.	lim													.
	x→0 (e3x -1)2
26.	lim						1 − cos10x										.
26.	lim																.
	x→0							ex2 -1
28.	lim							2x -1								.
28.	lim															.
	x→0 ln (1 + 2x)
30.	lim				arcsin 2x								ln 2 .
30.	lim												ln 2 .
	x→0						2−3x -1

3x+1 - 3

Блок 55. Вычисление предела функции (раскрытие неопределенности вида « 0 »).

Вычислите пределы функций:

1.	lim	sin 7πx					.			2.	lim		cos 5x − cos 3x								.
1.	lim						.			2.	lim										.
	x→2 sin 8πх										x→π					sin2 x
														1 - sin					x
			sin 5x											1 - sin
3.	lim		sin 5x			.				4.	lim					2				.
3.	lim					.				4.	lim									.
	x→π tg 3x										x→π				p - x
5.				x	2 - p2					6.					tg πx
	lim							.			lim							.
	lim							.			lim					2		.
	x→π				sin x						x→−2 x +					2
7.	lim			1 − sin 2x					.	8.	lim	1 - x				2	.
7.	lim								.	8.	lim						.
	x→ π (p - 4x)2										x→1 sin px
	4

9.lim 3 - 10 - x . x→1 sin 3px

11.		x2	- x +1 -1
	lim			.

	x→1		tg px

13. lim sin2 x - tg2 x .

x→π (x - p)4

15. lim 3 x -1 .

x→1 4 x -1

17. lim x2 -1 . x→1 ln x

10.

lim

cos 3x − cos x

x→π

tg2 2x

12. lim

1 + cos πx

x→1

tg2px

cos πx

14.

lim

x→11 –

16.

lim

1 + cos 3x

x→π sin2 7x

18.

lim

1 − 2 cos x

x→ π

p –

19.		x2	- 3x + 3 -1
	lim			.

	x→1		sin px

21.	lim		ex + e− x - 2
									.
									.
	x→0				sin2 x
								-1					.
23.	lim				1 + x sin x			-1
23.	lim
	x→0				ex2 -1
25.	lim		sin bx − sin ax									.
25.	lim											.
	x→0				p		+ ax
			ln tg			4	+ ax
						4
27.	lim		esin 2 x - esin x								.
27.	lim				tg x						.
	x→0				tg x
29.	lim			sin x − cos x						.
29.	lim									.
	x→	π			ln tg x
	x→	4
		4

20.			arctg (x2 - 2x)
	lim						.

	x→2		sin 3px
22.	lim 1 – 2 cos x					.
	x→ π sin(p - 3x)
	3
24.	lim	log3x −1		.

	x→3		tg px
26.	lim		ex - е
					.

	x→1 sin (x2 -1)

28.lim sin 2x − 2 sin x . x→0 x × ln cos 5x

30. lim					.
30. lim					.
x→0		+ x 1	+ xe	x
	ln 1	+ x 1	+ xe

Блок 56. Вычисление предела функции (раскрытие неопределенности вида « 0 »).

Вычислите пределы функций:

1.	lim	ln sin x	.

	x→ π (2x − π)2
	2
3.		(x − 2π)2
	lim				.

	x→2π tg (cos x −1)
5.	lim	tg x − tg 2		.

	x→2 sin ln (x −1)

7.	lim			tg ln (3x − 5)								.
7.	lim											.
	x→2 ex+3 − ex2 +1
9.	lim		ln (2x − 5)						.
9.	lim								.
	x→3			esin πx −1
11.	lim				2x + 7			−			2x+1 + 5								.
11.	lim						x3 −				1								.
	x→1						x3 −				1
13.				esin 2 x − etg 2 x
	lim														.
	lim														.
	x→	π					2x
	x→	2				ln π
		2				ln π
15.	lim					(2x −1)2												.
15.	lim			esin πx − e−sin 3πx														.
	x→	1
	x→	2
		2
17.	lim			ln (2 + cosx)									.
17.	lim												.
	x→π				(3sin x −1)2
19.						tg (x + 1)
	lim																.
	lim																.
	x→−1 e3 x3 −4 x2 +6 − e
					arcsin			x + 2
					arcsin
21.	lim			2										.
21.	lim													.
	x→−2 3 2+ x+ x2 − 9
23.	lim				ln cos x					.
23.	lim									.
	x→2π 3sin 2 x −1
25.				etg 2 x − e– sin 2 x
	lim															.
	lim															.
	x→	π				sin x −1
	x→	2
		2

2.lim a x2 −a2 − 1 . →a tg ln xx

				a
4.			2cos2 x −1
	lim				.
	lim				.
	x→	π		ln sin x
	x→	2
		2		ln (4x −1)
6.	lim			ln (4x −1)			.


	x→	1	1 − cos πx −1
		2		2sin πx −1
8.	lim			2sin πx −1				.
8.	lim							.
	x→3 ln (x3 − 6x −					8)

10.lim 31 + ln2 x −1 . x→1 1 + cos πx

12.lim ln cos 2x . x→π ln cos 4x

cos

14.

lim

x→π esin x − esin 4 x

16.

lim

tg (3 x

– 3)

x→π

cos

−1

3 2

sin

18.

lim

x→π 2 1+sin x − 2

20.

lim

ln cos 2x

x→π

1 −

22.

esin 2 6 x − esin 2 3x

lim

x→ π

log3 cos 6x

24.

tg (e

x+2

–e

−4

)

lim

tg x + tg 2

x→−2

26.

lim

ln sin 3x

x→ π (6x − π)2

27. lim

x→3

29. lim

x→−1

− 3x − 5 −

sin

1 + x

ln (x −1) − ln (x + 1) + ln 2

sin(e3

− e3

)

1− x 2

x +1

arctg (x + 1)

		ln (x − 3						)
28.	lim					2x − 3			.

	x→2 sin			πx	− sin (π(x −1))
			2

30.	lim	(x3		− π3 )sin 5x
							.

	x→π		esin2 x −1

Блок 57. Вычисление предела функции (раскрытие неопределенности).

Вычислите пределы функций:

1.		a x − ab
	lim						.

	x→b			x − b
3.	lim		1 − x		.

	x→1 log2 x
						−			.
5.	lim			x + 2				2

	x→0			sin 3x
7.			2sin2 x + sin x − 1
	lim									.

	x→ π 2sin2 x − 3sin x + 1
	6

2.	lim	x3	+ 1			.
					1)
	x→−1 sin (x +
4.	lim	1 − x	2	.


	x→1 sin πx
6.	lim	1 + x sin x − cos 2x					.

	x→0		sin2 x
8.	lim	sin(x + h) − sin(x − h)						.

	h→0				h

9.lim 1 − sin3 x .

πcos2 xx→

	2
11.		1 − cos 2x + tg			2 x
	lim					.
	lim		x sin 3x			.
	x→0		x sin 3x
13.		2x – 2
	lim			.
	lim			.
	x→1		ln x

15.lim 1 − cos x . x→0 1 − cos x

17.

lim

a x+h + a x−h − 2ax

h→0

19.

lim

lg x −1

x→10

x − 9 −1

21.

lim

ln 2x − ln π

x→

sin 2 cos x

23.

eπ − ex

lim

x→π sin 5x − sin 3x

25.

x2 − x + 1 −1

lim

x→1

ln x

27.

lim

ln tg x

x→

cos 2x

10.

lim

1 + tg x

−

1 + sin x

x→0

− 2

12.

8 + x

lim

sinπx

x →0

−1

14.

lim

cos x

x→0

sin2 2x

16.

lim

tg x − tg a

x→a ln x − ln a

18.

lim

x2 (ex − e− x )

x→0

еx3 +1 − е

20.

eαx − eβx

lim

x→0 sin αx − sin βx

22.

lim

2x −16

sin πx

x→4

24.

lim

sin 7x − sin 3x

x→2π

ex2 − e4π2

5x−3

−

2 x2

26.

lim

x→1

tg πx

28.

lim

ln (5 –

2x)

x→2

10 – 3x − 2

29.

lim

ln (9 – 2x

2 )

30. lim

1 − 24− x2

x→2 sin 2πx

x→2

2x −

− 5x + 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.20161.22 Mб380Robotova_A_S__Leontyeva_T_V_Vvedenie_v_pedagogicheskuyu_deyatelnost_2002.doc
#
10.02.2015159.34 Кб7Russian.rtf
#
10.02.2015319.49 Кб137russkaya_ekzamen.doc
#
10.02.20155.43 Mб93R_YaZ.docx
#
23.03.201610.05 Mб40Samouchitel_Sozdanie_proekta.pdf
#
10.02.2015632.66 Кб23SBORNIK_PO_MATANU_ShKERINA_mIKhALKIN.pdf
#
10.11.201922.41 Кб13Seminary_po_mirovoy_politiki.docx
#
05.12.201881.41 Кб5seminary_vozrastnaya_psihologia.doc
#
10.02.2015116.22 Кб28Seminar__5_i__6.doc
#
24.04.2019239.62 Кб4Sempщ - Goscinny [Petit Nicolas] (1962) Les vac....doc
#
23.03.2016412.33 Кб9Shmidt_F_I_Istoricheskie_etnograficheskie_khudozhestvennye_muzei.pdf