![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
SBORNIK_PO_MATANU_ShKERINA_mIKhALKIN
.pdfБлок 49. Определение непрерывности функции на «языке приращений».
Пользуясь определением непрерывности «на языке приращений», докажите непрерывность следующих
функций в области их определения: |
|
|
|
||
1. |
f(х)=х2–3 х+1. |
2. |
f(х)=2x–3 х2+1. |
3. |
f(х)=4x2+6x+2. |
4. |
f(х)=2х2+8х–1. |
5. |
f(х)=–3 х2–9 x+5. |
6. |
f(х)=–5 x2–7 x+4. |
7. |
f(х)=–3 х2–5 х+1. |
8. |
f(х)=2x2–3 х–1. |
9. |
f(х)=4x2– x–3. |
10. |
f(х)=5х2+3х+9. |
11. |
f(х)=3х2+5x–9. |
12. |
f(х)=–2 x2+7x+4. |
13. |
f(х)=–4 х2+9х–3. |
14. |
f(х)=–5 х2–8 x+1. |
15. |
f(х)=–3 x2–6 x+10. |
16. |
f(х)=2х2–4 х+6. |
17. |
f(х)=4х2–2 x+3. |
18. |
f(х)=5x2+5x–7. |
19. |
f(х)=3х2+7х–4. |
20. |
f(х)=–2 х2+9x–11. |
21. |
f(х)=–4 x2–8 x+5. |
22. |
f(х)=–4 х2–6 х+9. |
23. |
f(х)=–2 х2–4 x+13. |
24. |
f(х)=3x2–2 x+5. |
25. |
f(х)=5х2+х+1. |
26. |
f(х)=4х2+4x–11. |
27. f(х)=2x2+6x+12. |
|
28. |
f(х)=–3 х2+8х+4. |
29. |
f(х)=–5 х2–9 x+7. |
30. |
f(х)=–4 x2–7 x+6. |
61
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4962x1.jpg)
Блок 50. Исследование функции на непрерывность. Классификация точек разрыва.
Исследуйте функцию на непрерывность, непрерывность слева и справа. Определите род точек разрыва и
устраните их, где это возможно. Постройте график.
|
x, |
|
если x < -2, |
|
1, |
|
|
если x £ 0, |
|||||||
|
|
|
если - 2 £ x < 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
1 |
|
если 0 < x < 1, |
|||||||||
1. |
|
|
|
2. |
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
f(х)= x2 -1, если 1 < x £ 2, |
f(х)= x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
, |
если 1 < x £ 2, |
|||||||
|
|
, если x > 2. |
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
если x > 2. |
||||||
|
x |
|
|
3, |
|
||||||||||
|
2x, |
|
если x < 0, |
|
- x |
2 |
, |
если x £ 0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
tg x, |
если 0 < x < p , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x £ 1, |
|||
|
|
x2 |
, |
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
2 |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(х)= |
|
p |
f(х)= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если 1 < x < 2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin x, |
если 2 £ x < p, |
|
x -1 |
|
||||||||||
|
|
|
если x ³ p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x > 2. |
||
|
3, |
|
|
x, |
|
|
|
|
|
1, |
если x £ 0, |
|
|
|
если 0 < x < 1, |
|
3. |
lg x, |
||
f(х)= |
|
|
|
|
x -1, |
если 1 < x < 2, |
|
|
|
если x ³ 2. |
|
|
- x, |
||
|
x, |
если x £ 0, |
|
|
|
если 0 < x < p , |
|
|
ctg x, |
||
|
|
|
2 |
6. |
|
|
p |
f(х)= |
если x = |
||
|
1, |
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
если x > |
|
|
cos x, |
. |
|
|
|
|
2 |
|
- 2, |
если x £ -1, |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
если -1 < x < 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
- , |
||||||||
f(х)= |
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
3 |
, |
|
если 0 £ x < 1, |
|||
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
если x > 1. |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
, |
|
|
если x £ 0, |
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x < |
|
|
tg x, |
, |
|||||||
10. |
f(х)= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
если p £ x < p, |
|||
|
sin x, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x > p. |
|
|
x - π, |
|
|
x, |
|
|
|
|
если x £ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x < 1, |
|
||
8. |
f(х)= lg x, |
9 |
|||||||
|
1 - x, |
если 1 < x < 3, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
если x ³ 3. |
|
|
|
|
sign x, |
|
|
||||||
|
(x -1)2 , если x £ 1, |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< |
< |
|
|||
11. |
f(х)= |
1 - x |
, |
если 1 |
x |
3, |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
- |
|
|
, |
|
если 3 < x £ 4, |
|||
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
если x > 4. |
|
||
|
0, |
|
x3 |
, |
|
|
|
если x £ -1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(х)= |
|
|
|
|
, |
если – 1 < x £ 0, |
||||
|
|
|
|
|||||||
x |
+1 |
|
если 0 < x < 1, |
|||||||
x, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
если x > 1. |
||||
1, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sign x, |
если x < 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
если 0 £ x < 1, |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
12. f(х)= |
2 |
x−1 |
, |
|
если 1 < x £ 2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
если x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
- 2 |
||||
|
|
|
x |
|
|
|
| x |, |
если x £ 1, |
|||
|
|
x |
|
|
|
|
- |
, |
если 1 < x < 2, |
||
13. |
2 |
||||
f(х)= |
|
|
|||
|
lg(x - 2), |
если 2 < x < 3, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x > 3. |
|
|
0, |
|
|
|
если - |
p |
< x |
< 0, |
|||
sin x, |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
3x, |
|
если 0 < x < |
, |
||||||
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. f(х)= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2, |
|
если |
< x £ 1, |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
если x > 1. |
|
|
||||
|
- x |
|
|
||||||
1 |
|
|
2, |
|
|
|
|
|
x +1, |
||
15. f(х)= 4, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
- 3 |
|
x |
если x < 1,
если 1 < x £ 2,
если 2 < x £ 3,
, если x > 3.
|
3 |
, |
|
если x £ 0, |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
||||
cos x, |
если 0 < x < π , |
||||||||
|
|
|
π |
π |
|
2 |
|
||
16. f(х)= |
|
|
< x £ π , |
||||||
x - |
, |
если |
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
3π |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg (x - π ), |
если π |
< x < |
|
|
. |
||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e− x
sin
17. f(х)=
2x
p
ctg
,если x £ 0,
x, если 0 < x < p , 2
,если p < x £ p,
2
(x - p), если p < x < 2p.
| x + 1 |,
cos x,
18.f(х)= x ,
π
1
,
x − 2π
åñëè |
x < 0, |
åñëè |
0 < x < π , |
åñëè |
π ≤ x ≤ 2π , |
åñëè |
x > 2π . |
62
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4963x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x < |
p |
|
|
cos 2x, |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
p |
p |
|
p |
|||
|
|
|
- |
< x £ |
|||||
19. |
x |
4 |
, |
|
если |
, |
|||
f(х)= |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
||
|
|
|
2 |
|
|
, если p < x £ p, |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
2x - p |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
если x > p. |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|||
|
3x, |
|
|
|
если x < -1, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 - 4, если -1 < x £ 2, |
||||||||
21. |
f(х)= |
|
2 |
|
, |
|
если 2 < x £ 3, |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
- x |
|
||||||
|
|
|
|
если x > 3. |
|
||||
|
ex , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x ,
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
- x - |
|
, |
|||||
|
2 |
|||||||
23. |
f(х)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x3, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
cos |
|
|
, |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1, |
|
|
|
||||
25. |
x |
|
|
|
||||
f(х)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg (x -1), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
если x < -1,
если -1 < x £ 0,
если 0 < x £ p , 2
если p < x < 3p . 2 2
если - p < x < 0,
если 0 < x £ 1,
если 1 < x £ 2,
если x > 2.
|
x+1 |
, |
|
если x < -1, |
|||
|
e |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
f(х)= 2 + x, |
если -1 < x £ 0, |
|||||
|
| ln x |, |
если 0 < x £ e, |
|||||
|
|
|
|
|
|
если x > e. |
|
|
0, |
|
|
|
|
||
|
2x3 |
, |
|
если x < 0, |
|||
|
|
|
-1, |
если 0 < x £ 1, |
|||
|
ex |
||||||
29. |
|
|
|
|
|
|
|
f(х)= x +1 |
если 1 < x £ 2, |
||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x - |
1 |
|
||||
|
|
x |
, |
|
|
если x > 2. |
|
|
2 |
|
|
|
|
sign x, |
если x < -2, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+1, |
|
если – 2 < x £ 0, |
|||||||
|
x |
|
|
||||||||||||
20. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(х)= |
|
|
-1, |
|
если 0 < x £ 1, |
|
|||||||||
|
|
e |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, |
если x > 1. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
если 0 £ x < p, |
|
|
|||||||
|
sin |
|
, |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
если p < x < 4, |
|
|||||
22. |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f(х)= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
если 4 £ x £ 5, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
, |
если x > 5. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- |
5 |
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x < |
π |
||||
|
- sin x, |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если π < x £ 2, |
||||||
24. |
f(х)= - |
|
|
2 x |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
2 |
|
|
|||||||
|
ln (x - 2), если 2 < x < 3, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x ³ 3. |
|
|
|||
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
- x, |
если x < 0, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x £ π , |
|
|
||||
|
sin x, |
|
|
||||||||||||
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
f(х)= |
|
|
|
|
|
|
|
если π < x £ π , |
|
|
|||||
|
tg x, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
π , |
|
|
|
|
если x > π . |
|
|
|||||||
|
(x +1)2 , |
если x < -1, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если -1 £ x < 0, |
|||||
|
x, |
|
|
|
|
|
|||||||||
28. |
f(х)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
если 0 < x £ |
p |
, |
|||
|
|
|
sin 2x, |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
если x > p . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4x - π |
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
если x £ 0, |
|
|
||||||
|
cos |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
x, |
если 0 < x < 2, |
||||||
f(х)= log1/ 2 |
|||||||||||||||
|
x - 3, |
|
если 2 < x < 3, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x ³ 3. |
|
|
|||
|
sign x, |
|
|
|
63
Блок 51. Исследование функции и построение графика.
Не используя средств дифференциального исчисления, исследуйте функцию и постройте ее график:
1. |
у= |
x + 1 |
2. |
|
|
|
|
x2 + 1 |
3. |
|
|
|
|
|
(x − 3)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
у= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
x2 + 1 |
x −1 |
|
4(x −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
x |
5. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
|
. |
|
|
у= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 + x2 |
x2 − 2x + 3 |
|
x2 + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
x2 + 4 |
8. |
|
|
|
|
x2 − 4 |
9. |
|
|
|
|
|
|
2x |
||||||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
у= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
2x |
|
4 − x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
1 |
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
у= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
у= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x2 + 2x + 3 |
|
x2 − 2x − 8 |
|
|
x2 − 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
x + 1 |
14. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
у= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
4 − x2 |
x2 − 5x + 6 |
|
(2 − x2 )(5 − x2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
2x −1 |
17. |
|
|
|
|
x2 |
18. |
|
|
|
|
x2 −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
|
. |
|
у= |
|
|
. |
|
|
у= |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3x2 |
x − 3 |
|
|
x2 + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
x2 + 1 |
20. |
|
|
|
|
x3 + 1 |
21. |
|
|
|
|
|
x3 + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
|
. |
|
у= |
|
|
|
. |
|
|
у= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x2 −1 |
|
x2 |
|
|
|
x2 −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
x |
23. |
|
|
|
|
x3 |
24. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
|
|
. |
у= |
|
. |
|
|
у= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(x − 1)2 |
x −1 |
(3 − x2 )(5 − x2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
x |
26. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
27. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
. |
у= |
|
|
|
. |
у= |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − x2 |
|
(x −1)(2 − x) |
x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
|
3x − 2 |
29. |
|
|
|
x2 + 3x −1 |
30. |
|
|
|
|
2x2 + x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
у= |
|
. |
у= |
|
. |
у= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5x2 |
x2 − 3x + 1 |
|
|
2x2 − x −1 |
64
Блок 52. Теоретические задачи по теме «Непрерывность».
1.Функция f непрерывна в точке хо, а функция g разрывна в точке хо. Докажите, что функция f+g разрывна в этой точке. Приведите пример разрывных в точке хо функций f и g, сумма которых: а) разрывна в точке хо; б)
2. |
непрерывна в точке хо. |
Исследуйте на непрерывность функции f(g(x)) и g(f(x)) в точках, где определены эти композиции, если f(x)=sign |
|
|
x, g(x)=x3– x. |
3. |
Приведите пример непрерывной в точке хо функции f и разрывной в точке хо функции g, произведение которых: |
|
а) разрывно в точке хо; б) непрерывно в точке хо. Приведите пример разрывных в точке хо функций f и g, |
|
произведение которых: а) разрывно в точке хо; б) непрерывно в точке хо. |
4.Докажите, что если у=f(х) – непрерывная функция, то непрерывны и функции у=|f(х)|, у=f(|х|).
5.Приведите пример функции, непрерывной на каждом из промежутков Х1 и Х2, но не являющейся непрерывной на множестве Х1ÈХ2.
6.Могут ли две непрерывные на [a;b] функции различаться лишь в одной точке?
7.Функция f непрерывна на [а;с] и на (c;b]. Будет ли она непрерывна на [а;b]?
8.Функция f непрерывна на [а;с] и на [c;b]. При каком условии она будет непрерывна на [а;b]?
9.Докажите, что уравнение х5–3 х=1 имеет хотя бы один корень на (1;2) и имеет не менее трех корней на R.
10.Докажите, что разрывная функция у=е| х |×sign x имеет непрерывную обратную.
11.Функция f возрастает на отрезке [a;b] и разрывна в точке хоÎ[a;b]. Функция g монотонна на отрезке [f(a);f(b)]. Приведите примеры таких функций f и g, что g(f(x)) непрерывна в точке хо.
12.Приведите пример функции f: а) непрерывной на интервале (0;1); б) непрерывной на R, для которой уравнение f(x)=x не имеет решений.
13.Докажите, что периодическая функция периода Т, непрерывная на каком-либо отрезке [а;а+Т], непрерывна на R.
14.Найдите все непрерывные на R функции f, удовлетворяющие для любых х, уÎR равенству
f(x+y)=f(x)+f(y). Приведите пример разрывной функции f, удовлетворяющей для любых х,
уÎR равенству f(x+y)=f(x)+f(y).
15.Функция f определена на отрезке [a;b]. Для любого отрезка [c;d], a<c<d<b множество значений f (x), xÎ[c;d] является отрезком. Следует ли отсюда непрерывность функции f на отрезке [a;b]?
16.Приведите пример функции, непрерывной на интервале, множеством значений которой является: а) отрезок; б) интервал; в) полуинтервал.
17.Может ли быть непрерывной композиция g f , если:
1)f непрерывна, g разрывна;
2)f разрывна, g непрерывна;
3)f и g разрывны?
18.Приведите пример непрерывной, строго возрастающей функции, обратная к которой разрывна.
19.Приведите пример функции f, непрерывной в точке хо, имеющей обратную функцию, разрывную в точке
|
yo=f(xo). |
|
|
|
|
|
20. |
Функция f |
непрерывна на [a;+¥), и существует конечный lim |
f (x) . Докажите, что f |
ограничена на [a;+¥). |
||
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
21. |
Функция |
f |
непрерывна на интервале (a;b) (конечном |
или бесконечном), и |
существуют конечные |
|
|
пределы lim |
f (x) и lim f (x) . Докажите, что функция f ограничена на (a;b). |
|
|||
|
|
x→а |
x→b |
|
|
|
22. |
Функция |
f |
определена на отрезке [a;b] и обладает следующим свойством: для любых х1, х2Î[a;b] и для |
|||
|
любого числа с, лежащего между f(x1) и f(x2), существует точка xÎ(x1;x2) такая, что f(x)=c. |
|||||
|
1). |
Укажите функцию, обладающую таким свойством, но не являющуюся непрерывной на [a;b]. |
||||
|
2). |
Точки разрыва какого рода может иметь функция, обладающая указанным свойством? |
23.Пусть функция, определенная на отрезке [a;b], непрерывна и обратима. Докажите, что эта функция строго монотонна на [a;b].
24.Докажите, что если функция определена и строго монотонна на промежутке, то ее обратная функция непрерывна.
25.Функция f определена и непрерывна на [a;b], и все ее значения положительны. Докажите, что существует число
m>0 такое, что f(x)³m для любого хÎ[a;b]. Приведите пример функции f, непрерывной на интервале (a;b), принимающей лишь положительные значения и такой, что для любого m>0 найдется значение f(x)<m, хÎ(a;b).
26.Может ли разрывная функция иметь непрерывную обратную?
27.Докажите, что уравнение 10х–1 =х имеет только один корень хо¹1.
28.Функция f непрерывна и ограничена на интервале (а;+¥) и не имеет предела при х®+¥. Докажите, что найдется число а, для которого уравнение f(х)=а имеет бесконечное множество корней.
29.Пусть функция f непрерывна на [0;1] и множество ее значений содержится в [0;1]. Докажите, что существует
точка сÎ[0;1] такая, что f(с)=с.
30. Функция f непрерывна на R и f(f(x))=х для любого хÎR. Докажите, что существует точка с, в которой f(с)=с.
65
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4966x1.jpg)
Блок 53. Вычисление предела функции в точке.
Вычислите пределы функций:
|
|
1 - tg x |
- |
1 + tg x |
|
|
3 |
tg x |
-1 |
|
|
1. lim |
|
|
. |
2. lim |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
x→π |
sin 2x |
x→ |
π 2 sin2 |
x -1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3. |
lim |
|
|
p |
- |
|
|
arccos x |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−1+0 2 sin2 x -1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
. |
||||||
5. |
lim |
|
1 + sin x |
1 - sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
tg x |
|||||||||
|
lim |
1 - cos x |
|
|
|
|
|||||||||
7. |
|
cos 2x |
. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x2 |
x2
9.lim . x→0
1 + x sin x -
cos x
11. |
lim |
1 |
- |
cos x |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→+0 |
1 |
- cos x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
. |
||||
13. |
lim |
|
|
|
1 + 2 sin 3x |
1 - 4 sin 5x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
sin 6x |
15.lim 3cos 4x - 3
cos5x . x→0 1 – соs 3x
17. |
lim |
1 - cos x |
cos 2x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
tg x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
19. |
lim |
|
|
arctg х×sin2 |
1 |
+ 5 cos x . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
lim |
|
2cos2 x + (ex -1)×sin |
1 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× cos |
x + 2 |
. |
||||
23. |
lim |
|
lg(x + 2) + sin |
4 - x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
||||
|
3 |
|
|
|
× arctg |
1 |
+ 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
tg x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 – lg (1 + sinx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos px |
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
4 + (x + 2) ×sin |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
29. |
lim |
|
|
|
1 + xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
ex2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
lim |
|
|
|
|
|
2 |
- |
|
|
|
|
1 + cos x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
1 + x sin x |
|
cos 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
lim |
|
|
|
|
1 + tg x |
1 + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 - cos x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 - cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
12. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
2 - |
|
|
1 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16. |
lim |
|
cos x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→+0 x - x cos |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18. |
lim |
|
|
|
x 2 |
+ sin |
|
|
+ 4 cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
lim |
|
|
|
(esin x -1)×cos |
1 |
+ 4 cos x . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x + ln(1 + x) 2 + cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. |
lim |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + ex |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
lim |
|
|
|
|
|
3 sin x + (2x - p) ×sin |
|
|
|
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x - p |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 tg x + (4x - p) × cos |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
lim |
4x |
- p |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg (2 + tg x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28.lim 1 - cos x × 3cos 3x . →0 1 -
cos 2xx
30.lim 4sin x - 3
cos x .
πcos2 xx→
2
66
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4967x1.jpg)
Блок 54. Вычисление предела функции (первый замечательный предел).
Вычислите пределы функций:
1. lim
x→0
3. lim
x→0
5. lim
x→0
7. lim
x→0
9. lim
x→0
11. lim
x→0
13. lim
x→0
15. lim
x→0
17. lim
x→0
19. lim
x→0
21. lim
x→0
23. lim
x→0
25. lim
x→0
27. lim
x→0
29. lim
x→0
sin 7x x2 + px .
4x
.
tg (p(2 + x))
tg x - sin x . x(1 - cos 2x)
2x ×sin x .
1 - cos x
1 - cos 2x
.
cos 7x - cos3x
arcsin 3x
2 + x -
2
.
4 + x - 2 . 3arctg x
1 - 3 x +1 cos p(x +1) .
2
cos 2x - cos x . 1 - cos x
ln (1 + sin x) . sin 4x
9 ln (1 - 2x) . 4arctg 3x
2sin(p(x +1)) . ln (1 + 2x)
|
e4 x -1 |
|
|
|
. |
|||
|
|
x |
|
|
|
|||
|
sin p |
|
+ |
1 |
||||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
sin(5(x + p)) |
. |
||||||
|
e3x -1 |
|
|
|
|
|||
|
ln (x2 +1) |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
x2 +1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2. lim 3x2 - 5x . x→0 sin 3x
4. |
|
|
|
1 - cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 sin(p(x + 2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2p x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x ×sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12. |
lim |
sin2 x - tg2 x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 sin(2p(x +10)) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
cos x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
× tg x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
16. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin 2x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
18. |
lim |
|
|
|
|
|
|
ln (1 – |
7x) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 7)) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 sin(p(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
p 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln (x |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
22. |
lim |
|
|
|
|
arcsin 2x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 ln (e - x) -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
24. |
lim |
1 – cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 (e3x -1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
26. |
lim |
1 − cos10x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
ex2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
28. |
lim |
|
|
|
|
2x -1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 ln (1 + 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
30. |
lim |
arcsin 2x |
ln 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
2−3x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4968x1.jpg)
Блок 55. Вычисление предела функции (раскрытие неопределенности вида « 0 »).
0
Вычислите пределы функций:
1. |
lim |
sin 7πx |
. |
|
|
2. |
lim |
cos 5x − cos 3x |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→2 sin 8πх |
|
|
x→π |
|
|
sin2 x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - sin |
x |
|
|
|||||
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
lim |
. |
|
|
4. |
lim |
|
|
2 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→π tg 3x |
|
|
x→π |
|
p - x |
||||||||||||||||
5. |
|
|
|
x |
2 - p2 |
|
6. |
|
|
|
|
tg πx |
||||||||||
lim |
|
|
|
. |
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
x→π |
sin x |
|
|
x→−2 x + |
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
lim |
1 − sin 2x |
. |
8. |
lim |
1 - x |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ π (p - 4x)2 |
|
|
x→1 sin px |
||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.lim 3 - 10 - x . x→1 sin 3px
11. |
|
x2 |
- x +1 -1 |
|
lim |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
x→1 |
tg px |
13. lim sin2 x - tg2 x .
x→π (x - p)4
15. lim 3 x -1 .
x→1 4 x -1
17. lim x2 -1 . x→1 ln x
10. |
lim |
cos 3x − cos x |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π |
|
|
|
tg2 2x |
|||||||||
12. lim |
1 + cos πx |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
tg2px |
|||||||||
|
|
|
cos πx |
|||||||||||
14. |
lim |
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→11 – |
x |
||||||||||||
16. |
lim |
|
|
1 + cos 3x |
. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
x→π sin2 7x |
|||||||||||||
18. |
lim |
|
|
|
1 − 2 cos x |
. |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
x→ π |
|
|
|
p – |
3x |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
x2 |
- 3x + 3 -1 |
|
lim |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
x→1 |
sin px |
21. |
lim |
ex + e− x - 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
sin2 x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
-1 |
. |
|||||||
23. |
lim |
1 + x sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
ex2 -1 |
|
|
|
||||||
25. |
lim |
sin bx − sin ax |
. |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
p |
+ ax |
|
|||||||
|
|
|
ln tg |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
27. |
lim |
esin 2 x - esin x |
. |
|
|||||||||
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29. |
lim |
|
sin x − cos x |
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
ln tg x |
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
arctg (x2 - 2x) |
||||
lim |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
x→2 |
sin 3px |
||||||
22. |
lim 1 – 2 cos x |
. |
||||||
|
x→ π sin(p - 3x) |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
||
24. |
lim |
log3x −1 |
. |
|
||||
|
||||||||
|
x→3 |
tg px |
||||||
26. |
lim |
|
|
ex - е |
||||
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
x→1 sin (x2 -1) |
28.lim sin 2x − 2 sin x . x→0 x × ln cos 5x
30. lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
x→0 |
|
+ x 1 |
+ xe |
x |
|
||
|
ln 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
68
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4969x1.jpg)
Блок 56. Вычисление предела функции (раскрытие неопределенности вида « 0 »).
0
Вычислите пределы функций:
1. |
lim |
|
ln sin x |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ π (2x − π)2 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
(x − 2π)2 |
|||
lim |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||
|
x→2π tg (cos x −1) |
||||||
5. |
lim |
|
|
tg x − tg 2 |
. |
||
|
|
|
|||||
|
x→2 sin ln (x −1) |
7. |
lim |
tg ln (3x − 5) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→2 ex+3 − ex2 +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
ln (2x − 5) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→3 |
esin πx −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
lim |
|
|
|
|
|
|
2x + 7 |
|
− |
2x+1 + 5 |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
esin 2 x − etg 2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ln π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. |
lim |
|
|
|
|
(2x −1)2 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
esin πx − e−sin 3πx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
lim |
ln (2 + cosx) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
(3sin x −1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg (x + 1) |
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→−1 e3 x3 −4 x2 +6 − e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21. |
lim |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→−2 3 2+ x+ x2 − 9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
23. |
lim |
|
|
|
ln cos x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→2π 3sin 2 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
etg 2 x − e– sin 2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
sin x −1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.lim a x2 −a2 − 1 . →a tg ln xx
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
4. |
|
|
|
|
|
2cos2 x −1 |
|
|
|
|||
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ |
π |
|
ln sin x |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ln (4x −1) |
|
|
|
|||||
6. |
lim |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→ |
1 |
|
|
|
1 − cos πx −1 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2sin πx −1 |
|
|
|
||
8. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→3 ln (x3 − 6x − |
8) |
|
|
10.lim 31 + ln2 x −1 . x→1 1 + cos πx
12.lim ln cos 2x . x→π ln cos 4x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π esin x − esin 4 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
lim |
|
tg (3 x |
|
– 3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→π |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
18. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π 2 1+sin x − 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
20. |
lim |
ln cos 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→π |
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 − |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
esin 2 6 x − esin 2 3x |
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ π |
|
log3 cos 6x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
tg (e |
x+2 |
–e |
x2 |
−4 |
) |
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
tg x + tg 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
26. |
lim |
|
ln sin 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→ π (6x − π)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. lim
x→3
29. lim
x→−1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2x |
2 |
− 3x − 5 − |
|||||||||||
|
|||||||||||||
sin |
|
|
1 + x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln (x −1) − ln (x + 1) + ln 2 |
|||||||||||||
sin(e3 |
|
|
− e3 |
|
) |
|
|
|
|||||
1− x 2 |
|
|
|
||||||||||
|
x +1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
arctg (x + 1) |
|
|
|
|
|
|
ln (x − 3 |
|
|
) |
|
|||
28. |
lim |
2x − 3 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
x→2 sin |
|
πx |
− sin (π(x −1)) |
||||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30. |
lim |
(x3 |
|
− π3 )sin 5x |
||||||
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
x→π |
esin2 x −1 |
69
![](/html/2706/537/html_wNTaD7Wr9r.1VoL/htmlconvd-iebI4970x1.jpg)
Блок 57. Вычисление предела функции (раскрытие неопределенности).
Вычислите пределы функций:
1. |
|
|
|
a x − ab |
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→b |
|
|
x − b |
|||||||||
3. |
lim |
|
|
|
1 − x |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→1 log2 x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
. |
|
|||
5. |
lim |
|
|
|
x + 2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
sin 3x |
|||||||||
7. |
|
|
|
|
2sin2 x + sin x − 1 |
||||||||
lim |
|
|
. |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
x→ π 2sin2 x − 3sin x + 1 |
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
|
x3 |
+ 1 |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
1) |
|
|
||||
|
x→−1 sin (x + |
|
|
|
||||||
4. |
lim |
|
|
1 − x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→1 sin πx |
|
|
|
|
|||||
6. |
lim |
1 + x sin x − cos 2x |
. |
|
||||||
|
||||||||||
|
x→0 |
sin2 x |
||||||||
8. |
lim |
sin(x + h) − sin(x − h) |
. |
|||||||
|
||||||||||
|
h→0 |
|
|
h |
9.lim 1 − sin3 x .
πcos2 xx→
|
2 |
|
|
|
|
|
11. |
|
1 − cos 2x + tg |
2 x |
|||
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
x sin 3x |
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
||
13. |
|
2x – 2 |
|
|
||
lim |
|
. |
|
|
||
|
|
|
||||
|
x→1 |
|
ln x |
|
|
15.lim 1 − cos x . x→0 1 − cos
x
17. |
lim |
|
a x+h + a x−h − 2ax |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
||||||||||
|
h→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19. |
lim |
|
|
lg x −1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→10 |
|
|
x − 9 −1 |
|
|||||||||||||
21. |
lim |
ln 2x − ln π |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
5x |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
sin 2 cos x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
eπ − ex |
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→π sin 5x − sin 3x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
x2 − x + 1 −1 |
|
||||||||||
lim |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
ln x |
|
||||||||||||
27. |
lim |
ln tg x |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
x→ |
π |
cos 2x |
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg x |
− |
1 + sin x |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x3 |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 + x |
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
14. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
sin2 2x |
|||||||||||||||||||||||||||
16. |
lim |
tg x − tg a |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→a ln x − ln a |
||||||||||||||||||||||||||||
18. |
lim |
|
|
|
x2 (ex − e− x ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
еx3 +1 − е |
|||||||||||||||||||||||||||
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eαx − eβx |
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 sin αx − sin βx |
||||||||||||||||||||||||||||
22. |
lim |
2x −16 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
sin πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
24. |
lim |
|
sin 7x − sin 3x |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→2π |
|
ex2 − e4π2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x−3 |
− |
|
2 x2 |
||||||||||||||
26. |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
tg πx |
||||||||||||||||||||||||||
28. |
lim |
|
ln (5 – |
2x) |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→2 |
10 – 3x − 2 |
29. |
lim |
ln (9 – 2x |
2 ) |
. |
30. lim |
|
|
1 − 24− x2 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→2 sin 2πx |
|
|
x→2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x − |
3x |
− 5x + 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70