SBORNIK_PO_MATANU_ShKERINA_mIKhALKIN

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найдите функции

f2(x)=f(f(x)), f3(x)=f(f(f(x))),

fn(x)=f(f(f. . . f(x). . .)) и укажите

область определения fn(x), если:

21. f(x)=3– x.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

632.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Блок 8. График функции и его преобразования.

Постройте графики функций:							f(x), – f(x), f(– x), – f(– x),			\| f(x
1.	f(x)=4– x2.						2.	f(x)=(x–2) 3.
3.	f(x)=(x–1) 3.						4. f(x)=x3+2.
5.	f(x)=tg x.						6.	f(x)=3sin x.
7.	1						8. f(x)=lg (x+1).
	f(x)=		.
	f(x)=	x +1	.
9.	f(x)=2x+1.						10.	f(x)=sin 2x.
					p				1 х+1
11.	f(x)=cos х			+		.	12.	f(x)=			.
11.	f(x)=cos х			+		.	12.	f(x)=			.
					3				2
13.	f(x)=–2cos			x.			14.			-	p
13.	f(x)=–2cos			x.			14.	f(x)=ctg х		-
											6

)|, f(|x|).

15.										p
	f(x)=tg х -										.
										4
17.											p
	f(x)=cos х -											.
											6
19.	f(x)=log1/2 (x–1).
21.	f(x)=6x– x2–5.
23.	f(x)=	1	sin				x		.

	2					2
25.	1,5x + 3,											если x < 0,
	f(x)=			- 2x,								если x ³ 0.
	3
				х		,					если х £ 0,
27.	2
	f(x)=
										если х > 0.
	3lg x,
					1			,			если – 3 £ x < -1,


	x				+1
29.											если – 1 £ x £ 1,
	f(x)= x3,
					1
											если 1 < x £ 3.
					-1,
	x

16.

f(x)=

+ 1.

18. f(x)=2x–1 .

20.

f(x)=cos

22.

f(x)=2cos

24.

f(x)=x2– x–2.

если х £ -1,

26.

если -1 < x < 2,

f(x)= x2 - x - 2,

если х ³ 2.

если - p £ х £ -

- sin x,

28.

если –

< x <

f(x)= sin x,

cos x,

если

£ x £ p.

30.

log1 / 2 x,

если 0 < x < 3,

f(x)=

- 2), если x ³ 3.

log2 (x

Блок 9. График функции.

Постройте график функции:

1.							p
1.	f(x)=2cos 3х -							.
							4
3.	f(x)= -		х + 1			.
3.	f(x)= -					.
			2х +1
5.	f(x)= -		2х + 1			.
5.	f(x)= -					.
			х +1
7.	f(x)=			p					.
				p
		2sin				- 2x
				3
								p
		1						p
9.	f(x)=		sin 2x -							.
9.	f(x)=		sin 2x -							.
		2						6
11.	f(x)=log1/2 \|2x–1\| + 1.
13.	f(x)=\|3–2 3– x\|.
15.	f(x)=\|–2 \|x+1\|+3\|.
17.	f(x)=log3 \|2–3 x\|–1,5.
19.	f(x)=		p		-			-1			.
			p
		tg				2x
				4
21.				p
21.	f(x)=1–tg					- 2x .
				4
23.	f(x)=\|log2 (1– x)–2\|.

1 |1−3x|

25. f(x)= – 4.

27. f(x)= cos(1 - 3x) - 1 . 2

29. f(x)=|sin x| + |cos x|.

2.	f(x)=	х − 2				.
2.	f(x)=					.
		х - 1
4. f(x)=				х -1			.
				х -1
			3х +1
			3х +1
						p
		1				p
6.	f(x)=			cos				- x		.
6.	f(x)=			cos				- x		.
		2				3
					1 x−2
					1 x−2
8.	f(x)=							- 4	.
8.	f(x)=							- 4	.
					2

10.	f(x)=2\|1– x\| –3.
12.	f(x)=		p	-			.

		2cos			2x
			6
			x		p
		1
14.	f(x)=		sin	+		.

		2	2		3

16.f(x)=|9×3|x–1| –1|.

18.f(x)= –2 |3– x| + 3.

				p
		1
20.	f(x)=		cos			- 2x	.

		3		3
				1	\|x−2\|
22.	f(x)=4 –					.

				2

24.f(x)=|log3 (2–3 x)–1,5|.

26.f(x)=|1– log 1/2 (3– x)|.

28.f(x)=1,5 – log 3 (1–3 x).

30.f(x)=|sin x – |sin x||.

Блок 10. Построение примера функции с заданной областью определения.

Постройте пример функции, областью определения которой является множество:

1.	(–5;2).		2.	[3;8).			3.	(0; 2).
4.	(–3;7).		5.	[2;5).			6.	(–1;1].
7.	[–2;2].		8.	[2;6].			9.	(–3;3).
10.	(–4;8].		11.	{0; 1; 2; 3}.		12. {5} (0;1).
13.	[–2;1)	{3}.	14.	(– ∞;1).			15. [2;+∞).
16.	(8;9] {10}.		17.	{–5; –4; 0; 4; 5 }.		18.		(3;4) {5; 7; 10}.
19.	(–5;3)	(4;7] (8;+∞).			20.	(– ∞;0) (1;5] [6;+∞).
21.	(–3;0]	(1;8) {9; 10}.			22. (– ∞;–2]		[3;5) {6; 10}.
23.	(– ∞;–1) (–1;2)		(2;+∞).		24.	(–2;6)	[7;9) (9;+∞).
25.	(–5;0)	(0;5) (5;6).			26.	(– ∞;1) (1;2) (2;+∞).
27.	(– ∞;0) {1} (2;3) (3;4).				28.	[2;4] [5;6) (6;7].
29.	(–4;–1)	(–1;0]	(1;2].		30.	[1;3) (3;4) (4;6].

Блок 11. Композиция функций.

1. Дана функция f(x)= 1 - х2 . Докажите, что f(f(x))=|x|.

	f(x)= x3 +	1		3			1
2. Дана функция			- 3x -		. Докажите, что	f		=f(x).
2. Дана функция		x3	- 3x -		. Докажите, что	f		=f(x).
		x3		x		x

3.Докажите, что если f(x)=x2+x+a, то f(a–1)= a2.

4.f(x)=(x–1) 4+4(x–1) 2+cos(x–1). Докажите, что f(1– a)=f(1+a).

5.f(x)=sin x, j(x)=cos x. Докажите, что f 4(x)+2f 2(x)×j2(x)+j4(x)=1.

6.f(x)=1+3x4–cos 2 x. Докажите, что f(– x)=f(x).

7.f(x)=2sin х – x+x3. Докажите, что f(– x)= – f(x).

Пусть f(x)=ax2+bx+c. Покажите, что f(x+3)–3 f(x+2)+3f(x+1)–

f(x)º0.

Докажите, что функция f(x)=

удовлетворяет соотношению f(x)– f(x+1)= f(x)× f(x+1).

π . Покажите, что f(2x)=2f(x)×

10.

Пусть f(x)=sin x,

0£х£

1 - [ f (x)]2

11.

Пусть f(x)=2x3–5 x2–23 x. Найдите все корни уравнения f(x)=f(–2).

12.

Решите уравнение |f(x)+j(x)|=| f(x)|+| j(x)|,

где f(x)=x–1;

j(x)=x–2.

1 -

1 - [ f (x)]2

13.

Пусть f(x)=sin x,

0£х£

. Покажите, что

Найдите какую-либо функцию f, удовлетворяющую условиям:

14.

f(x–2)=

; xÎR, x¹ –1.

15.

=x +1; xÎR,

x¹0.

х +1

х −1

16.

f(x2)=1–| x|3;

xÎR.

17.

f(1+2x)=sin x– x3+tg

+1.

18.

;

x¹ 1, x¹ 2.

19.

= x + 1 + x2 ,

x<0.

x -1

- x

20.

f(x2)=

x>0.

21. f(sin2 x)=cos2 x,

0£x£1.

22.

f(x+1)=x2–3 x+2.

23.

f x

= x2

, x¹0.

x2 - 4 и f2(x)=

x2 + 4 , то

24.

Докажите, что если f1(x)=

f a +

+ f

a -

=2а, a>1.

1 + х

25.

Пусть f(x)+f(y)=f(z). Определите z, если: а) f(x)=ax;

б)

f(x)=

;

в)

f(x)=loga

1 - х

26.

Вычислите значения функций f(x)= x2 +

и j(x)= x4 +

в тех точках, в которых

+х=5.

Пусть f(x)=x+6, g(x)=

. Найдите все значения х, для которых:

х +1

27.

|f(x)+g(x)| = f(x)+g(x).

28.

|f(x)+g(x)| = f(x)– g(x).

29.

|f(x)+g(x)| = |f(x)|+|g(x)|.

30.

|f(x)+g(x)| = |f(x)|–| g(x)|.

Блок 12. Построение функции, удовлетворяющей заданным условиям.

Приведите пример функции, обладающей свойствами:

1.f(1)=0; f(a)=1; f(x×y)=f(x)+f(y).

2.f(0)=1; f(1)=a; f(x+y)=f(x)×f(y).

3.f(1)=1; f(x1×x2)=f(x1)×f(x2); D(f)=(0;+¥).

4.f(0)=1; f(– x)=f(x); f(x1+x2)+ f(x1– x2)=2 f(x1)×f(x2); D(f)=(– ¥;+¥).

Укажите пример функции, удовлетворяющей функциональному уравнению:

f(x+y)=

f (x) + f ( y)

1 - f (x) × f ( y)

Укажите пример пары функций g и f, удовлетворяющих системе соотношений:

g(x + y) = g(x) × f ( y) + g( y) × f (x),

f (x + y) = f (x) × f ( y) - g(x) × g( y).

Найдите линейную функцию, если:

f(1)=0;

f(0)= –2.

f(–1)=2;

f(1)= –1.

f(5)=3;

f(–2)=1.

10.

f(–1,5)=1,5; f(2,5)=–0,5.

Найдите квадратичную функцию, если:

11.

f(–1)=0;

f(0)=5;

f(6)= –7.

12.

f(–2)=2;

f(1)= –1;

f(3)=7.

13.

f(–6)=7;

f(–3)= –8;

f(2)=7.

14.

f(–2)=0;

f(0)=1;

f(1)=5.

15.

Докажите, что функция y=arcsin

–arccos

при x³0 равна

нулю,

а при x<0 у=p–

1 + х2

2arccos . 1 + х2

16.Найдите все значения а, при которых функция у=ах2+(а+3)х+4а, хÎR, имеет только положительные значения.

17. Найдите все значения а, при которых функция	у=(а–1) х2+(а+1)х+а+1, хÎR, имеет только
отрицательные значения.

18.Найдите значения а и b в выражении функции f(x)=ах2+bх+5, для которых справедливо тождество f(x+1)– f(x)=8x–3.

19.Найдите все значения а, при которых функция у=ах2+(а+3)х+4а, хÎR, имеет только отрицательные значения.

20.Найдите все значения а, при которых трехчлен у=(а2–1) х2+2(а– 1)х+2 будет положителен при всех действительных значениях х.

24. Для функции	f(x)=	х3	-1	найдите все значения а, для которых уравнение f(x)= f(а) имеет единственное
		х	2


решение.
25. Среди функций вида f(x)=ах+b найдите все такие, что:
а) f(f(x))=f(x) для любого х;				б) f(f(x))=x для любого х.

26.Покажите, что уравнение lg x= - х2 - 3х - 2 не имеет действительных корней.

27.Найдите действительные корни уравнения х2 - 5х + 6 = 39х -10 - 2х2 .

28.Дано уравнение параболы у=х2+(2т+1)х+т2–1. Найдите координаты вершины параболы и докажите, что если т пробегает все действительные числа, то вершина параболы описывает прямую линию.

29. При каких k функция, заданная формулой у= x3 + kx2 + 2x , на своей области определения совпадает с

2x − 1

квадратичной функцией?

30.Пусть f(x)=acos(bx+c). При каких значениях постоянных a, b, c выполняется тождество f(x+1)– f(x)=sin x?

Блок 13. Функциональная зависимость.

1. Точка М, оставаясь вершиной DОАМ, движется по прямой, параллельной оси ОХ. Вместе с ней по оси ОХ перемещается ее проекция, точка А (рис. 1).

у	(0,α)	M(x,α)	M(x,α)	M(x,α)
о		А	А	А	х

Рис. 1

Можно ли площадь DОАМ рассматривать как функцию абсциссы точки М? Запишите эту функцию.

2.Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R. Найдите зависимость радиуса вписанной окружности от угла a при вершине треугольника.

3.В равнобедренной трапеции АВСD с основаниями AD=2, BC=1 и высотой h=1 проведена прямая, перпендикулярная основанию AD и пересекающая его в точке М. Найдите зависимость площади S отсеченной части с вершиной А от расстояния x=АМ.

4.В треугольнике АВС сторона ВС=а, сторона АС=b, а угол a между ними может меняться в промежутке (0;p). Найдите зависимость площади S треугольника от угла a.

5.Найдите зависимость радиуса r основания прямого цилиндра от его высоты h при данном объеме V.

6.Найдите зависимость площади равнобочной трапеции с основаниями а и b от угла a при основании а.

7.В шар радиуса R вписан цилиндр. Найдите зависимость объема V цилиндра от его высоты h.

8.В окружность радиуса r вписан угол, опирающийся на диаметр. Найдите зависимость хорды АС=а от хорды ВС=х, когда вершина С вписанного угла пробегает нижнюю полуокружность (рис. 2).

9. В треугольник, основание которого АВ=10 и высота CD=6, вписан прямоугольник. Найдите зависимость площади S прямоугольника от его основания EF=х (рис. 3).

			C
А	В
	х
	С
	А	Е	D	F	B

Рис. 2

Рис. 3

10.Температурный коэффициент линейного расширения железа a=1,2×10–6 . Постройте в подходящем масштабе график функции l=f(T) (–40 o£T£100o), где Т – температура в градусах, l – длина железного стержня при температуре Т, если l=100 см при Т=0о.

11.На отрезке [0;1] оси ОХ равномерно распределена масса, равная 2 г, а в точках этой оси Х=2 и Х=3 находятся сосредоточенные массы по 1 г в каждой. Составьте аналитическое выражение функции

т=т(х), численно равное массе, находящейся в интервале (– ¥;х), и постройте график этой функции.

12.Находится ли масса кубика, изготовленного из железа, в функциональной зависимости от: а) длины его ребра; б) объема; в) полной поверхности? Запишите эти зависимости, считая, что 1 см3 железа имеет массу 7,8 г.

13.Около сферы радиуса r описан конус. Найдите зависимость объема V этого конуса от его высоты; укажите область определения получившейся функции.

14.При прыжке с самолета t1 сек. до раскрытия парашюта парашютист падает под действием силы тяжести. После того как парашют раскроется, парашютист падает с ним t2 сек. со скоростью v м/сек.

Будет ли пройденный парашютистом путь функцией времени? Как выразить эту функцию за время, прошедшее от прыжка с самолета до приземления? Какова область определения этой функции?

15.Газ при давлении Ро=1 атм. занимает объем Vо=12 м3. Постройте график изменения объема V газа в зависимости от давления Р, если температура газа остается постоянной (закон Бойля– Мариотта).

16.В равносторонний треугольник со стороной а вписан прямоугольник с высотой х. Выразите площадь этого прямоугольника как функцию от х. Найдите область определения этой функции и сравните ее с областью определения полученного выражения (рис. 4).

17.В треугольник АВС (рис. 5), основание которого АС=b и высота BD=h, вписан прямоугольник KLMN, высота которого MN=х. Выразите периметр Р прямоугольника KLMN и его площадь S как функции от х. Постройте графики функций Р=Р(х) и S=S(x).

18.Круговой сектор с центральным углом α свертывается в конус. Найдите зависимость угла ω при вершине конуса от угла α и постройте график.

	С					B
					L		M
	M	K
	x				х
A	D	E	B	A	K	D	N	C
	Рис. 4						Рис. 5

19.По числовой оси движутся материальные точки. Первая в начальный момент времени t=0 находилась на 20 м влево от начала координат и имела скорость v1=10 м/сек., вторая точка при t=0 находилась на 30 м вправо от начала координат и имела скорость v2= –20 м/сек. Постройте графики уравнений движений этих точек; найдите время и место их встречи.

20.В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 6), основания которой AD=a и ВС=с (a>с), а высота НВ=h, проведена прямая MN, параллельная НВ и отстоящая от вершины А на расстоянии АМ=х. Постройте график функции S=S(x) зависимости площади трапеции S от расстояния x.

	B	N	C
A	Н	М	D
		Рис. 6

21.Выразите объем V цилиндра при заданной полной поверхности S как функцию от его высоты. Найдите область определения функции и область определения полученного выражения.

22.Два пункта А и В находятся в стороне от железной дороги. Строится шоссе от пункта А до станции С этой же железной дороги и от станции С до пункта В. Выразите длину шоссе как функцию расстояния х от С до D (рис. 7).

А
а	В
а
x	b

D C E l

Рис. 7

23.Тело состоит из цилиндра высоты h, имеющего радиус основания r, и двух полушаров радиуса r, поставленных на основания цилиндра. Запишите аналитическое выражение функции V=V(x) – объема части тела, заключенной между двумя плоскостями, параллельными основаниям цилиндра, причем одна из них касается нижнего полушара, а другая отстоит от нее на расстоянии х.

24.Из однородных кусков, длина которых 1 дм; 2 дм; 1 дм и вес которых соответственно равен 2 кг; 3 кг; 1 кг, составляют один сплошной брус АВ. Будет ли вес Р отрезка АМ этого бруса являться функцией его длины х=АМ? Запишите аналитическое выражение этой функции. Укажите ее область определения и множество значений.

25.В шар радиуса R вписан прямой конус. Найдите зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей l.

26.Башня имеет следующую форму: на прямой круговой усеченный конус с радиусами оснований 2R (нижнего) и R (верхнего) и высотой R поставлен цилиндр радиуса R и высоты 2R, на цилиндре – полусфера радиуса R. Выразите площадь S поперечного сечения башни через расстояние h сечения от нижнего основания конуса.

27.Картина высотой а м висит на стене наклонно, образуя со стеной двугранный угол α. Нижний край картины находится на b м выше уровня глаз наблюдателя, который стоит на расстоянии 1 м от стены.

Найдите зависимость между углом γ, под которым наблюдатель видит картину, и углом α.

28.Точка равномерно движется по окружности x2+y2=1. В момент to ее ордината была yo, в момент времени t1 ордината равнялась у1. Найдите зависимость ординаты точки от времени, период и начальную фазу колебания.

29.Точка равномерно движется по окружности радиуса R с центром в начале координат против часовой стрелки с линейной скоростью v м/сек. В какой момент времени абсцисса этой точки была равна а? Составьте уравнение гармонического колебания абсциссы точки.

30.Два луча, угол между которыми равен 60о, имеют общее начало. Из этого начала по одному из лучей вылетела частица со скоростью v, а через час по другому лучу – вторая частица со скоростью 3v. Найдите зависимость расстояния между ними от времени движения первой частицы.

Блок 14. Наименьший положительный период функции.

Найдите наименьший положительный период функции:

1.							-	p				2.	f(x)=sin px.
1.	f(x)=cos х						-		.			2.	f(x)=sin px.
								6
3.	f(x)=cos		х		.							4.	f(x)=sin	х			.
3.	f(x)=cos				.							4.	f(x)=sin				.
			п											т
5.	f(x)=cos	2		x.								6.											p
5.	f(x)=cos			x.								6.	f(x)=3 sin 2х -											.
																							4
7.	f(x)=tg (3x+5).											8.	f(x)=7 cos (5x–3).
						3πх															х
9.	f(x)=6 cos								.			10.	f(x)=2 sin									+ 3 .
9.	f(x)=6 cos								.			10.	f(x)=2 sin									+ 3 .
							4													2
11.	f(x)=\|sin (2x+1)\|.											12. f(x)=sin2 (x–1).
13.	f(x)=sin 3x + cos 4x.											14.	f(x)=cos			х			+sin				х	.
13.	f(x)=sin 3x + cos 4x.											14.	f(x)=cos						+sin				3	.
													3										3
15.	f(x)=sin x + tg x.											16.	f(x)=sin x×cos x×cos 2x.
17.	f(x)=cos 4x + sin 6x.											18.	f(x)=sin		3х						+5 cos					2х				.
17.	f(x)=cos 4x + sin 6x.											18.	f(x)=sin								+5 cos									.
													4										3
19.	f(x)=sin 3x + tg									2х	.	20.	f(x)=tg 2px + ctg												4πх						.
19.	f(x)=sin 3x + tg										.	20.	f(x)=tg 2px + ctg																		.
21.									5			22.											3
21.	f(x)=sin x + cos 2x.											22.	f(x)=sin 4x + 5 cos 6x.
23.	f(x)=3 sin 4x + 2 tg 5x.											24.	f(x)=8 sin					9х				+ 2 cos							3х			.
23.	f(x)=3 sin 4x + 2 tg 5x.											24.	f(x)=8 sin									+ 2 cos										.
																				8			2
25. f(x)=\|tg x + ctg 2x\|.												26.	f(x)=cos 2x×cos 6x.
27.	f(x)=sin3 x + cos3 x.											28.	f(x)=sin4 x + cos4 x.
29.	f(x)=sin 2x + sin2 3x.											30.	f(x)=cos x×sin x×cos														х	.
29.	f(x)=sin 2x + sin2 3x.											30.	f(x)=cos x×sin x×cos															.
																							2

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.20161.22 Mб380Robotova_A_S__Leontyeva_T_V_Vvedenie_v_pedagogicheskuyu_deyatelnost_2002.doc
#
10.02.2015159.34 Кб7Russian.rtf
#
10.02.2015319.49 Кб137russkaya_ekzamen.doc
#
10.02.20155.43 Mб93R_YaZ.docx
#
23.03.201610.05 Mб40Samouchitel_Sozdanie_proekta.pdf
#
10.02.2015632.66 Кб23SBORNIK_PO_MATANU_ShKERINA_mIKhALKIN.pdf
#
10.11.201922.41 Кб13Seminary_po_mirovoy_politiki.docx
#
05.12.201881.41 Кб5seminary_vozrastnaya_psihologia.doc
#
10.02.2015116.22 Кб28Seminar__5_i__6.doc
#
24.04.2019239.62 Кб4Sempщ - Goscinny [Petit Nicolas] (1962) Les vac....doc
#
23.03.2016412.33 Кб9Shmidt_F_I_Istoricheskie_etnograficheskie_khudozhestvennye_muzei.pdf