76

I z1 + I y1 = I y0 + I z0 .

11,23 + 47,73 = 37,98 + 20,98 .

Расчет выполнен верно.

4.3. Внутренние силы

Поперечная (перерезывающая) сила и изгибающий момент

Как в любой нагруженной внешними силами конструкции, в балках под действием внешних сил возникают внутренние силы упругого сопротивления. Рассмотрим балку с нагрузкой (рис.33) и попробуем найти внутренние силы в произвольно выбранном сечении.

Рис.33

Будем считать, что реакции опор уже найдены и обозначены на балке,

как RA и RB в соответствии с их направлением.

78

Из рассмотренного примера видно, что Q – поперечная сила в любом сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (включая реакции опор), действующих на балку слева или справа от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент M x в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов от внешних сил, действующих на балку слева или справа от сечения, взятых с плечами до данного сечения.

Так как мы можем рассматривать и левую, и правую части балки относи-

тельно сечения, то для получения одного и того же значения Q и M x в вы-

бранном сечении необходимо придерживаться правила знаков для слагаемых Q и M x .

Правило знаков Q и М

Внешние силы принимаются для Q, действующей в рассматриваемом сечении со знаком (+) плюс, если они действуют вверх – слева от сечения и вниз – справа от сечения (рис.34).

Рис.34

Моменты принимаются от внешних сил в сумму M x со знаком (+),

если они действуют по часовой стрелке слева от сечения и против часовой стрелки – справа от сечения.

Последовательность построения эпюр Q и М Для построения эпюр Q и М необходимо:

79

1. Определить реакции опор с помощью уравнений статического равновесия. Для консольных балок этого можно и не делать, если начало координат принимать на свободном конце балки.

2. Определить количество грузовых участков на балке и на каждом из них провести сечение.

3. Выбрать начало координат (обычно на одной из опор). Если на балке много грузовых участков, то можно брать начало координат на обоих опорах, отсчитывая расстояния до сечений от них к середине балки.

4. Обозначаются расстояния от выбранного начала координат до каждого се-

чения через xi .

5. С учетом правила знаков для каждого сечения составляются уравнения для Q и М и на основе полученных уравнений строятся эпюры.

Примеры построения эпюр

Рассмотрим несколько балок с наиболее часто встречающейся нагрузкой и оценим особенности эпюр в зависимости от нагрузки.

1. Консольная балка загружена силой Р на свободном конце (рис.35). Для такой балки можно принять начало координат на свободном конце, где приложена сила Р. На балке – один грузовой участок, и достаточно взять одно сечение в любом месте пролета на расстоянии х от начала координат.

Поперечная сила в этом сечении, равная сумме всех сил справа, равна просто силе Р. С учетом правила знаков, ее значение положительное.

Q = P.

Это постоянная величина на всем протяжении балки. Отложим в масштабе величину Р вверх в начале координат и проведем прямую, параллельную оси балки до опоры. Это и есть эпюра поперечной силы – Q.

80

Рис.35 Изгибающий момент в выбранном сечении с учетом правила знаков от-

рицательный и равен:

M = −P x .

Величина «х» может быть изменена в зависимости от места взятого сечения от 0 до l. Поэтому окончательно запишем:

M = −P x l0 .

Это уравнение прямой линии, для построения которой достаточно взять две точки: при х = 0, М = 0 и при х = l, М = – P l.

Отложив в опорном сечении произведение P l вниз и приняв начальное значение М = 0 в начале координат, соединяем две эти точки и получаем характер изменения моментов вдоль оси балки – эпюру моментов.

По эпюре видно, что наиболее загруженным сечением балки по величине изгибающего момента является заделка (опора балки).

Значение силы Q = P и момента M = P l на эпюре – это одновременно и реакции в опоре, которые находятся вместе с построением эпюр.

81

2. Балка с равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис.36).

Рис.36 Как и в предыдущем примере, оставляем под балкой место для эпюр.

Начало координат принимаем на свободном конце балки. Грузовой участок здесь также один – вся длина балки. Для построения эпюр достаточно написать уравнение для одного сечения.

Обозначим расстояние до произвольно выбранного сечения от начала

Здесь х/2 – расстояние от начала координат до центра тяжести нагрузки q x .

Эпюра Q – прямая линия, которая может быть построена по двум значениям: при x = 0 и при x = l .

Изгибающий момент, согласно полученному уравнению, изменяется по параболе. Графическое изображение параболы, огибающей эпюру моментов,

84

Принимаем начало координат на опоре А. Проводим на каждом участке сечение и обозначаем расстояние до каждого из них через x1 – до первого и че-

рез x2 – до второго.

Отсюда получаем:

QI = RA = P / 2 ;

Здесь: l / 2 – граница первого участка.

QII = RA − P = P − P2 = − P2 ;

Здесь: l / 2 и l – границы второго участка.

По уравнениям видно, что эпюры QI и QII ограничены прямыми, па-

раллельными оси x, а эпюры моментов МI и МII – прямыми, наклоненными к оси x. Границы значений моментов ограничены начальными и конечными значениями xi .

Максимальный момент посередине пролета и его значение:

Поперечные силы на обоих участках одинаковы по значению, но разных знаков и равны P / 2 .

Как особенность эпюр для такой балки, необходимо отметить, что в сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре поперечных сил Q име-

ется перепад на величину этой силы. На эпюре моментов – излом.

Для балок с двумя и большим количеством участков при построении эпюр можно принимать два начала координат: на левой и правой опоре (с правого и левого конца балки).

85

Это сокращает число слагаемых в уравнениях для Q и M вдвое, а с учетом знаков для Q и M результат получается тем же, что и при одном нача-

ле координат.

5. Балка на двух опорах с распределенной нагрузкой по всему пролету (рис.39).

Рис.39 Для такой балки реакции опор одинаковы в силу ее симметрии относи-

тельно опор и равны

RA = RB = q2l .

Грузовой участок на балке один. Принимаем начало координат на опоре A . Выбираем в произвольном месте сечение и обозначим расстояние от начала координат до него через х.

Граница участка – от 0 до l . Поперечные силы

l

Q = RA − q x = q2l − q x 0 .

86

Момент изгибающий

нию x , где касательная к параболе должна быть параллельна оси х.

Это значение x = x0 находим из условия, что d M / d x при x0 должна быть равна нулю.

ddMx = q2l − q x0 = 0.

Откуда x0 = l / 2. Таким образом, максимальный момент будет при x0 = l / 2

6. Балка на двух опорах с сосредоточенным моментом (рис.40).

Сосредоточенный момент M 0 может быть приложен в любом сечении балки.

Реакции опор по условиям статического равновесия будут

На балках два грузовых участка. Примем для нашей балки для двух произвольных сечений на участках два начала координат. Для левого участка – на опоре А; для правого – на опоре В.

Значения Q и М с учетом правила знаков получаем

QI = RA = Ml 0 ;