64

Проектирование пружины необходимо ввести, опираясь на справочные данные и рекомендации [6].

Нормальные напряжения при кручении

Так как кручение – частный случай сдвига, то для стержня, испытывающего действие крутящего момента, справедлив закон парности касательных напряжений. Это значит, что касательные напряжения возникают не только в плоскости поперечных сечений, но и действуют вдоль оси вала. Как и при чис-

том сдвиге под углом в 45D к этим напряжениям действуют нормальные напряжения – одно растягивающее, другое – сжимающее.

Хрупкий материал, например, чугун, плохо сопротивляется растяжению. Поэтому валы, изготовленные из чугуна, если нагрузка достигает опасной при кручении, разрушаются под углом 45Dк оси стержня вала от растягивающих нормальных напряжений.

ЛЕКЦИЯ IV ИЗГИБ

4.1. Основные определения

Под деформацией изгиба понимается искривление оси стержня под действием внешних сил или моментов. При этом каждое сечение стержня поворачивается на некоторый угол и перемещается по направлению действия сил.

Любой стержень, имеющий, по крайней мере, две опоры и нагруженный поперечными силами, испытывает деформацию изгиба и называется балкой. Под это определение попадают и стержни с жестким закреплением – консоли, так как в жесткой опоре всегда под действием поперечных сил или моментов в опоре возникает момент (пара сил) и такую опору можно представить в виде эквивалентного закрепления (см. рис.25)

65

Рис.25 Понятие «балка» включает в себя чрезвычайно широкий спектр

реальных конструкций. Это и собственно стержни – валы, оси, балки и т.д., и сложные объемные конструкции такие, как крыло самолета, железнодорожные платформы, вагоны, трубы на опорах, корпус корабля на волне и многое другое.

Для представления о характере возникающих в балке напряжений и факторов, влияющих на ее прочность и деформацию, рассмотрим два простых примера.

Пример 1.Согнем обычную школьную линейку в форме лука. По изменению длины верхних и нижних волокон линейки видно, что одни стали больше, другие меньше, чем первоначальная длина линейки. Очевидно, одни волокна, которые стали длинными, испытывают деформацию растяжения, другие –

сжатие. Следовательно, в теле балки возникают одновременно два противоположных по знаку напряжения. Это возможно только в том случае, если внутри тела балки имеется слой (волокно), который не изменяет своей длины, а

66

только лишь приобретает кривизну. Такой слой (волокно) называется нейтральным и проходит через центры тяжести сечений балки. Пример 2. Положим обычный тетрадный лист на две опоры (рис.26).

Рис.26 Очевидно, что он свободно провисает под собственным весом и никакой на-

грузки нести не сможет. Если этот же лист свернуть в трубку или придать ему форму Λ, то на тех же опорах лист не провиснет, он может быть нагружен определенной силой и в нем достаточно прочности и жесткости. Это говорит о том, что при одной и той же площади поперечного сечения жесткость конструкции балки, а также и прочность, как будет показано далее, зависят не только от материала, площади сечения, но и от формы поперечного сечения балки.

Критерием оценки влияния формы на прочность и жесткость балки яв-

ляются осевые моменты инерции поперечного сечения:

–важнейшие геометрические характеристики.

4.2. Геометрические характеристики плоских сечений балок

Главные оси, главные моменты инерции В любой плоской фигуре, какой является поперечное сечение балки, че-

рез любую точку можно провести бесконечное количество взаимно-перпенди- кулярных осей. Но из всего множества этих осей выделяются две: центральные

67 (проходящие через центр тяжести сечения), взаимно перпендикулярные оси,

которые называются главными осями инерции. Особенностью этих осей является то, что осевые моменты инерции относительно них имеют экстремальные (max и min) значения по сравнению с моментами относительно любых других центральных осей и центробежный момент инерции относительно них равен нулю.

I zy = ∫z y dA = 0 .

A

Для фигур, обладающих симметрией, оси симметрии всегда являются главными осями.

Положение главных осей в сечениях балки важно не только для расчета главных моментов инерции как определенных характеристик прочности и жесткости. Взаимное расположение сил, действующих на балку, и главных осей инерции определяет характер деформации, которую испытывает балка, что видно из рис.27.

Рис.27

68

Простейшими формами поперечного сечения балки являются прямоугольник и круг.

Определим для них значения осевых моментов инерции. Прямоугольное сечение

Пусть прямоугольное сечение будет b ×h (рис.28).

71

∫ab dA = ab A.

A

Таким образом,

Если оси z – y – главные центральные оси, то I zy = 0 и I z0 y0 = ab A.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей Пусть для сечения «А» оси Oy и Oz – центральные оси (рис.31).

Рис.31

Ординаты точки Р площадки dA соответственно z и y.

Повернем оси Oy и Oz на угол α против часовой стрелки (может быть любое направление).

В новой системе координат ординаты точки A будут z0 и y0 .

Из дополнительного построения (четырехугольник САВD) видно, что ординаты z0 и y0 связаны со старыми как

y0 = OC + CD, но CD = АB

72

и, следовательно,

73

повернуть произвольно выбранные центральные оси Oy и Oz , чтобы получить

положение главных осей.

Разделим оба слагаемых в уравнении (4.3) на cos 2α и приравняем полученное выражение к нулю

откуда находим угол α.

Если угол α получается отрицательным, то оси Oy и Oz должны быть

повернуты на угол α по часовой стрелке.

Значения главных моментов инерции относительно главных осей находим из уравнений (4.1) и (4.2).

Рассмотрим пример на использование полученных зависимостей при расчете сравнительно простого сечения из двух прямоугольников (рис.32).

Пример. Определить положение главных осей инерции и найти значения главных моментов инерции.

Решение. Так как главные оси – центральные, необходимо в первую очередь найти положение центра тяжести. Для этого выбираем вспомогательные оси Oy и Oz . В качестве таких осей могут быть выбраны любые другие вза-

имно перпендикулярные оси, удобные для расчета.

Исходные данные – значения площадей прямоугольников, составляющих сечение, координаты их центров тяжести и статические моменты относительно

74

Рис.32 Координаты центра тяжести всего сечения относительно принятых осей

находим по формулам

zc = ∑∑SAy = 1044 = 4,4 см ; yc = ∑∑SAz = 1011 =1,1см.

На основании полученных данных наносим положение центра тяжести «С» на чертеже сечения.

Проводим через центр тяжести две взаимно перпендикулярные оси cy′ и cz′, параллельные ранее выбранным вспомогательным осям.

Определяем расстояние от центров тяжести прямоугольников, состав-

ляющих сечение до проведенных центральных осей ( ai и bi )