88

4.4. Напряжения при изгибе

Нормальные напряжения Как уже отмечалось в начале раздела, в балке возникают нормальные на-

пряжения, характер распределения которых по сечению нам пока неизвестен. Равнодействующим силовым фактором этих напряжений является изгибающий момент. Можно сказать, что если бы можно было бы изготовить балку «равного сопротивления» с одинаковыми по всем сечениям нормальными напряжениями, то балка имела бы сечения вдоль всей ее длины, аналогичные эпюре изгибающих моментов.

Для определения величины нормальных напряжений и характера их распределения в сечении рассмотрим балку в условиях работы при чистом изгибе.

Примем балку прямоугольного сечения размерами b ×h , нагруженную сосредоточенным моментом М0 (рис.41).

Рис.41 Будем считать, что все сечения остаются плоскими, а это подтвержда-

ется экспериментом, и продольные волокна, из-за отсутствия поперечной силы Q , не давят друг на друга.

При принятых условиях мы вправе утверждать, что нормальные напря-

жения σz , создающие внутренний силовой фактор М – изгибающий момент,

89

противодействующий внешнему – М0 , должны иметь одно и то же значение на уровне z от нейтрального волокна y − y .

Тогда относительно осей координат (главных осей инерции), связанных с началом координат в центре тяжести сечения, можно составить следующие уравнения:

1.∑X = 0 – сумма всех сил в проекциях на ось x.

∫σz dA = 0.

A

Таким образом, для дальнейшего рассмотрения мы можем воспользоваться только тремя уравнениями – 1, 5 и 6.

Однако найти значение σz из этих уравнений не представляется воз-

можным, так как мы не знаем характера распределения их по высоте сечения балки. Для решения этой задачи воспользуемся законом Гука, зная, что волокна балки испытывают деформацию растяжения и сжатия.

Рассмотрим условия деформации балки.

Под действием внешней нагрузки продольная (нейтральная) ось балки получает кривизну с радиусом ρ. Каждое сечение балки поворачивается на некоторый угол ϕ. Условия деформации двух выделенных на расстоянии d x сечений представлены на рис.41, а.

Из схемы видно, что волокно длиной d x = a b на расстоянии z от нейтральной оси удлинилось и стало равным a′b′. Абсолютное удлинение его составило

90

∆l = a′b′ − a b, но a b = ρ d ϕ = d x , a a′b′ = (ρ + z) d ϕ.

Следовательно,

∆l = (ρ + z) d ϕ − ρ dϕ = z dϕ.

Относительная продольная деформация этого волокна составляет

ε = ∆ll = zρ ddϕϕ = ρz .

Подставляем значение ε в уравнение закона Гука

σz = εE = ρz E .

Получили значение нормального напряжения для волокна ab , но связь его с внешним изгибающим моментом (с внешней нагрузкой) неявная. Величина изгибающего момента здесь скрыта под величиной кривизны – 1/ ρ.

Чтобы связать напряжение с нагрузкой, подставим полученное выражение в уравнения 1, 5 и 6.

1. ∫σz dF = ∫ ρz E d A = Eρ ∫z dA = 0.

A A A

Интеграл ∫z dA представляет статический момент относительно центральной

A

оси, и так как он равен нулю, то это свидетельствует о том, что нейтральная ось балки проходит через центры тяжести сечений.

2. ∫σz y d A = ∫ ρz E y d A = Eρ ∫z y d A = 0.

A A A

Это уравнение говорит о том, что оси z и y – главные оси инерции (такое бы-

ло условие, что сечение принято прямоугольное).

3. ∫σz z d A = ∫ ρz E z d A = Eρ ∫z 2 d A = M .

A A A

91

Здесь ∫z 2 d A = I y – осевой момент инерции сечения относительно оси

A

y − y .

Перепишем уравнение несколько иначе:

ρ1 = EMI

и подставим значение 1/ ρ в такой записи в закон Гука:

Получили уравнение для напряжений в любой точке сечения, которое связывает величину напряжения с внешней нагрузкой (через М – изгибающий момент) и с формой, и размерами поперечного сечения – I y . Ордината z , отсчитываемая от центральной оси, указывает, где именно находится напряжение σz .

Уравнение указывает на линейную зависимость напряжения от ординаты z . Это значит, что напряжения меняются по сечению согласно эпюре рис.42.

Рис.42 Максимальное напряжение находится на поверхности балки – в наиболее уда-

ленных от нейтральной оси волокнах. Условие прочности, очевидно, будет вы-

полнено, если σmax ≤ [σ]для материала балки.

92

Для стандартных прокатных профилей – швеллер, двутавр и т.д., моменты сопротивлений приведены в Гостах, как геометрические характеристики на соответствующие номера профилей.

Таким образом, условие прочности для балки будет σmax = M ≤ [σ].

Wy

Эта формула – для максимального напряжения. Она является основной для выбора прочных размеров сечения балки.

Пример Для балки, загруженной как указано на рис.43, подобрать прочное дву-

тавровое сечение. Допускаемое напряжение для материала балки

[σ]=160 Mпа(1600 кг/см3 ).

Решение Так как реакции опор относятся к внешним силам, их необходимо найти

в первую очередь. Составляем уравнения статического равновесия, предвари-

тельно изобразив реакции RА и RВ на чертеже балки.

1.∑y = 0 RA + RB − P −q l = 0.

Это уравнение с двумя неизвестными. Составляем второе уравнение – уравнение моментов относительно опоры А.

93

Рис.43

Реакцию опоры А можно найти или из уравнения моментов относи-

тельно опоры В, или из первого уравнения ∑y = 0 , то есть

A = P + q l − RB =1 + 5 − RB = 6 −3,1 = 2,9 т.

На балке два грузовых участка:

–первый – от опоры А до опоры В;

–второй – от опоры В до конца балки, где приложена сила Р.

Выбираем на первом участке сечение I-I и начало координат для первого участка – на опоре А. Расстояние от начала координат до сечения обозначаем через x1 .

На втором участке принимаем второе сечение II-II и начало координат справа – на свободном конце балки.

94

Расстояние до сечения обозначаем через x2 .

По определению значений Q и М с учетом знаков для них записываем:

На втором участке QII – величина постоянная, изображается прямой, па-

раллельной оси х с ординатой (в масштабе), равной P .

Момент изгибающий на первом участке представляет параболическую

(см. эпюру Q ). Максимальное значение момента (вершина параболы) будет

95

Таким образом, наибольшее значение момента на балке совпадает со значением момента в сечении, где находится вершина параболы, и равно:

M max = 4,205тм.

Согласно условию прочности σ = M ≤ [σ], находим

Wy

Wy = [M]= 420500 = 263см3 .

σ 1600

Такое значение Wy соответствует двутавровой балке №24. Для этой бал-

ки Wy = 289см3 , что больше расчетного и, следовательно, реальное напря-

жение будет меньше допустимого. Но можно принять и балку №22а с момен-

том сопротивления Wy = 254см3 .

В этом случае нормальное напряжение в ней будет

Перегрузка (превышение реальных напряжений допускаемых) составит

1655 −1600100 = 3,5% ,

1600

что допустимо (до 5%).

Окончательно принимаем балку двутаврового сечения №22а.

4.5. Касательные напряжения при изгибе Полный расчет балки на прочность

В приведенном примере расчета балки мы не использовали эпюру поперечных сил. Для выбора балки по условию прочности достаточно было эпюры изгибающих моментов. Однако, кроме нормальных напряжений, в балке возникают и касательные напряжения, равнодействующей которых является поперечная сила. То, что касательные напряжения возникают в балке, можно проиллюстрировать на таком примере. Представим, что мы имеем балку, составлен-

99

Несколько иначе будет распределение касательных напряжений в балках типа двутаврового или швеллерного сечения, имеющих широкие полки и тонкую стенку (рис.47).

Рис.47 В таких сечениях изменение касательного напряжения в пределах вы-

соты полки такое же, как в прямоугольном сечении, а на границе полки со стенкой резко уменьшается ширина сечения (толщина стенки) и касательное напряжение резко возрастает – почти до значения на нейтральной оси, так как за счет малой толщины стенки увеличение Sz до значения при z = 0 очень незначительно.

Для стандартных прокатных профилей значение Sz приводится в Гост на соответствующие размеры профилей.

Распределение касательных напряжений в сечениях балок и их величина (они обычно в несколько раз меньше нормальных напряжений) позволяют говорить о том, что касательные напряжения могут и должны учитываться только в том случае, если на балке имеется сечение, где одновременно действуют и большой изгибающий момент М, и большая поперечная сила Q. Это видно из эпюр. И, конечно же, это касается, в первую очередь, балок, имеющих профиль типа швеллера или двутавра.

Подбор балок при этом производится из условия прочности по нормальным напряжениям, а затем производится для подобранного сечения расчет ка-