15

для титановых сплавов: E = (1,05 −1,12) 105 МПа .

Коэффициент Пуассона µ является коэффициентом пропорционально-

сти в зависимости между относительной продольной ε = ∆l / l и относитель-

ной поперечной ε′ = ∆ A / A деформациями в пределах действия закона Гука:

ε′ = −µε.

Знак минус (–) в этой зависимости указывает, что эти деформации противоположны (длина стержня при растягивании увеличивается, поперечное сечение уменьшается.)

Коэффициент Пуассона также, как и Е, постоянная для каждого материала. Однако величина его имеет узкий диапазон значений:

0 ≤ µ ≤ 0,5 .

Так, для стали µ= 0,3, для резины µ= 0,5, для коры пробкового дерева

µ= 0.

Для цветных металлов и сплавов значение коэффициента Пуассона име-

ет достаточно большой разброс, но находится в указанном пределе – 0,25÷0,47. Значения Е и µ, как и значения σпц. ,σу ,σт. ,σпч. ( σв. ), можно найти в

справочной литературе.

Рассматривая определение механических характеристик материалов, мы практически рассмотрели большую часть явлений и зависимостей деформации растяжение – сжатие. Рассмотрим дополнительно ряд вопросов, связанных с этой деформацией, необходимых для решения практических задач.

1.3. Растяжение – сжатие

Напряжения и деформации

Деформации растяжения – сжатия подвергаются многие детали машин, механизмов, строительных конструкций. Это шатуны двигателей внутреннего сгорания, компрессоров, поршневых насосов; крепежные детали – болты, шпильки; элементы строительных ферм, тросы подъемных механизмов и т.д.

16

Силы в этих элементах действуют вдоль оси стержней. Внутренние силы, как равнодействующие напряжений, определяются методом сечений с использованием уравнений статики.

Рассмотрим стержень, загруженный несколькими внешними продольными силами (рис.6).

Для определения величин внутренних сил проводим на каждом грузовом участке сечения – I, II, III (Грузовой участок – расстояния между сечениями, где приложены внешние силы – это участки с расстояниями между сечениями –

а, в, с).

Рис.6

Для каждого из выбранных сечений должно быть обязательно выдержано условие равновесия между внешними силами и внутренними силами. Это диктуется условиями прочности. Пусть площадь на всех участках – А.

Так, на первом участке P1 + N1 = 0 , откуда N1 = −P , внутренняя сила

N1 направлена в сторону противоположную силе P1 . Участок растянут. На втором участке P1 + P2 + N2 = 0 , N2 = −P1 − P2 .

На третьем участке P1 + P2 − P3 + N3 = 0, N3 = P3 − P1 − P2 = P4 . Cоответственно напряжения на каждом из участков будут:

N N N

σ1 = A1 ; σ2 = A2 ; σ3 = A3 .

Условие прочности σmax ≤ [σ] будет обеспечено, если наибольшее из полученных напряжений σ1 ; σ2 ; σ3 будет меньше или равно допускаемому:

σmax = NAmax ≤ [σ].

17

Если на каком-либо участке напряжение окажется больше допускаемого,

площадь сечения должна быть увеличена до значения A1 = Nmax /[σ].

Очевидно, что при различных значениях внутренних сил различными могут быть и деформации на каждом из участков.

Выражение для абсолютной деформации при растяжении – сжатии:

∆l = EPAl ,

что легко получить из закона Гука, если подставить в выражение σ = εE зна-

чения σ = P / A и ε = ∆l / l .

Уравнение для величины абсолютной деформации ∆l при растяжении связывает геометрические размеры (l и А) стержня, свойства материала (Е) и нагрузку (Р).

Произведение Е А (в знаменателе) называется жесткостью при растяжении – сжатии. Очевидно, что чем больше жесткость, тем меньше деформация.

Для приведенного примера деформация на первом участке:

∆l1 = N1a , E A

на втором участке

∆l2 = N2b , E A

на третьем участке

∆l3 = N3c . E A

Полная деформация стержня равна алгебраической сумме (с учетом знаков деформации на участках)

Особого внимания заслуживают задачи на растяжение – сжатие по решению статически неопределимых конструкций (систем).

18

Статически неопределимые задачи

Кстатически неопределимым конструкциям (системам) относятся такие,

вкоторых для определения внутренних сил и напряжений уравнений статического равновесия недостаточно.

В дополнение, к уравнениям статического равновесия ∑Pi = 0 и

∑M i = 0 должны быть составлены уравнения, устанавливающие зависимость

между деформациями совместно работающих элементов конструкций. Такие уравнения носят название – уравнения совместности деформаций.

Статически неопределимые задачи и есть задачи по решению таких конструкций.

Некоторые расчетные схемы статически неопределимых конструкций представлены на рис.7.

1. Определить распределение нагрузки между стержнем (1) и кольцом (2):

4. Температура стержня жестко закрепленного в опорах, меняется от t0 до t.

Определить реакции опор и напряжение в стержне.

Во всех указанных примерах первое уравнение – уравнение статического равновесия, второе – уравнение совместности деформаций.

Доведем до конца последний пример.

В уравнении совместности деформация α – коэффициент теплового расширения. Сокращая правую и левую части уравнения (*) на l, получим

21

Рис.8

Рассекая стержень по линии m − n , мы получим напряжение в сечении

σ = P / A.

Внутренняя сила N в обоих сечениях по линии m − n и по линии m′ − n одна и та же. По условию статического равновесия

P + N = 0; N = −P .

Но площадь стержня по сечению m′ − n больше площади А:

Aα = A /cos α.

Напряжения «р», распределенные по этой площади, будут меньше чем σ в cos α раз.

Чтобы не вводить новых названий напряжений, разложим напряжение «р» на составляющие – по нормали к наклонной площадке (нормальное напряжение) и по касательной к ней (см. рис.8) (касательное напряжение).

Из рисунка видно, что

σα = p cos α = σ cos2 α.

22

Напряжение τα – касательное напряжение

τα = p sin α = σ cos αsin α = 12 σ sin 2 α.

Таким образом, в сечениях, наклоненных под углом к продольной оси стержня, возникают два напряжения – нормальное и касательное, но оба они меньше, чем напряжение на площадке m − n , и выбор такого сечения для определения наибольшего напряжения не случаен.

Согласно полученным выражениям для уб и фб , следует, что на сечении m − n касательные напряжения равны нулю. Наибольшего значения фб дости-

гают на площадках, наклоненных под углом в α = 45D к оси стержня, и равны

σ/ 2.

Площадка m − n , где фб = 0, а σ = max называется главной площадкой

(главным сечением), а напряжение σ на ней – главным нормальным напряжением.

ЛЕКЦИЯ II

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИЛА 2.1. Виды напряженного состояния. Обобщенный закон Гука

Из распределения напряжений на наклонной площадке стержня при растяжении следует, что при любом изменении угла наклона сечения, в том числе и при повороте сечений, при неизменном угле, вокруг продольной оси стержня,

будут меняться величины σα и τα и их направления. Очевидно, что при более сложном нагружении, чем простое растяжение – сжатие, на наклонных площадках сечений появятся и другие напряжения, которые дадут вклад в величину нормальных и касательных напряжений на площадках. Из представления о сплошности и изотропности материалов мы можем считать, что связь между всеми частицами (микрообъемами) материала осуществляется через напряжения. Через любую точку, как центр тяжести, мысленно представляемого микро-

23

объема материала в виде параллелепипеда (куба) можно провести множество сечений. Каждое из них будет иметь свой набор напряжений, распределенных на гранях этой фигуры. Это множество напряжений, условно сосредоточенных в точке – центре тяжести рассматриваемого параллелепипеда, носит название напряженного состояния материала в точке (рис.9) [21].

Рис.9 Из множества сечений можно найти три таких взаимно перпенди-

кулярных сечения, которые совпадают с гранями мысленно представляемого параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz , на которых будут действовать только нормальные напряжения σ1 , σ2 , σ3 , а касательные τ = 0 . Такие грани – площадки (сечения) называются главными площадками, а напряжения на них – главными нормальными напряжениями.

Согласно теории упругости соотношение между этими напряжениями принимаются в виде σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Эта алгебраическая зависимость должна выдерживаться с учетом знаков (растяжение или сжатие). По наличию именно этих главных напряжений можно судить о напряженном состоянии материала.

24

Различают три таких состояния:

1. Если на гранях параллелепипеда будут все три напряжения:

σ1 ≠ 0; σ2 ≠ 0; σ3 ≠ 0 , то такое состояние называется объемным или трехос-

ным напряженным состоянием.

3.Если σ1 ≠ 0, a σ2 = σ3 = 0 , то это будет одноосное или линейное на-

пряженное состояние.

Для такого состояния материала (простое растяжение – сжатие) напряжение и деформация связаны законом Гука: σ = εE , или через деформацию

ε = σ/ E .

Для материала, находящегося в сложном напряженном состоянии – объемном или плоском, тоже можно найти такую зависимость.

Рассмотрим бесконечно малых размеров параллелепипед (куб). Оценим вклад в деформацию этого параллелепипеда каждого из трех главных напряжений.

Если не принимать во внимание σ2 и σ3 , то деформация кубика в на-

правлении действия напряжения σ1 будут

ε11 = σE1 .

От напряжения σ2 деформация параллелепипеда в направлении дейст-

вия σ1 будет как поперечная: ε12 = ε′2 = −µε2 = −µ σE2 .

От напряжения σ3 вклад в деформацию по направлению σ1 также бу-

дет: ε13 = ε′3 = −µε3 = −µ σE3 .

Полная деформация параллелепипеда (куба) в направлении напряжения

σ1 будет равна сумме

25

ε1 = ε11 + ε12 + ε13 = σE1 − µ σE2 − µ σE3 = E1 [σ1 − µ(σ2 + σ3 )].

Рассуждая аналогично о деформации параллелепипеда в направлении действия напряжений σ2 и σ3 , получим

Эти три уравнения носят название – обобщенный закон Гука. Они объединяют напряжения и деформации для любого напряженного состояния и справедливы для любых взаимно перпендикулярных площадок, даже если площадки не главные.

Чтобы можно было определить напряженное состояние в точке по сечениям, ориентированным любым произвольным образом в пространстве – найти напряжения на гранях параллелепипеда, произвольно повернутого относительно главных площадок, рассмотрим в первую очередь зависимость между напряжениями при плоском напряженном состоянии.

2.2. Зависимость между касательными и нормальными напряжениями на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

Примем для рассмотрения элемент материала, находящегося под действием главных напряжений – σ1 и σ2 , в виде квадрата со сторо-

нами d x и d z и толщиной δ dy (рис.10).

Определим, чему будут равны нормальные и касательные напряжения на площадках, повернутых относительно главных площадок на угол α. Если пока не принимать во внимание главное напряжение σ2 , то σz можно найти как при простом растяжении:

σz = σ1 cos2 α,

26

суглом α +180D , то есть

σx = σ1 cos2 (α + 90D )+ σ2 cos2 (α +180D )=

Тригонометрические функции при σ1 и σ2 в (2.2) и (2.3) выраже-

ниях поменялись местами. Если сложить σz и σx , получаем

27

Сумма нормальных напряжений на любых взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная и равна сумме главных напряжений.

Рассуждая аналогично относительно касательных напряжений на наклонных площадках, получаем

Таким образом, касательные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку

τz x = −τx z .

Эта зависимость называется законом парности касательных напряжений.

(2.2) и (2.3) можно представить в виде

Если принять во внимание принцип независимости действия сил, то выделенный для рассмотрения элемент, находящийся в плоском напряженном состоянии, можно рассматривать как грань (или сечение) параллелепипеда, находящегося в объемном напряженном состоянии, ориентированную параллельно плоскости z − x . Наклонные площадки – следы взаимно перпендикулярных сечений, образующих наклоненный параллелепипед по отношению к параллелепипеду с главными площадками.

Тогда, рассматривая последовательно грани, параллельные плоскостям

28

z − y и y − x, мы получим аналогичные зависимости:

σz + σy = σ1 + σ3 ,

σy + σx = σ3 + σ2 .

Сложив все три суммы (правые и левые части отдельно), получаем

2 σx + 2 σy + 2 σz = 2 σ1 + 2 σ2 + 2 σ3

или

σx + σy + σz = σ1 + σ2 + σ3 ,

то есть и для объемного напряженного состояния сумма нормальных на-

пряжений σx + σy + σz на любых взаимно-перпендикулярных площадках –

величина постоянная и равна сумме трех главных напряжений. Касательные напряжения на наклонных площадках z − y и y − x будут

Касательные напряжения всегда направлены к углу, ближайшему к глав-

ной площадке, где действует напряжение σ1 ( σmax ) при плоском напряженном состоянии (в плоскостях z − x и z − y ), или где σ2 (в плоскостях х − у).

При объемном напряженном состоянии касательные напряжения направлены к ребрам параллелепипеда, образующим трехгранный угол, ближай-

ший к главной площадке, где действует σ1 (см. рис. 9,10,11).

Из уравнений для нормальных напряжений на наклонных площадках (2.2) и (2.3) следует вывод о возможности существования двух предельных напряженных состояний материала.

1. При σ0 = σ1 = σ2 = σ3 ≠ 0 нормальные напряжения на всех направлениях остаются равными главным напряжениям. В самом деле

29

σz = σ1 cos2 α + σ2 sin 2 α = σ0 (cos2 α + sin 2 α)= σ0 .

При этом касательные напряжения по любому направлению равны нулю:

При этом значении главных напряжений материал находится в «сферическом» напряженном состоянии – это равностороннее растяжение или сжатие (контактные напряжения)

2. При σ1 = −σ2 ; σ1 = −σ3 нормальные напряжения на наклонных пло-

щадках будут равны

σz = σ1 cos2 α − σ2 sin 2 α = σ0 (cos2 α −sin 2 α)= σ0 cos 2 α.

При угле наклона площадок по отношению к главным под углом в 45D,

σz = σ0 0 = 0, то есть нормальные напряжения отсутствуют, а касательные,

равные τ = ± σ1 −2 σ2 sin 2 α при этом же угле наклона площадок, будут

2 σ

τ = ± 2 0 = ±σ0 .

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Очевидно, что при всех промежуточных сочетаниях значений σ1 , σ2 и σ3 на наклонных пло-

щадках будут действовать и нормальные, и касательные напряжения и материал будет испытывать деформации растяжения – сжатия и сдвига. Графическое изображение состояния материала при чистом сдвиге представлено на рис.12,13.

Параллелепипед (квадрат), ориентированный под углом в 45D к главным площадкам, имеет только касательные напряжения.

Таким образом, в общем случае напряженного состояния материала в точке на гранях произвольно ориентированного параллелепипеда, образованного взаимно перпендикулярными сечениями, возможны три компонента напряжений. На каждой грани по два касательных и одному нормальному (см.

30

рис.9). Под действием этих напряжений происходит изменение объема и формы элементарных микрообъемов и накапливается потенциальная энергия упругой

деформации.

Рис.11

Рис.12