110

Рис.51

1.Интегрирование дифференциальных уравнений следует вести без раскрытия скобок ( xi − a ), считая их как одно неизвестное.

2.Если на балке на каком-либо участке имеется сосредоточенный момент (не в начале координат), его следует умножить на скобку (xi − c)0 . Здесь с – часть

длины балки от начала координат до меcта приложения момента.

При соблюдении этих условий создается возможность приравнивания выражений для y′ и y на границах смежных участков, что существенно упрощает задачу отыскания значений Сi и Di .

Определение деформаций балок возможно и другими методами: графическим (метод построения «веревочного» многоугольника), методом начальных параметров, энергетическими методами. С чисто практической точки зрения имеет смысл остановиться на последних.

Наименование – энергетические методы, связано с одной из важных особенностей потенциальной энергии упругой деформации.

5.2. Энергетические методы определения деформаций (перемещений)

Название методов основывается на особенности математического выражения потенциальной энергии упругой деформации.

Если обратиться к диаграмме P − ∆l (см «Определение механических

111

характеристик материалов»), то можно видеть, что на участке диаграммы от на-

чала координат до силы Pпц сохраняется прямолинейная зависимость между си-

лой и деформацией. На этом участке диаграммы в материале накапливается по-

тенциальная энергия, величина которой в пределах от нуля до Pпц может быть

определена в каждый момент как площадь соответствующего треугольника:

Принимая силу Р за независимую переменную, можно взять производную от выражения потенциальной энергии по этой силе:

∂∂Pu = 22EPAl = EPAl = ∆l .

Получили деформацию стержня. На этой особенности выражения потенциальной энергии упругой деформации и основаны методы определения деформаций: метод Кастильяно, метод Мора, метод Верещагина.

В пределах упругой работы материала сохраняется линейная зависимость между силами и перемещениями (деформациями) и при других деформациях – сдвиге, кручении, изгибе. Поэтому выражение для потенциальной энергии и при всех этих деформациях могут быть записаны аналогично.

Рассмотрим элемент стержня длиной dx , произвольно загруженного внешними силами (рис.52).

Будем считать, что все внешние силы приведены к правому сечению. Тогда, возможно, что в сечении будут действовать все шесть силовых факто-

ров: изгибающий момент относительно оси z (M z ), изгибающий момент отно-

112

Рис.52 Общая потенциальная энергия деформаций для рассматриваемого эле-

мента может быть записана в виде суммы:

d u = d u (M z )+ d u (M )+ d u (M кр )+ d u (N )+ d u (Qy )+ d u (Qz )=

щих сил учитывают влияние формы сечения (см. «Касательные напряжения при изгибе»).

Полная потенциальная энергия для всего бруса равна сумме значений потенциальной энергии на всей длине, то есть:

Очевидно, что при плоском поперечном изгибе основной нагрузкой является изгибающий момент (M у = М)и потенциальная энергия при изгибе

может быть выражена одним слагаемым:

113

u = ∫M 2 d x .

l 2 E I y

Вклад поперечной силы Qz в величину потенциальной энергии незна-

чителен и влияние ее можно не учитывать. Метод Кастильяно

Согласно теореме Кастильяно: «Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы».

Мы не будем рассматривать доказательство этой теоремы. Оно достаточно просто изложено у В.И. Феодосьева [22], а рассмотрим ее практическое применение.

Согласно теореме, обобщенная деформация (прогиб или угол поворота балки) будет определяться как:

Здесь: М – изгибающий момент на рассматриваемом участке; Р – обобщенная сила (сосредоточенная сила, если определяется прогиб, или сосредоточенный момент, если определяется угол поворота).

Так для балки (рис.53) изгибающий момент водная:

Деформация – перемещение у происходит по направлению действия силы. Для определения угла поворота этого сечения необходимо ввести в это се-

чение сосредоточенный момент M д = 0 (рис.54).

115

Реакции опор от внешней нагрузки RA = RB = q2l .

Если требуется найти прогиб балки посередине пролета (при x = l / 2),

то при вводе Рд = 0 в этом сечении балка будет разделена на два грузовых уча-

стка (рис.56).

Рис.56

Реакции опор с учетом Рд будут

RA = RB = q2l + P2д .

Изгибающие моменты на участках одинаковы:

Так как оба грузовых участка зеркально симметричны, деформацию на одном участке удваиваем

Для определения угла поворота сечения на опорах вводим M д = 0 на опоре В (рис.57).

С учетом M д реакции опор будут

116

RA = q2l + Мl д ; RB = q2l − Мl д .

Рис.57

Изгибающий момент

M = q2l x − q2x2 + Мl д x ,

если принять начало координат на опоре А, и

M = q2l x − q2x2 − Мl д x ,

если принять справа – на опоре В

Метод Мора Из приведенных примеров видно, что частная производная от изгибаю-

щего момента по сосредоточенной силе не что иное, как ордината сечения относительно места приложения силы.

117

В таком случае частную производную можно заменить на момент от силы, равной единице, приложенной в сечении, где определяется деформация, или просто взять единичный момент, если требуется определить угол поворота сечения.

Тогда из интеграла Кастильяно получаем формулу интеграла Мора:

Решение его не нуждается в иллюстрации.

Метод Верещагина

Замечая, что M dx = d ω – элементарная площадка эпюры изгибающих

моментов на длине d x, то ∫M d x = ω– вся площадь эпюры изгибающих мо-

l

ментов; Мс – изгибающий момент от силы, равной единице (или единичного момента), приложенной в сечении, где определяется деформация, но взятый под центром тяжести основной эпюры.

Таким образом, сделав соответствующую замену в обозначениях и заменив интеграл суммой по количеству участков (или сил), получаем формулу Верещагина:

Для решения балок с несколькими грузовыми участками метод Верещагина более удобен и по наглядности, и простоте решения.

Метод Кастильяно и Мора в виде готовых решений интегралов иногда можно встретить в справочной литературе для наиболее часто встречающихся нагрузок.

Рассмотрим пример на метод Верещагина при определении деформации

балок.

118

Определить перемещение сечения C (свободного конца консоли) (рис.58)

Решение Рассматриваем нагрузку балки от каждой силы в отдельности и строим

от них эпюры изгибающих моментов (см. рис.58).

Определяем площади этих эпюр ωi и находим положения центров тяжести хi .

Значение этих величин указаны на рисунке напротив каждой эпюры.

Как видно, весь расчет сводится к достаточно простым операциям.

Все рассмотренные методы широко используются не только при определении деформаций балок, но и для решения статически неопределимых балок, которые будут рассмотрены во второй части лекций.

119