31

2.3. Объемная деформация

Рассмотрим деформацию параллелепипеда при действии главных напряжений. Пусть σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Под действием напряжений длины всех ребер элементарного параллелепипеда изменятся. Пусть первоначальные длины d x, d y, d z и первоначальный объем d V = d x d y d z .

После деформации длины ребер будут

d x + δd x , d y + δd y , d z + δd z

и их произведение дает новый, измененный объем. Представим каждое из новых слагаемых в виде

d x (1 + ε1 ), d y (1 + ε2 ), d z (1 + ε3 ).

Тогда

d V + δd V = d x (1 + ε1 ) d y (1 + ε2 ) d y (1 + ε3 )=

= d x d y d z (1 + ε1 + ε2 + ε3 + ε1ε2 + ε1ε3 + ε2 ε3 + ε1ε2 ε3 ).

Здесь δd V – изменение объема при деформации.

Так как сами величины εi – бесконечно малые величины, их произ-

ведением ε1ε2 ; ε1ε3 ; ε2 ε3 , и тем более ε1ε2 ε3 , можно пренебречь, как бес-

конечно малыми высших порядков. Тогда новый объем можно представить, как

d V + δd V = d V (1 + ε1 + ε2 + ε3 )

или

32

Подставим в выражение для θ значения относительных деформаций εi через напряжения из обобщенного закона Гука

Учитывая, что сумма нормальных напряжений на любых взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная, можно записать относительное изменение объема через напряжения по любым взаимно перпендикулярным площадкам

При пространственном, сферическом, напряженном состоянии материала, когда напряжения в точке равны

При чистом сдвиге изменяется только форма, а объем остается неизменным.

2.4. Потенциальная энергия упругой деформации

Из диаграммы растяжения упругопластичного материала (см. раздел «Определение механических характеристик материалов») видно, что на участке ОА диаграммы в материале стержня, подвергаемого растяже-

Это потенциальная энергия упругой деформации, приходящаяся на единицу объема при одноосном напряженном состоянии. Для объемного напряженного состояния полная удельная потенциальная энергия упругой

Размерность удельной потенциальной энергии Нсм/см3 , кгсм/см3 .

В общем случае напряженного состояния материала происходит изменение объема под действием нормальных напряжений и изменение формы под действием касательных напряжений. Следовательно, можно считать, что полная потенциальная энергия состоит из двух слагаемых:

u = uоб + иф ,

где uоб – часть потенциальной энергии, накапливаемой при измене-

нии объема; иф – часть потенциальной энергии, накапливаемой при изменении формы.

34

Чтобы определить иф , необходимо установить зависимость между напряжением и деформацией при чистом сдвиге.

Рассмотрим элемент материала в виде квадрата со стороной а (бесконечно малых размеров).

Пусть деформация – сдвиг стороны ВС – ∆S (здесь вся деформа-

ция сведена к сдвигу одной стороны); ∆S – абсолютная деформация при сдвиге или абсолютный сдвиг (рис.13).

Рис.13

Удлинение диагонали АС, первоначальная ее длина – l, будет ∆l .

Выразим l и ∆l через размеры а и ∆S . Считая, что деформация мала в пределах упругой работы материала, можно считать, что угол

В′С′Аостался без изменения 45D , тогда

∆l = ∆S cos 45D ,

адлина

l = sina45D .

Отношение ∆ll = ε – относительная деформация при растя-

жении,

35

полученная диагональю. Отношение ∆aS = tg γ, или в силу малости угла,

просто γ – относительная деформация сдвига.

И это равно ε = 12 γ.

Здесь, согласно закону парности касательных напряжений и усло-

вию чистого сдвига τ = σ , нормальные напряжения заменены на каса-

Величина ( E )= G носит название модуль упругости при сдви- 2 1 + µ

ге. Он связывает три упругие постоянные характеристики материала в одно целое.

Величина G, как и Е и µ для каждого материала своя величина; это тоже механическая характеристика упругих свойств материала и может быть найдена в справочниках.

36

Для стали G = 8 105 кг/см2 или 8 104 Mпа. Выражение τ = G γ – закон Гука при сдвиге.

Таким образом, основываясь на представлениях об объемной деформации, можно считать, что потенциальная энергия упругой деформации, накапливаемая при изменении объема, эта та часть энергии, которая создается одинаковыми нормальными напряжениями по трем ортогональным площадкам. Будем считать, что это среднее напряжение из трех главных

На изменение формы остается часть потенциальной энергии, остающейся от разницы главных напряжений и среднего напряжения на гранях параллелепипеда в окрестности рассматриваемой точки. Если обозначить на каждой грани эти разности как σ1′ = σ1 − σ0 ,

Для площадок, произвольно ориентированных в пространстве, необходимо учесть действие касательных напряжений, то есть

2.5. Исследование напряженного состояния материала графиче-

При экспериментальном изучении напряженного состояния реальных конструкций или моделей ответственных элементов конструкций, например, в судостроении, авиации широко используется тензометрия [7], [8].

Для обработки результатов замеров и анализа полученных данных удобно пользоваться графическим методом исследования напряженного состояния материала.

38

Суть этого метода заключается в следующем.

Если на координатных осях y ≡ τ и x ≡ σ построить окружность

произвольного радиуса с центром на оси σ, то для любой точки окружности (например, точки К) можно получить зависимости, аналогичные ранее полученным аналитически для напряженного состояния в точке. Обозначим начало координат через О, пересечение оси σ окружностью – точки А и В. Опустим перпендикуляр от точки К на ось σ в точке D и соединим точку К с точкой А и точкой С (центр окружности) (рис.14).

пряжения; а отрезки ОВ – главное напряжение σ1 и OA = σ2 . Этому зна-

чению касательного напряжения должно соответствовать нормальное напряжение на площадке, где действует τх . Это отрезок OD. Из чертежа видно, что он равен

39

По закону парности касательных напряжений на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, должно быть касательное напряжение – τy = τx и нормальное напряжение σy .

Если отложить на оси σ отрезок ЕС влево от центра окружности, равный СD и опустить из точки Е перпендикуляр до пересечения в точке F, то окажется, что FE = KD , то есть − τy = τx , а нормальное напряжение

σу будет равно

дикулярно лучу AF (см. рис.14) Это две взаимно перпендикулярные площадки повернуты относительно главных на угол α.

С помощью такого построения можно находить как напряжения на произвольно ориентированных площадках по отношению к главным, так и находить напряжения на главных площадках, зная угол наклона между ними.

Рассмотрим случай чистого сдвига.

При этом напряженном состоянии σ1 = −σ2 и τ = σ = σ0 и ориен-

тированы касательные напряжения по отношению к нормальному под уг-

лом в 45D . Такое напряженное состояние изображено на рис.12. Из него видно, что там, где τ имеет максимальное значение

τ = ОА+ ОВ α max 2 sin 2 ,

угол α = 45D , а главные напряжения в точке О равны нулю. При этом