101

I y =1790 см4 , Sz =163см3 . Ширина полки b =11,5см. Ширина стенки d = 0,56 см.

Находим для выбранной балки реальное нормальное напряжение:

Касательное напряжение для этой же балки в опасном сечении

Расчетное напряжение находим по III-й гипотезе прочности

Это больше допустимого на 78 кг/см2 . Перегрузка составляет

σ = 1678 −1600 % = 4,8% . 1600

Это меньше допускаемого значения в 5%. Поэтому оставляем принятый номер профиля балки I №24.

ЛЕКЦИЯ V ДЕФОРМАЦИЯ БАЛОК

5.1. Метод решения приближенного дифференциального уравнения

Под действием внешних сил ось балки искривляется, каждое сечение поворачивается на некоторый угол и перемещается по направлению действия сил. Изогнутая ось балки называется упругой линией, а перемещение сечений по отношению к их первоначальному положению называется прогибом. При плоском поперечном изгибе действующие на балку силы и деформация балки находятся в одной плоскости. Поэтому искривленную ось балки можно рассматривать как плоскую кривую с кривизной 1/ ρ, пропорциональной действующему моменту (см. раздел «Нормальные напряжения при изгибе»)

102

ρ1 = EMI y .

Если воспользоваться выражением кривизны плоской кривой из аналитической математики:

то можно заметить, что второе слагаемое в знаменателе – величина бесконечно малая.

на абсциссе x к кривой y = f (x) оси балки. Так как в реальных балках дефор-

мации обычно очень малы по сравнению с пролетом и угол поворота сечений

Поэтому выражение кривизны балки можно записать в виде

или

E I y′′ = M x .

Это, так называемое приближенное дифференциальное уравнение кривой оси балки, или уравнение «упругой линии».

103

Для выбора знака левой части уравнения будем считать, что она имеет знак +, если ось y − y направлена вверх, а для моментов в правой части урав-

нения остается ранее принятое правило знаков при построении эпюр.

Таким образом, чтобы получить уравнение прогибов y = f (x), необхо-

димо дважды проинтегрировать приближенное дифференциальное уравнение. После первого интегрирования получаем уравнение

E I y′ = ∫M x d x + C .

После второго интегрирования

E I y = ∫d x ∫M x d x + C x + D .

Первое полученное уравнение – уравнение углов поворота сечений балки

второе – уравнение прогибов

Постоянные интегрирования в этих уравнениях представляют:

C – угол поворота сечения балки в начале выбранной системы координат для

M x , при х = 0 ; D – прогиб балки в том же сечении.

Выбор начала координат на конечный результат расчетов не влияет, но значения С и D при этом могут меняться.

Определение деформаций балок решением приближенного дифференциального уравнения является универсальным – пригодным для расчета балок с несколькими грузовыми участками, с различной нагрузкой.

Рассмотрим несколько примеров, использование этого метода.

1. Определить прогиб и угол поворота сечения балки, где приложена сосредоточенная сила P (см. рис.48).

Знак минус говорит о том, что сечение поворачивается по часовой стрелке.

Перемещение сечения – вниз, по направлению действия силы.

2.Балка на двух опорах с одним грузовым участком (рис.49).

Рис.49

Определить прогиб посередине пролета.

RA = RB = q2l .

Примем начало координат на опоре А. Изгибающий момент в сечении, на расстоянии Х от опоры

M x = RA x − q2x2 = q2l x − q2x2 .

Подставим значение Мх в уравнение упругой линии и дважды проин-

тегрируем:

107

Рис.50

Чтобы специально не находить реакции опор, нагрузка принята посередине пролета. При этом

RA = RB = P2 .

На балке два грузовых участка. Принимаем начало координат на опоре

А. Расстояние до первого и второго сечений соответственно – x1 и x2 .

Вотличие от обычного правила, принятого для построения эпюр, когда для разных участков можно принимать начало координат с правой и левой стороны от сечения, здесь должно быть принято одно начало координат для всех участков на балке. Это сокращает количество неизвестных С и D благодаря возможности выбора условий на границах участков. Количество дифференциальных уравнений составляется столько, сколько на балке грузовых участков.

Внашем случае изгибающие моменты на первом и втором грузовом участке будут:

Дифференциальные уравнения:

1. E I y′′ = P2 x1 ,

109

Максимальный прогиб балки при x1 = x2 = l / 2 – посередине пролета

Приведенные примеры далеко не исчерпывают все варианты решения дифференциальных уравнений при определении деформации балок, и охватить их в кратком лекционном изложении невозможно. Поэтому с целью облегчения решения задач при решении дифференциальных уравнений для более сложно загруженных балок с несколькими грузовыми участками приведем здесь несколько рекомендаций – условий, позволяющих уменьшить число постоянных интегрирования и упрощающих все решение.

1. Отсчет абсцисс xi для сечений всех грузовых участков на балке необходимо вести от одного начала координат – от крайней левой или крайней правой точки на оси балки.

2.Все выражения изгибающего момента на втором и последующих грузовых участках должны содержать выражения моментов предыдущих участков.

3.Все вновь вводимые составляющие (слагаемые) уравнений изгибающих мо-

ментов на втором и последующих участках должны содержать множитель

( xi − a ), где а – сумма длин предыдущих участков.

4. С этой целью, при наличии на балке прерывающейся распределенной нагрузки, необходимо дополнить ее до конца балки, одновременно добавляя такую же нагрузку противоположного знака (см. рис.51).