458_METMAT

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

5.2. Уравнения для генератора с активной модуляцией добротности.

Так как в генераторе распространяются два потока излучения (слева направо ( I + ) и справа налево ( I − )), связанные между собой краевыми условиями на зеркалах резонатора, то полная система будет содержать три уравнения:

для плотности мощности излучения

и коэффициента усиления среды

Эти уравнения необходимо рассматривать со следующими начальными и краевыми условиями

На этом этапе мы принимаем, что длина резонатора равна длине активного элемента и модулятор добротности, имеющий бесконечно малую длину, сосредоточен у зеркала З1. Вопрос об особенностях формирования импульса излучения в резонаторе, имеющем длину больше, чем длина активного элемента, будет рассмотрен ниже.

Точечная модель генератора. Система уравнений (5.14)-(5.16) в полном объеме может быть решена только численными методами. Поставим задачу, сделав некоторые допущения, свести эти уравнения к более простому виду, позволяющему сделать числовые оценки для мощности, энергии и длительности импульса излучения. Будем рассматривать задачу для среднего потока мощности по длине резонатора.

Потоки излучения неоднородны по длине активного элемента. Поэтому в процессе обеднения инверсной населенности будет неравномерно и распределение коэффициента усиления сре-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

ды по длине активного элемента. Аналогично (5.22) определим среднее значение коэффициента усиления на длине элемента

Эти уравнения называются “точечной” моделью генератора, так как в них отсутствует зависимость от продольной координаты z - генератор сосредоточен в точке.

В дальнейшем мы воспользуемся подходом по разделению уравнений, который был использован ранее в разделе 4 при рассмотрении усиления лазерного излучения. На этапе накачки активного элемента лазерное излучение отсутствует и из (5.25) мы имеем уравнение

После включения модулятора добротности лазерные процессы развиваются с такой скоростью, что за время формирования импульса излучения можно пренебречь процессами накачки и спонтанного распада верхнего лазерного уровня. Система уравнений для процесса генерации имеет следующий вид

Здесь и далее под суммарными потерями понимаются потери с включенным модулятором добротности. Там, где это необходимо, мы будем уточнять, о каких потерях идет речь. В дальнейшем будем рассматривать систему уравнений (5.27)-(5.28). Поделим первое уравнение на второе

Это уравнение устанавливает связь между согласованным изменением плотности мощности излучения в резонаторе и изменением коэффициента усиления среды. В дальнейшем мы бу-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

дем использовать его для решения. К основным параметрам выходного излучения относятся: энергия, мощность и длительность импульса. Запишем для них расчетные выражения.

Мощность излучения. Максимальную величину плотности мощности нетрудно найти, обратившись к рис.5.5. В момент времени t5 мощность достигает максимального значения, ве-

личина производной для I(t) равна нулю и из (5.27) мы получаем, что в этот момент времени k (t ) = βΣ . Подставляя это равенство в (5.30), мы определим максимальное значение плот-

ности мощности. При этом в (5.30) мы принимаем I0 =0, так как величина начальной плотности мощности излучения много меньше пикового значения. Но определяемое таким образом значение - это величина плотности мощности внутри резонатора. Нам необходимо определить мощность за выходным зеркалом резонатора. Для этого необходимо вернуться к исходной системе уравнений (5.27)-(5.28), а точнее к краевым условиям для нее, связывающим потоки мощности внутри резонатора с выходным потоком: I- (Làý, t) = R2 ×I+ (Làý, t) (ñì.(5.21)) è

Iâûõ(t) = (1- R2 ) ×I+ (Làý, t) . Отсюда, с учетом (5.22), следует, что

В достаточно широком диапазоне изменений коэффициента отражения выходного зеркала R2 в этом выражении можно ограничиться первым слагаемым. Тогда выражение для выходной

Энергия излучения. Величину выходной энергии можно определить из следующих соображений. К моменту начала генерации импульса коэффициент усиления среды равен k0 . При этом в активном элементе на верхнем уровне запасена энергия Eçàïí = Qíàñ × k0 × Sàý × Làý . К моменту окончания генерации импульса величина коэффициента усиления равна kêîí и тогда

остаточная запасенная энергия равна Eçàïêîí = Qíàñ × kêîí × Sàý × Làý . Разность этих значений опреде-

ляет энергию, которая была снята с верхнего лазерного уровня. Все эта снятая энергия расходуется на полные потери βΣ . Отношение величины потерь на вывод излучения к полным по-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

терям определяет долю энергии, которая будет получена за выходным зеркалом. Поэтому выходная энергия излучения определяется следующим выражением

В этом выражении нам неизвестна величина kêîí . Найти ее можно, опять воспользовавшись (5.30). Положив в (5.30) I(t)=0, I0 =0 и подставив kêîí вместо k (t ) , получим следующее выражение

Это трансцендентное выражение определяет величину конечного коэффициента усиления при заданных значениях начального усиления и суммарных потерь. График соответствующей зависимости приведен на рис.5.6 сплошной линией. На пороге генерации ( βΣ / k0 = 1 ) коэффици-

терь к коэффициенту усиления среды, определяемого уровнем

накачки. От величины Qíàñ (5.35) не зависит. Поэтому для всех типов активных элементов (отличающихся величиной Qíàñ ) величина kêîí определяется только отношением βΣ / k0 .

Длительность импульса. Длительность импульса t можно определить, приняв, что энергия импульса Åã равна произведению пиковой мощности Pìàêñ на длительность импульса. Тогда, поделив (5.34) на (5.33), получим

Необходимо отметить, что от величины Qíàñ (5.36) не зависит. Длительность импульса (скорость развития процесса генерации) определяется только отношением коэффициента усиления и суммарных потерь резонатора.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

Время линейного развития генерации. Определим время линейного развития гене-

рации (интервал t4- t2 на рис.5.5). Процесс генерации начинается с уровня шумов ( I0 ), определяемых спонтанным распадом верхнего лазерного уровня. Процесс съема инверсной населенности начинается тогда, когда плотность энергии излучения, прошедшего за несколько обходов по резонатору через активный элемент, становится соизмеримой с плотностью энергии насыщения Qíàñ

Здесь принято, что этап линейного развития заканчивается, когда плотность энергии излучения становится равной 10% от плотности энергии насыщения. При усилении за после-

довательность обходов резонатора выражение для Iø (t ) имеет вид

ãäå υ × t = 2 Làý × N ïð .

Подставляя (5.38) в (5.37) и выполняя интегрирование, получаем следующее выражение для

Tëð

Начальный уровень шумов можно определить из следующего. К моменту начала генерации на верхнем уровне активного элемента запасена энергия Åçàï. Мощность шумового излучения равна

Это излучение испускается во все стороны. Часть его, распространяющаяся в направлении, близком к оптической оси, является начальным потоком мощности для развития генерации. Определив эту долю мощности параметром ξ , поделив (5.40) на сечение активного элемента, получим

Как из (5.32), так и из (5.33) следует, что процесс генерации импульса имеет пороговый характер. Действительно, в том случае, когда при заданной энергии накачки максимально достижимое значение коэффициента усиления k0 меньше величины суммарных потерь с открытым затвором βΣ , условие генерации выполняться не будет и энергия и мощность излучения

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

будут равны нулю. Порог генерации определяется условием k0 = βΣ . Из (5.32) следует, что при

k0 = βΣ выходная мощность равна нулю, длительность импульса стремится к бесконечности. Общий анализ выражений для параметров излучения ((5.32), (5.33), (5.35) и (5.41)) пока-

зывает, что энергия, мощность и длительность импульса определяются, в основном, отношением усиления к суммарным потерям. Время линейного развития генерации определяется разностью коэффициента усиления и суммарных потерь.

Обобщение выражений для расчета моноимпульса излучения. Обратимся еще

Параметр X характеризует превышение коэффициента усиления среды порога генерации. С использованием (5.43) выражение (5.35) примет вид

С учетом (5.43) и (5.44) выражения (5.33), (5.34), (5.36) и (5.42) будут иметь следующий вид

В (5.45)-(5.48) в явном виде не входит величина коэффициента усиления среды k0 , которая не всегда известна на практике. Расчет основных параметров излучения может быть выполнен относительно порога генерации (параметра X).

Числовые примеры. Сделаем расчет параметров выходного излучения для двух типов активных элементов: YAG:Nd3+ и стекла с Nd3+. Пусть, для сопоставимости, оба активных

элемента имеют диаметр 8 мм и длину 100 мм (освечиваемая, накачиваемая длина элемента равна 95 мм). Примем, что для YAG:Nd3+ Qíàñ =0,4 Äæ/ñì2, а для стекла с Nd3+ Qíàñ =5 Äæ/ñì2.

Пусть в обоих случаях дифракционные потери равны γ äèôð =5%, потери из-за разъюстировки

γ þñò =2%. В обоих случаях используется модулятор добротности с коэффициентом пропускания в открытом состоянии 95%. Длина резонатора 50 см. Уровень накачки задается коэффициентом усиления среды: для лазера YAG:Nd3+ k0 = 0,3 ñì-1, для стекла с Nd3+ k0 = 0,1 ñì-1.

Все результаты расчетов сведены в табл.5.1. Энергия выходного излучения для YAG:Nd3+ составляет 0,45 Дж, а для стекла с Nd3+ - 1,52 Дж. При этом наибольший коэффициент использования запасенной энергии имеет лазер на YAG:Nd3+. Заданные значения коэффициента усиления соответствуют следующим превышениям порога генерации (k0/βΣ): äëÿ

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

области малых энергий накачки величина k0 меньше βΣêîí , генерация отсутствует и энергия излучения равна нулю. Начиная с некоторого значения энергии накачки, называемого порогом генерации ( Eíàê = Eíàêïîð ) начинает выполняться условие генерации и начинается рост энергии излучения с ростом энергии накачки.

На рис.5.9 приведены зависимости для всех параметров лазера от энергии накачки. С ростом энергии накачки происходит увеличение энергии выходного излучения, но скорость нарастания уменьшается при большом превышении порога генерации. Связано это с уменьшением величины запасаемой на верхнем уровне активного элемента энергии на этапе накачки, так как при больших значениях энергии накачки возрастает роль усиленной люминесценции, уменьшающей инверсную населенность. Это приводит к тому, что энергия выходного излучения возрастает, но КПД лазера, достигая максимального значения, может начать уменьшаться. Зависимость мощности излучения в припороговой области накачек имеет квадратичный характер, так как с ростом энергии происходит уменьшение длительности им-

пульса излучения. Длительность импульса излучения гене- ратора монотонно убывает с ростом энергии накачки. Также уменьшается время линейного развития генерации.

Результаты рис.5.9 также показывают тот важный факт, что при выборе режима работы лазера можно ставить две, в общем случае независимые задачи, создание лазера с максимальной выходной энергией излучения или с максимальным КПД. Эта ситуация возникает тогда, когда с ростом энергии накачки скорость увеличения энергия излучения уменьшается на столько, что начинается уменьшение КПД лазера. В ряде случаев бывает целесообразным поступиться уменьшением КПД, но получить требуемую энергию излучения.

На практике обычно энергию выходного излучения лазера изменяют при изменении энергии накачки. Необходимо помнить, что при этом изменяется и длительность импульса из-

при котором энергия выходного излучения максимальна. Необходимо отметить, что (5.49) зависит только от величины вредных потерь и коэффициента усиления среды, определяемого уровнем накачки, на длине активного элемента и не зависит от плотности энергии насыщения. Выражение (5.49) при заданных значениях усиления и вредных потерь имеет единственное решение.

Особенностью оптимизации лазера, как и большинства нелинейных систем, является то, что для каждого из выходных параметров существуют свои, не равные друг другу оптимальные значения начальных условий. Мы получили выражение для оптимального значения коэффициента отражения, при котором энергия выходного излучения максимальна (5.49). Продифференцировав выражение для мощности выходного излучения (5.33) по коэффициенту отражения выходного зеркала, получим следующее трансцендентное выражение

Значения R из (5.49) не совпадает с (5.50). Это означает, что максимальные значения энергии и мощности излучения достигаются при различных значениях коэффициента отражения выходного зеркала. Аналогичным образом можно определить значение коэффициента отражения, при котором длительность импульса будет минимальной RîïòT . И это значение не будет

равно RîïòE è RîïòP .

В отличие от (5.49), выражение (5.50) имеет два корня. Наличие двух значений R, при которых производная мощности по коэффициенту отражения равна нулю, означает, что зависимость P(R) имеет два экстремума - на пороге генерации (минимум P(R)) и при достижении максимальной мощности излучения (максимум P(R)). Наименьшее из значений R соответствует порогу генерации, как это следует непосредственно из (5.50). В области порога генерации зависимость P(R) имеет квадратичный характер от R. Для зависимости E(R) (5.34) на пороге генерации величина производной по R больше нуля. В дальнейшем нас будет интересовать большее значение из решений (5.50), которое мы будем обозначать RîïòP .

При малом изменении величины R2 относительно R2=1,0 энергия выходного излучения отлична от нуля. Найдем пороговое (наименьшее) значение R2, начиная с которого начинает выполняться порог генерации. Очевидно, что это значение будет одно и тоже как для энергии, так и для мощности излучения. Воспользовавшись (5.9) получаем, что пороговое значение R2 равно

В диапазоне 0 < R2 < R2ïîð энергия и мощность излучения равны нулю.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Лазер с активной модуляцией добротности. Моноимпульсный режим.

На рис.5.10 приведены зависимости параметров излучения лазера от коэффициента отражения выходного зеркала. Очевидно, что для КПД лазера график зависимости с точностью до постоянного множителя совпадает с графиком для выходной энергии излучения. Хорошо видно, что экстремальные значения для энергии, мощности и длительности импульса излучения достигаются при разных значениях коэффициента отражения. Рассмотрим изменение параметров излучения при изменении коэффициента отражения.

Существует оптимальное значение коэффициента отражения выходного зеркала, при котором максимальна или выходная энергия, или выходная мощность

излучения. При уменьшении коэффициента отражения уменьшается доля мощности, идущая на поддержание обратной связи. Поэтому для съема запасенной в активном элементе энергии потребуется большее число проходов излучения по резонатору. Как следствие, увеличится доля энергии излучения, теряемая на вредных потерях внутри резонатора. Одновременно с этим уменьшение коэффициента отражения приводит к увеличению потерь на вывод излучения и увеличению суммарных потерь резонатора с открытым затвором. Увеличение суммарных потерь приводит к увеличению отношения потерь к коэффициенту усиления и, как

рис.5.6). Это означает, что в активном элементе снимается меньше энергии, запасенной на верхнем уровне. Все это приводит к уменьшению энергии и мощности излучения и увеличению длительности импульса.

При увеличении коэффициента отражения резонатора очень малая часть внутрирезонаторной мощности выводится из резонатора. Обеспечиваются хорошие условия энергосъема в активном элементе, но требуется большее число проходов излучения по резонатору для вывода излучения по сравнению со случаем оптимальной связи. Как следствие, увеличивается доля энергии, теряемая на вредных потерях в резонаторе. Это приводит к уменьшению энергетических параметров и увеличению длительности импульса. При изменении коэффициента отражения изменяется и форма выходного импульса.

На рис.5.11 приведены временные зависимости при различных значениях коэффициента отражения. При больших значениях R обостряется передний фронт импульса, что показывает большую скорость съема энергии в активном элементе.

Суммарные потери в резонаторе малы и разность k0 − βΣ оказывается достаточно большой. Поэтому время линейного развития мало. Затянутый задний фронт импульса показывает небольшую скорость вывода излучения из резонатора. При уменьшении коэффициента отражения выходного зеркала форма импульса становится близкой к гауссовой. Увеличиваются потери на вывод излучения, увеличиваются суммарные потери, уменьшается разность k0 − βΣ и, как следствие, увеличивается время линейного развития импульса генерации.