458_METMAT

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

однородный сдвиг резонансных частот для различных частиц ансамбля. Когда указаны сдвиги частот меньше однородной ширины линии перехода, то спектральный контур, оставаясь единым, имеет сложную конфигурацию. Данный механизм приводит к неоднородности уширения линии. В любом случае каждая частица излучает (поглощает) электромагнитные колебания в пределах однородной ширины линии DνË . Поэтому в средах с неоднородным уширением линии при взаимодействии с монохроматическим излучением в спектральном контуре может образоваться провал (“спектральная дырка”). “Спектральная дырка” появляется из-за конечного времени обмена энергиями между возбужденными частицами, находящихся в одном энергетическом состоянии. Параметр “спектральной дырки” зависти от механизма неоднородности и величины интенсивности излучения.

1.6. Индуцированное усиление.

Определим величину коэффициента усиления среды. Известно определение коэффициента ослабления β ([ñì-1]), характеризующего потерю доли мощности, проходящей через слой единичной длины. В дифференциальной форме закон Бугера для монохроматичного излучения имеет следующей вид.

возрастание плотности мощности при распространении по среде. Для отличия режимов поглощения и усиления, определим по аналогии с (1.35) коэффициент поглощения

Здесь DN = ( N 2 - N1 ) - инверсная населенность.

Можно отметить, что в (1.36) сомножителем DN является группа параметров, имеющая размерность [ñì2]

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

С учетом связи между коэффициентами Эйнштейна (1.12), (1.24) и λ = c / ν , выражение (1.37 можно записать в следующем виде

Здесь введено обозначение A21 = 1 / τ0 . Поскольку всегда 2πDνË > 1 / τ0 , то сечение перехода σ

всегда меньше λ2 / 2π . Характерные значения σ в зависимости от среды и спектрального диапазона лежат в широком диапазоне 10-12 - 10-24 ñì2.

Сечение перехода характеризует способность атома поглощать или усиливать излучение. Его можно рассматривать как эффективную площадь поперечного сечения атома для процессов поглощения и излучения. Сущность этого параметра легко понять на примере поглощающих сред. В том случае, когда E2 - E1 >> kÁT , что характерно для оптического диапа-

зона, практически все частицы находятся на нижнем уровне ( N1 = N Σ ). Тогда мы имеем, что коэффициент поглощения (1.35) равен произведению концентрации частиц на сечение перехода

С ростом концентрации частиц прямо пропорционально возрастает и коэффициент поглощения. Это справедливо при не очень больших плотностях мощности и при невысоких концентрациях. Определение коэффициента потерь с помощью (1.39) очень удобно для различных задач. Аналогично (1.39) на практике определяют сечение не только резонансно поглощающих сред, но и сред имеющих центры рассеяния или другую природу ослабления излучения.

Выводы. Равновесное состояние ансамбля частиц поддерживается совокупностью индуцированных (поглощение и излучение) и спонтанных переходов. Все они связаны между собой. При изменении плотности мощности внешнего излучения ансамбль переходит в новое равновесное состояние, характеризующееся большей населенностью верхнего уровня.

Если изначально создать населенность верхнего уровня больше, чем населенность нижнего (инверсия населенности), то в отсутствии внешнего излучения частицы спонтанно будут переходить в равновесное состояние. Состояние с инверсией населенности не является равновесным. При увеличении плотности мощности внешнего излучения частицы с большей скоростью переходят на нижний уровень. Часть энергии частиц снимается индуцировано. В этом случае внешнее электромагнитное излучение будет усиливаться.

Все переходы характеризуются конечной спектральной шириной. Минимальная величина ее (естественное уширение линии) определяется временем жизни частиц на верхнем уровне. Действие различных механизмов приводит к уширению линии. Различают однородное и неоднородное уширение. В том случае, когда все атомы испытывают одинаковое (однородное) воздействие, уширение является однородным и описывается лоренцевой кривой. При неоднородном уширении различные группы атомов, имея узкий спектр перехода, отличаются центральными частотами в силу неоднородного воздействия. Суммарный контур перехода имеет гауссово распределение.

Важным параметром, характеризующим усилительные и поглощательные способности атома, является сечение перехода.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ В ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМАХ.

2.1. Постановка задачи. Методы анализа.

В настоящее время отсутствует единая модель лазера, позволяющая в полном объеме смоделировать формирование всех параметров выходного излучения лазерных систем — энергетических, временных, спектральных, пространственных и поляризационных. Современное представление о действии всех процессов в лазере принципиально позволяет записать полную математическую модель. Но даже для современных сверхмощных компьютеров эта задача окажется не по плечу. Нет перспектив создания компьютера с требуемой вычислительной мощностью в ближайшем будущем. Поэтому в настоящее время используется следующий подход при моделировании лазеров:

1.Формирование энергетических и временных параметров излучения. Используются плосковолновые модели, базирующиеся на балансных уравнениях или уравнениях переноса. Они имеют небольшие времена вычислений. Выполнение баланса мощности позволяет получить хорошее для инженерной практики согласие результатов расчета с экспериментальными данными.

2.Формирование спектральных параметров излучения. Здесь круг задач связан с исследованием формирования спектральных параметров моноимпульсного излучения и формирование ультракоротких импульсов излучения. Для решения этих задач обычно используются плосковолновые полуклассические уравнения, которые являются более полными, чем используемые для исследования формирования энергетических и временных параметров излучения. Они учитывают модовый состав излучения (аксиальные, продольные типы колебаний), аномальную дисперсию активного элемента и позволяют получить решение для амплитуды и фазы поля каждой моды.

3.Формирование пространственных параметров излучения. Здесь главным вопросом является исследование формирования пространственных характеристик излучения в лазерах. Учитывается действие различных неоднородностей — амплитудных (ограничивающие апертуры элементов, неравномерность распределения инверсии, неравномерность коэффициента пропускания элементов и др.) и фазовых (конфигурация оптического резонатора, оптические неоднородности всех элементов лазера и др.). При этом используемые модели не всегда обеспечивают хорошее согласие результатов расчета по энергетическим и временным параметрам с экспериментальными данными. Большое число сделанных при выводе уравнений допущений не позволяет получить и полное согласие по распределению поля (плотности мощности излучения) с экспериментальным. Но по интегральным параметрам — величине расходимости излучения, энергетической направленности (доли энергии или мощности в заданном телесном угле) получается хорошее совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными. С хорошей точностью может быть выполнена оптимизация оптического резонатора с целью компенсации термооптических искажений активного элемента.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

Решение всех этих задач базируется на решении задачи взаимодействия излучения со средой, имеющей инверсную населенность. Существует три метода описания процессов взаимодействия излучения с такой средой:

1.Классический. Поле излучения описывается методами квантовой электродинамики. Состояние среды — методами квантовой механики. Усреднение потока фотонов по ансамблю частиц, переход к описанию в рамках волновых представлений и усреднение параметров среды по возможным состояниям позволяет, при необходимости, перейти к системе полуклассических уравнений.

2.Полуклассический. Поле лазерного излучения описывается методами теории волн — волновым уравнением, получаемым из уравнений Максвелла. Состояние среды описывается методами квантовой механики. Усреднение параметров среды по возможным состояниям позволяет перейти к двум уравнениям — уравнению для поляризованности среды и уравнению для инверсной населенности. Совместно с уравнением для амплитуды поля излучения получаемая система трех нелинейных дифференциальных уравнений используется для исследования лазерных процессов. В случае, когда длительности импульсов лазерного излучения больше времен установления фазовых соотношений в среде (времени поперечной релаксации), эта система уравнений преобразуется в систему балансных уравнений.

3.На основе соотношений баланса для частиц и уравнений переноса для потока фотонов. Уравнения выводятся из общих принципов баланса числа частиц, находящихся в различных энергетических состояниях, и баланса мощности при прохождении через усиливающую (поглощающую) среду. При выводе этих уравнений не определяются границы их применимости.

Все эти методы позволяют свести уравнения к системе балансных уравнений для плотности мощности лазерного излучения и коэффициента усиления среды (инверсной населенности). Но классический и полуклассический методы обычно не рассматривают процесс создания инверсной населенности. Величина ее задается в качестве начальных условий к моменту прихода лазерного излучения. Соответствующее слагаемое в уравнение для коэффициента усиления, описывающее процесс накачки, вводится феноменологически.

2.2. Балансные уравнения для населенностей уровней.

Рассмотрим последовательно вывод уравнений для трех- и четырех уровневых сред. Энергетические схемы для них показаны на рис.2.1. Механизм создания инверсии населен-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

ляется рубиновый кристалл. Средой со схемой второго типа – гелий-неоновая смесь. В обоих случаях канал излучения накачки и канал с индуцированным усилением разделены по частоте, причем частота накачки больше частоты индуцированного излучения. В активных средах с 4-х уровневой схемой (рис.2.1.в) переходы накачки (0-3) и генерации (2-1) не имеют общих уровней.

Не всегда можно однозначно поставить в соответствие некоторому типу активной среды строго определенную энергетическую схему. Так, например, в активном элементе ИАГ:Nd3+ можно осуществить генерацию на нескольких длинах волн. На длине волны 1,064, 1,32 и 1,44 мкм элементу соответствует 4-х уровневая схема. На длине волны генерации 0,9 мкм - 3-х уровневая. При этом накачка во всех случаях производится на один и тот же уровень.

В основе вывода уравнений лежит рассмотрение изменения населенности на всех уровнях (миграция) частиц. Но в конечном итоге уравнения будут сведены к разности населенности для лазерного перехода, так как индуцированный переход между этими уровнями определяет усиление лазерного излучения.

Трехуровневые среды первого типа. Рассмотрим миграцию частиц в трехуровневой системе первого рода. Энергетическая схема с указанием возможных переходов приведена на рис.2.2. В исходном состоянии частицы находятся в энергетически устойчивом состоянии на уровне 0. Под действием излучения накачки (hν02) частицы переходят на промежуточный уровень 2, откуда безызлучательно переходят на метастабильный уровень 1. Лазерный переход

уровень 0.

Напомним, что вероятности индуцированных переходов во взаимно противоположных направлениях переходов равны (W0 i = Wi 0 ). Вероятности спонтанных переходов определяются через времена жизни частиц на соответствующих уровнях.

Для накачки активной среды используются источники, характеризующиеся большой шириной спектра возбуждения. Поэтому с целью получения высокой эффективности накачки активной среды выбираются среды, имеющие достаточно широкий уровень 2. Вероятность возбуждения частицы в этом случае равна

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

ãäå S02 (ν ) - спектральная плотность потока фотонов накачки [фотон/ñåê/Ãö/ñì2], связанная с

Этому случаю в твердотельных лазерах соответствует ламповая накачка и в большинстве своем полупроводниковая накачка, когда ширина спектра излучения соизмерима с шириной линии поглощения.

В отличие от накачки, генерация происходит с узким спектром излучения. Спектральное распределение интенсивность излучения можно представить в виде дельта функции S01 (ν ) = J 01δ (ν - ν0 ) . Вероятность индуцированного перехода (1-0) определяется следующим выражением

Сечение σ01 (ν0 ) берется на частоте, соответствующей частоте перехода 1-0

ν0 = ( E1 - E0 ) / h .

Концентрация частиц в активной среде равна NΣ . Сразу можно записать уравнение, определяющее сохранение числа частиц в любой момент времени

Число вынужденных переходов в единицу времени равно произведению вероятности перехода на населенность соответствующего уровня, с которого происходит переход частиц. Населенность уровня 2 определяется поступлением частиц при накачке, спонтанным распадом уровня

Или, с учетом определения вероятностей переходов

Аналогично можно записать уравнения для изменения населенности первого и нулевого уровней

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

Нетрудно убедиться, сложив (2.6), (2.7) и (2.8), что

Это следует и из (2.4) и выражает сохранение числа частиц.

Из общих соображений понятно, что для накопления частиц на метастабильном уровне 1 необходимо, чтобы в активной среде выполнялись следующие соотношения:

1.Вероятность безызлучательного перехода 2-1 должна быть выше полной вероятности переходов 2-0,

2.Вероятность спонтанного перехода 1-0 должна быть минимальной.

Выполнение первого условия дает

Вычитая из (2.7) уравнение (2.8) и учитывая (2.10) и (2.11) получаем следующее уравнение для инверсной населенности

Здесь в явном виде определена вероятность индуцированного перехода с уровня 1 проходящим лазерным излучением. Начальное значение для (2.13) равно DN (t = 0) = -N Σ , так как в первоначальный момент времени все частицы находятся на уровне 0. Коэффициент 2 во втором слагаемом (2.13) показывает, что при переходе одной частицы с уровня 1 на уровень 0 величина инверсной населенности изменяется на 2 частицы.

В дальнейшем нам будет удобно пользоваться не инверсной населенностью N(t), а коэффициентом усиления среды k(t), характеризующим усилительные характеристики активной среды на единицу длины. В разделе 1 было показано, что коэффициент усиления среды k связан с N следующим выражением

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

Второе слагаемое (2.15) умножим и поделим на энергию кванта hν0 . В числителе произведе-

Этот параметр - плотность энергии насыщения [Äæ/ñì2]. Физический смысл его подробно будет рассмотрен позже. С использованием (2.16) и (2.17) окончательно получим

Первое слагаемое в (2.18) описывает процесс накачки активной среды. Второе и третье - процесс уменьшения инверсной населенности. Второе слагаемое учитывает индуцированное уменьшение инверсной населенности проходящим лазерным излучением, а третье - за счет спонтанного распада верхнего лазерного уровня. Начальное условие для (2.18): k(t = 0 ) = -À.

В заключении этого подраздела определим условия, при которых коэффициент усиления среды (инверсия населенности) будет больше нуля. Как при непрерывной, так и при импульсной накачке активной среды всегда достижимо состояние, при котором dk (t) / dt = 0 . При этом условии из (2.18) получаем, что

Отсюда следует вывод, что в 3-õ уровневой среде может быть создана инверсия населенности при W02 > 1 / τ10 .

Четырехуровневые среды. Аналогично трехуровневым средам, можно записать уравнение для инверсной населенности для 4-х уровневой среды. Энергетическая схема с указанием возможных переходов приведена на рис.2.3. В исходном состоянии частицы нахо-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

В рассмотрении будем учитывать следующие переходы:

W03 - индуцированный переход накачки на уровень 3 с уровня 0,

W30 - индуцированный переход накачки с уровня 3 на уровень 0, w31 = 1 / τ32 - безызлучательный переход с уровня 3 на уровень 2, W21 - индуцированный переход с уровня 2 на уровень 1,

W12 - индуцированный переход с уровня 1 на уровень 2,

A21 = 1 / τ21 - спонтанный распад верхнего лазерного уровня 2 на уровень 1, w10 - безызлучательный переход с уровня 1 на уровень 0.

При рассмотрении необходимо учитывать, что нижний лазерный уровень 1, достаточно близко расположенный к основному уровню 0, изначально может быть заселен при комнатной температуре. Поэтому соотношение между вероятностями перехода между уровнями 1 и 0 следующие

Как и для 3-х уровневой среды примем, что накопления частиц на уровне 3 не происходит. Тогда

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

На практике при комнатной температуре разность энергий между основным (0) и нижним лазерным уровнем (1) оказывается значительно больше kÁT . Поэтому в соответствии с (2.20) можно принять w01 =0. Безызлучательный переход 1®0 характеризуется временем релаксации

Аналогично переходу от (2.13) к (2.15), умножим обе части уравнения (2.28) на σ21 (ν0 ) . Óìíî-

Начальное значение для коэффициента усиления: k(t = 0 ) = 0 . Сравнивая это уравнение (2.30) с (2.18) можно отметить, что они отличаются только слагаемым, учитывающим спонтанный распад верхнего лазерного уровня.

Определим условия, при которых коэффициент усиления среды (инверсия населенности) будет больше нуля. Из (2.30) при dk(t) / dt = 0 получаем

Отсюда следует вывод, что в 4-х уровневой среде при бесконечно малом времени жизни частиц на нижнем лазерном уровне может быть создана инверсия населенности при W03 > 0 .

Сравним (2.18) и (2.30). В 3-х уровневой среде для создания инверсной населенности необходимо как минимум половину частиц от N Σ перевести в возбужденное состояние. В 4-х уровневой среде перевод только одной частицы в возбужденное состояние обеспечивает инверсную населенность. Одновременно с этим в 3-х уровневой системе индуцировано можно извлечь только половину частиц, находящихся в возбужденном состоянии, тогда как в 4-х уровневой системе индуцировано можно снять все частицы. Таким образом 4-х уровневая схема энергетически более выгодна, чем 3-х уровневая.

Важно отметить, что формально для 3-х и 4-х уровневых сред уравнения сведены к уравнениям для разности населенностей (см.(2.13) и (2.28)), что эквивалентно рассмотрению двухуровневых систем. Отличие заключается в том, что в 3-х уровневой системе населенность нижнего уровня является конечной и изменяется в процессе перехода частиц. В 4-х уровневой среде населенность нижнего лазерного уровня равна нулю при малом времени жизни частиц на этом уровне.