458_METMAT

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

1. ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ.

1.1. Постановка задачи.

Лазерное излучение формируется в активной среде при вынужденных переходах между дискретными уровнями. Причем в таких средах, в которых населенность верхнего энергетического уровня выше, чем населенность нижнего. Такое состояние среды называется инверсией населенности. Поэтому для того, чтобы начать рассмотрение вопросов взаимодействия излучения со средой, имеющей инверсную населенность, необходимо определить какие переходы в среде существуют и найти связь между ними. Этот раздел является вводным и в нем рассматриваются следующие основополагающие вопросы:

1.Какие переходы возможны в квантово-механических системах,

2.Связь между коэффициентами, характеризующих переходы,

3.Предельные состояния двухуровневой системы,

4.Возможность усиления излучения при индуцированном переходе,

5.Ширина линии перехода.

1.2. Спонтанные и вынужденные переходы.

ãäå N1 è N2 - число частиц в единице объема с энергиями Å1 è Å2 (населенности уровней) [см-3],

g1 è g2 - кратности вырождения (статистические веса) данных уровней, показывающие число независимых состояний атомной системы, имеющих одну и ту же энергию,

kÁ =1,38×10-23 Äæ×Ê-1- постоянная Больцмана1.

В дальнейшем примем, что статистические веса уровней 1 и 2 равны между собой ( g 2 = g1 ). Из (1.1) следует, что при комнатной температуре в состоянии термодинамического равновесия населенность верхнего уровня N 2 меньше населенности нижнего N1 .

1 Произведение kÁ T ïðè Ò=300 К равно 4,14Ч10-21 Дж. На практике широко используется вне-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

Согласно Эйнштейну, переходы частиц из одного энергетического состояния в другое могут быть трех видов:

1)вынужденные переходы, индуцированные внешним электромагнитным полем,

2)спонтанные переходы из-за самопроизвольного распада верхнего энергетического уровня,

è

3)безызлучательные переходы.

Âпервом и втором случаях изменение энергии частицы происходит при излучении или поглощении фотона (кванта электромагнитного излучения). Безызлучательные переходы связаны с передачей энергии частицы при взаимодействии с другими частицами или с окружающей ее средой (передача энергии кристаллической решетки) в виде фонона (кванта ультразвуковых колебаний). К безызлучательным переходам мы вернемся позже в разделе 3. Сейчас мы будем рассматривать поведение уединенной (изолированной) частицы, характеризующейся излучательным обменом энергии. Ограничимся рассмотрением вынужденных и спонтанных переходов. В квантовой электронике индуцированные переходы отвечают за усиление электромагнитного излучения в активной среде усилителей и генераторов. Спонтанные переходы определяют начальное поле в генераторе, из которого рождается генерация, а в усилителях определяют минимальный уровень входного излучения (порог чувствительности). При отсутствии внешнего электромагнитного поля совместное действие спонтанных и безызлучательных переходов определяют распределение частиц по энергетическим уровням.

Согласно постулата Бора, резонансная частота перехода определяется разностью энергий

ãäå h=6,62×10-34 [Äæ×ñ] – постоянная Планка.

Для каждой частицы индуцированные переходы возможны как с нижнего уровня на верхний (индуцированное поглощение), так и с верхнего на нижний (индуцированное излучение). Согласно Эйнштейну, вероятности индуцированных переходов пропорциональны спектральной плотности энергии излучения ρν ([ДжЧсм-3×Ãö-1]). Спектральная плотность энер-

гии связана с интегральной величиной плотности энергии выражением

Мы рассматриваем переходы между дискретными уровнями, индуцированное поглощение и испускание для которых происходит с частотой ν 0 = ( E2 - E1 ) / h . Это излучение является монохроматичным и для него можно записать

Выражения для индуцированных переходов с первого на второй уровень и со второго уровня на первый равны соответственно

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

ãäå Â12 è Â21 – коэффициенты Эйнштейна для индуцированного поглощения и излучения со-

ответственно (порядок индексов 1 и 2 указывает направление перехода: 1®2 или 2®1) - [см3×Äæ-1×ñåê-2].

Коэффициенты Â12 è Â21 в (1.6) являются постоянными величинами. Необходимо отметить, что используемые в рассмотрении вероятности являются размерными величинами [сек-1] и определяют вероятность перехода частицы с одного уровня на другой в единицу времени.

Спонтанные переходы являются независимыми от внешнего поля и определяются только свойствами рассматриваемого ансамбля квантовых частиц. Обозначим этот переход с уровня 2 на уровень 1 как A21 . Вероятность спонтанного перехода A21 не зависит от времени, является величиной постоянной. Спонтанные переходы возникают из-за самопроизвольного распада частиц из возбужденного энергетического состояния, так как любая частица стремится занять состояние с минимальной энергией. Поэтому спонтанных переходов с нижнего уровня энергии на верхний не бывает.

Связь между вероятностями переходов. Вероятности спонтанного и индуцированных переходов между собой связанны. Эти связи Эйнштейн установил из условия термодинамического равновесия. Следуя ему, рассмотрим квантовый ансамбль частиц, помещенный в термостат с температурой Ò. Распределение частиц по уровням подчиняется распределению Больцмана (1.1). Так как ансамбль частиц находится в условиях термодинамического равновесия, т.е. внутренняя энергия остается неизменной, то общее число переходов в единицу времени сверху вниз должно быть равно числу переходов снизу вверх. Полное число переходов 2®1 определяется произведением населенности уровня Å2 на полную вероятность переходов, которая определяется совместным действием спонтанных A21 и вынужденных W21 переходов. Вынужденные переходы возникают под действием излучения со спектральной плотностью ρ , возникающего внутри термостата. Переходы 1®2 существуют только вынужденные

(W12 ), поэтому можно записать

или с учетом (1.3)

Так как ансамбль частиц находится в условия термодинамического равновесия, то подстановка в уравнение (1.8) соотношение (1.1) позволяет определить спектральную плотность излучения внутри термостата. Отсюда находим

Эйнштейн постулировал, что определенная таким образом спектральная плотность энергии излучения внутри термостата должна соответствовать плотности энергии излучения абсолютно черного тела. С другой стороны, согласно формуле Планка для черного тела спектральная плотность излучения равна

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

Из этих результатов следуют важные выводы:

1.Процессы индуцированного поглощения и излучения равновероятны.

2.Вероятности спонтанного и вынужденного излучений связаны между собой: там, где запре-

щены индуцированные переходы, там отсутствуют и спонтанные и наоборот.

3.Вероятность спонтанных переходов возрастает с частотой излучения ( ~ν3). Особенно их

роль велика в оптическом диапазоне.

Так как равновесное излучение от всего ансамбля частиц по отношению к каждой частице является внешним полем, то полученные соотношения между вероятностями будут справедливы при любом внешнем излучении.

1.3. Соотношение населенностей уровней.

Равновесное состояние в системе характеризуется соотношением населенностей уровней (1.1), которое поддерживается потоком излучения ρν (1.9). Это равновесное состояние

можно изменить, изменяя температуру или изменения величину ρν . Рассмотрим соотношение

населенностей уровней при изменении внешнего излучения. Из (1.8) следует, что под действием стационарного потока внешнего излучения соотношение между населенностями уровней будет равно

селенности второго уровня. При ρν >> A21 / B21 населенности уровней будут равны. Рассмотрим как изменяются населенности уровней при изменении внешних условий. В

частности, при изменении величины спектральной плотности энергии излучения ρν . Пусть в исходном равновесном состоянии плотность энергии излучения была равна ρν(1 ) . Увеличим скачком значение ρν до величины ρν( 2 ) . При новом значении ρν мы должны опять прийти к

равновесному состоянию, но уже с другим соотношением населенностей уровней (в соот-

ветствии с (1.3)). Нетрудно записать дифференциальное уравнение для изменения населенности каждого из уровней

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

Очевидно, что в силу сохранения числа частиц будет иметь место dN1 / dt = -dN 2 / dt . Равно-

N 2( 2 ) . При своем переходе частицы поглощали кванты энергии hν . Поэтому энергия после перехода в новое равновесное состояние в каждом см3 среды будет поглощена энергия hν(N 2( 2 ) - N 2(1 ) ). Следует отметить, что эта энергия запасена в среде в виде возбуждения состояния. Если через некоторое время значение ρν уменьшится до величины ρν(1 ) , òî ýòà ýíåð-

гия будет излучена частицами индуцировано и спонтанно. Решение (1.17) удовлетворяет и этому случаю.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

Итак, все переходные процессы происходят за конечное время. Можно принять, что переходные процессы заканчиваются, когда t / τ p > 5 . В решении (1.17) имеем Exp(- t / τ p )» 0 . В этом случае из (1.17)

что соответствует (1.13). Параметр τ p имеет размерность времени [ñåê] и характеризует вре-

мя установления состояния. Величина его зависит от соотношения вероятностей индуцированного и спонтанного переходов.

Важным результатом, следующим из (1.17) является то, что ни при каком значении ρν

невозможно получить состояние, при котором N 2 > N1 . Создать инверсную населенность можно только при использовании дополнительных (вспомогательных) уровней, через которые обеспечивается поступление частиц на верхний уровень рассматриваемой системы. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в разделе 2. С соотношение населенностей уровней связана температура среды. Состояние с инверсией населенности условно называют состоянием с отрицательной температурой, так как при (T<0) в соответствии с (1.1) будет выполняться соотношение N 2 > N1 .

1.4. Инверсия населенности, индуцированное излучение.

Рассмотрим гипотетический случай, когда каким-то способом создана инверсная населенность, то есть N 2 > N1 . Мы не будем сейчас затрагивать вопрос о том как это обеспечить. Рассмотрению этого будут посвящены разделы 2 и 3. Из (1.14) видно, что в этом случае оба слагаемых отрицательны. Как индуцированные, так и спонтанные переходы уменьшают населенность верхнего уровня. Если предположить, что ρν =0, то распад верхнего уровня происхо-

дит только спонтанно по экспоненциальному закону и τ p = 1 / A21 . Параметр τ p носит название времени жизни частиц на верхнем уровне. Наличие излучения ( ρν >0) приводит к тому, что распад происходит с большей скоростью, уменьшается τ p . Но что важно, в последнем случае

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

распад верхнего уровня определяется в основном спонтанным излучением. При увеличении Z (увеличении ρν ) преобладать начинают индуцированные переходы. Распад верхнего уровня

происходит с большей скоростью.

Необходимо отметить, что предел, к которому стремится населенность второго уровня, определяется величиной ρν . При стремлении ρν к бесконечности населенность второго уров-

ня стремится к 0,5. При стремлении ρν к нулю населенность второго уровня стремится к 0.

Из рассмотренного выше для нас важно, что с верхнего уровня извлекать запасенную на нем энергию можно индуцировано. Отличительной особенностью переходов является то, что спонтанные переходы всех частиц происходят независимо. Формируемый в результате переходов поток излучения распространяется во все стороны. Излучение является некогерентным. При индуцированных переходах, , как это было показано в работах Фабриканта, поток испускаемых квантов энергии, как электромагнитная волна, наследует свойства вызывающего эти переходы излучения по частоте, фазе и поляризации. Проходящая через слой среды волна на выходе этого слоя будет больше по амплитуде, то есть происходит ее усиление. Это то важное свойство, которое позволяет с использованием сред с инверсной населенностью получать усиление и генерацию излучения.

Рассмотрим изменение равновесного состояния с точки зрения изменения объемной плотности энергии. Нас будут интересовать только индуцированные переходы, характеризующие изменение возбуждающего среду излучения. Произведение числа частиц на вероятность перехода дает количество частиц, совершающих переход в единицу времени. Умножив его на энергию излучаемого (поглощаемого) кванта энергии, мы получаем изменение в единицу времени плотности энергии ρν . Дифференциальное уравнение для изменения ρν имеет

следующий вид

будет происходить увеличение плотности энергии, то есть излучение будет усиливаться. Таким образом для обеспечения усиления излучения в среде необходимым условием является условие N 2 > N1 .

Теперь нам необходимо определить такой важный параметр, как коэффициент усиления среды. Но перед этим мы рассмотрим вопрос о ширине линии.

1.5. Ширина линии перехода.

В этом разделе мы рассмотрим вопрос о спектральной ширине линии перехода. Этот вопрос важен с нескольких точек зрения. Ширина линии перехода определяет ширину спектра излучения и спектра поглощения. Выше мы говорили о том, что создать инверсную населенность можно с помощью дополнительного уровня. Переход на этот уровень является чисто поглощательным. Чем больше ширина спектра перехода поглощения, тем легче его возбуждать немонохроматичным излучением, имеющим большую ширину спектра излучения. На другом переходе организуется генерация излучения. Чем больше ширина спектра перехода генера-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

ции, тем меньше длительность излучения может быть получена в устройстве, если между всеми спектральными компонентами излучения установлены строго определенные фазовые соотношения.

Любые процессы, которые приводят к сокращению времени жизни частицы в возбужденном состоянии, уширяют линию перехода. Согласно фундаментальному соотношению неопределенности Гейзенберга точность определения энергетического уровня Å за время t не превосходит

Время жизни частиц в возбужденном состоянии является характеристикой временной неопределенности нахождения частицы на этом уровне. Поэтому размытость уровня (неопределенность энергии Å), в соответствии с (1.20), будет равна / τ p . В соответствии с

(1.2) это приводит к тому, что переход имеет конечную ширину спектра. То есть резонансные процессы могут происходить не на строго фиксированной частоте ν 0 = ( E2 - E1 ) / h .

В общем случаи время жизни частицы на верхнем уровне определяется спонтанными и безызлучательными переходами. В отсутствии релаксационных процессов время жизни τ p

наибольшее, определяется только спонтанным переходом (τ p = 1 / A21 ). Тогда этом ширина ли-

нии перехода имеет минимальную величину Δν0. Минимальная ширина линии получила название естественной ширины. Так как время жизни в возбужденном состоянии определяется только спонтанным излучением, вероятность которого равна À21, то естественная ширина линии равна

Если естественное уширение линии перехода в радиодиапазоне может составлять 10-100 Гц, то в оптическом диапазоне для хорошо разрешенных переходов она имеет существенную величину.

Наличие релаксационных процессов из-за взаимодействия частицы со средой существенно сокращает время жизни τ p в возбужденном состоянии. Например, взаимодействие

может наблюдаться между частицей и окружающими ее ионами решетки, при соударении частиц между собой в газе или жидкости и т.д.. Результатом релаксационных процессов является обмен энергиями между частицами и тепловым движением всей системы в целом. Устанавливаемое при этом время жизни частицы в возбужденном состоянии часто называют продольным временем релаксации и обозначают как Ò1.

При определенных видах взаимодействия внутренняя энергия может оставаться без изменения, но наблюдаться разрушения фазовых соотношений между излучаемыми квантами энергий. Время фазовой памяти часто называют временем поперечной релаксации и обозначают как Ò2. Во всех системах, где существует взаимодействие между частицами, Ò2 меньше Ò1, причем в большинстве случаев Ò2 много меньше Ò1. Так как время поперечной релаксации Ò2 является самым малым характерным временем, то оно и определяет ширину линии перехода νË

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

Квантовая электродинамика позволяет определить спектральное распределение спонтанного излучения. Соответствующие расчеты показывают, что контур линии спонтанного излучения имеет лоренцеву форму, форм-фактор которой записывается в виде

ковой величины g(ν0 ) .

Если оба уровня Å1 è Å2 являются уровнями возбужденного состояния, которые подтверждены самораспаду, то ширина линии перехода между 1®2 определяется суммарной скоростью

Таким образом, спонтанное излучение обладает спектральными свойствами и его интенсивность является частотно-зависимой. Соответственно и вероятность спонтанных переходов будет зависеть от частоты и можно ввести понятие спектральной плотности вероятности Wνñïîí , определяемую как

Так как вероятности спонтанных и вынужденных переходов между собой связаны (1.12), то и для индуцированного излучения вводится спектральная плотность вероятности Wν

Полная вероятность вынужденных переходов по всей ширине линии с учетом частотной зависимости внешнего излучения тогда определяется как

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Принципы квантовой электроники.

Определим вероятность индуцированных переходов для внешнего монохроматического излучения с частотой ν0, у которого спектральную плотность энергии описывается (1.4). Тогда с учетом (1.23) и (1.4) из (1.29) получаем

Последнее выражение показывает, что релаксационные процессы, приводящие к уширению линии (перехода) DνË , уменьшают вероятность индуцированных переходов.

Уширение линии перехода. Различают два типа уширения линии перехода. Если ширина линии определяется временем жизни частицы в возбужденном состоянии, то такое уширение называют однородным. В этом случае частицы квантового ансамбля находятся в одинаковых условиях, каждая частица излучает линию с шириной DνË и спектральной лоренцевой формой g (ν ) . Характер спектральной зависимости сохраняется и для резонансного поглощения.

Но существуют среды, когда взаимодействие частиц со средой по ансамблю различно. Наблюдаемая спектральная линия от всего ансамбля является бесструктурной суперпозицией многих неразрешенных однородно-уширенных линий с различными резонансными частотами. Форм-фактор такой линии не соответствует лоренцевой форме, имеет более сложную зависимость, а подобный тип уширения принято называть неоднородным.

Природа неоднородности уширения линий разнообразна. Для газовых сред неоднородность уширения вызвана разбросом тепловой скорости движения частиц νT . Частота излучения от двигающегося объекта воспринимается неподвижным наблюдателем со смещением (эффект Доплера), а этот сдвиг для разных частиц оказывается различным. Можно показать, что при распределении тепловой скорости υT по распределения Максвелла формфактор линии перехода имеет гауссову форму

ãäå DνD – ширина линии перехода из-за эффекта Доплера.

В газообразных средах ширина линии перехода определяется не только эффектом Доплера, но и столкновительными процессами. Столкновение частиц равновероятно по всему квантовому ансамблю, а величина вероятности определяет время жизни частицы на уровне. Равновероятность столкновений приводит к однородности уширения линии перехода с шириной DνË .

Экспериментально наблюдаемый тип уширения спектральной линии для газообразной среды определяется температурой и давлением. При малых давлениях и некоторой температуре эффект Доплера может быть определяющим ( DνD > DνË ), тогда уширение является неоднородным. При больших давлениях и той же самой температуре превалирует процесс столкновения ( DνD < DνË ).Отсюда в таких условиях тип уширения линии перехода газообразной среды становится однородным.

В твердых активных средах частота излучения получает сдвиг из-за внутрикристаллического электрического и магнитного полей (эффект Зеемана и эффект Штарка). В тех средах, где внутрикристаллические поля неоднородны по микрообъему, будет существовать не-