458_METMAT

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

2.3. Уравнение переноса для плотности мощности излучения.

Это уравнение дополняет уравнение для разности населенности уровней и вместе они образуют замкнутую систему уравнений, описывающую процесс накачки и распространения излучения через среду, имеющую инверсную населенность.

Вывод уравнений базируется на определении коэффициента поглощения β , как коэффициента, характеризующего потерю доли мощности на единицу длины среды. Абсолютные потери DI в среде на длине Dz равны (дифференциальный закон Бугера)

Коэффициент усиления k является отрицательными потерями. Поэтому (2.22) будет иметь вид

Это уравнение описывает процесс распространения стационарного излучения. Для нестационарных процессов в общем случае изменение потока мощности обусловлено как изменениями по длине, так и во времени. Изменение во времени можно учесть введением слагаемого вида

Тогда вместо (2.24) получим

Это уравнение соответствует потоку мощности, распространяющемуся вдоль оси z. Для потока, распространяющегося в противоположном направлении, в (2.26) изменяется знак

Одним из недостатков этого метода вывода уравнения является то, что здесь в явном виде не сформулированы все границы его применимости. Мы сформулируем их в разделе 2.8, на основании выводов полуклассических уравнений.

Заметим, что уравнения (2.26) и (2.27) являются линейными относительно параметра I( z, t ) и поэтому имеют один и тот же вид для I( z, t ) , определяемого различной физической

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

размерностью. Это может быть плотности мощности излучения ([Âò/ñì2]), плотность потока фотонов ([фотон/ñåê/ñì2]) èëè äð.

2.4. Полуклассические уравнения.

Полная система полуклассических уравнений описывает процесс изменения амплитуды и фазы волны лазерного излучения, амплитуды и фазы поляризованности среды и изменения инверсной населенности. Вывод этой полной системы уравнений начнем с вывода волнового уравнения.

Волновое уравнение. Процесс распространения электромагнитного излучения в изотропных средах описывается системой уравнений Максвелла

В большинстве своем активные элементы представляют собой диэлектрики (μ=1), в которых отсутствуют объемные заряды (ρ=0). Материальные уравнения имеют следующий вид

Введение тока проводимости в (2.32) преследует цель учета потерь в среде. Строго говоря, учет потерь в такой форме не соответствует действительной ситуации, когда потери обусловлены, например, наличием рассеяния на локальных микронеоднородностях. Но получающееся при выводе уравнение формально одинаково описывает наличие ослабления амплитуды излучения действием различных механизмов.

Наличие инверсной населенности в среде может быть учтено через нелинейную поляризованность среды

Первые два слагаемых в (2.37) описывают отклик среды, как линейной диэлектрической. Третье слагаемое Píåë учитывает, что отклик среды проявляется в действии перехода частиц с одного уровня на другой. Возьмем операцию rot от левой и правой частей первого уравнения (2.31) и подставим в него (2.32) и (2.38)

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

сред с нелинейной поляризованностью оно близко к нулю, и в силу малой нелинейности мы полагаем его равным нулю. Тогда из (2.39) с учетом (2.40) и (2.38) получаем

Это полное уравнение для мгновенного значения напряженности поля электромагнитной волны. Дополнить его необходимо уравнением для амплитуды поляризованности среды. Вывод этого уравнения будет сделан в следующем разделе. Уравнение (2.41) является основой для решения различных частных задач. Далее мы рассмотрим два частных случая и получим уравнения для амплитуды (огибающей) квазимонохроматического излучения бегущей волны, и для амплитуды поля в оптическом резонаторе. В подавляющем большинстве случаев задачи рассматриваются для плоской волны, для которой напряженность поля по поперечным координатам не меняется (ось z совпадает с направлением распространения излучения)

Для поперечной электромагнитной волны в изотропной среде в (2.41) можно перейти от век-

торных параметров E è Píåë к скалярным. Вместо (2.41) мы будем рассматривать уравнение

лучаем из (2.43) хорошо известное волновое уравнение Гельмгольца. Решению его удовлетворяют плоские монохроматичные волны, распространяющиеся в противоположном направлении. Уравнение плоской бегущей волны имеет следующий вид

В этом решении амплитуда поля Em не меняется в процессе распространения волны.

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

Уравнение для оптического резонатора. Подробно свойства открытых оптических резонаторов будут рассмотрены в разделе 13. На этом этапе нам необходимо знать только одно свойство, известное из курса линейной электродинамики - поле в резонаторе является суперпозицией двух встречно распространяющихся волн и представляет собой стоячую волну (нормальный тип колебаний). Решение для нормальных типов колебаний получается при рассмотрении поля в резонаторе с учетом краевых условий на стенках резонатора. Тангенциальная компонента поля обращается в нуль на поверхности резонатора. В рассматриваемом плосковолновом приближении нулю равно поле E . Полное решение для поля в резонаторе представляет собой бесконечный дискретный набор нормальных типов колебаний (собственных функций резонатора) Fn ( z) . Эти нормальные колебания образуют ортогональный базис, так как все типы колебаний ортогональны

Произвольное поле в резонаторе можно представить в виде разложения (суммы) по нормальным типам резонатора

Для заполненного линейной, однородной изотропной средой с диэлектрической проницаемостью e распределение поля по длине резонатора имеет вид

Необходимо отметить, что решение для резонатора, заполненного средой с нелинейностью, мы ищем при разложении поля в ряд по собственным функциям пустого резонатора. Принципиально возможность этого обеспечивается ортогональностью собственных функций. При этом предполагается, что коэффициенты разложения An (t) от продольной координаты z не зависят. В предположении малой нелинейности среды можно принять, что амплитуда поля в резонаторе слабо меняется по длине и не меняется в процессе развития генерации. Решение (2.43) будем искать в виде (2.54). Подставляя (2.54) в (2.43) с учетом (2.55) получаем

Здесь показатель преломления εn задается на частоте, соответствующей n-й моде резонато-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

Это уравнение описывает гармонический осциллятор, имеющий собственную частоту ωn , коэффициент затухания αn , возбуждаемый источником Pn .

2.5. Уравнения для поляризованности и инверсной населенности среды.

Полученные уравнения описывают изменение элементов матрицы плотности для одной частицы, имеющей два уровня. Активная среда характеризуется N Σ числом активных центров в одном кубическом сантиметре. Умножив N Σ íà ρ11 è ρ22 получим, соответственно, количество частиц, находящихся на первом и втором энергетическом уровне в одном ку-

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

2.6. Переход от полуклассических к балансным уравнениям.

Запишем еще раз полную систему уравнений для амплитуд поля, поляризованности

частот возбуждающего излучения с собственной частотой перехода происходит изменение разности фаз, как это следует из уравнения (2.79). При точном возбуждении среды на частоте

Усиление и генерация импульсного излучения в твердотельных лазерах.

Методы анализа процессов в лазерных системах.

Так как мы опустили в рассмотрении фазовые соотношения между взаимодействующими волнами (поляризованности среды и лазерного излучения), полагая, что оптимальная разность фаз автоматически обеспечивается в течении всего процесса, то в (2.87) и (2.88) целесообразно перейти от напряженности поля к плотности мощности излучения, так как именно этот параметр определяет скорость уменьшения инверсной населенности. Плотность мощности, определяемая на периоде волнового процесса, связана с напряженностью поля следующим выражением