Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tensor-Gotman

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Определение 5.14 Предел отношения

при s → 0 называется

производной

функции U =U (x, y, z)

в точке M (x, y, z)

по направлению вектора s

и обозначается

∂U

, то есть

∂s

lim

U =

∂U

(7.14)

s→0

∂s

Переходя к пределу в равенстве (6.14), получим

∂U

cosα +

∂U

cos β +

∂U

cos γ

(8.14)

∂s

∂ x

∂ y

∂ z

Замечание 1.14 Из формулы (8.14) видно, что, зная производные скалярной функции, можно найти производную по любому направлению s .

Замечание 2.14 В данном случае берутся частные производные, потому что они имеют разные значения в зависимости от направления.

Градиент

Определение 6.14 Дифференциальной векторной характеристикой скалярного поля является градиент,

который выражается формулой

gradU = ∂U i + ∂U j +			∂U k		(9.14)
	∂ x	∂ y	∂ z
Т е о р е м	а	1.14 Пусть дано		скалярное		поле
U =U (x, y, z)	и в этом скалярном поле определено
поле градиента		gradU .	Производная		∂U	по
					∂s
направлению	некоторого		вектора	s	равняется
проекции вектора gradU на вектор s (рис. 4.14) .

Рис. 4.14 Вектор градиента

U (x, y, z) = C

gradU

Рис. 4.14 К теореме 1.14

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим единичный вектор					so , соответствующий вектору s
so = i cosα + jcos β +k cosγ							(10.14)
Скалярное произведение gradU на so :
gradU so =	∂U	cosα +	∂U	cos β +	∂U	cosγ	(11.14)

	∂ x		∂ y		∂ z

Выражение, стоящее в правой части (11.14), является производной функции U по

вектору s . Отсюда

gradU so =	∂U	(12.14)
	∂s

Если обозначить угол между gradU и s как ϕ , то можно записать скалярное произведение в виде

gradU	so	cosϕ =	∂U	(13.14)

			∂s

Учитывая, что модуль единичного вектора равен единице, можно написать

gradU	cosϕ =	∂U	,	(14.14)

		∂s
				71

а отсюда видно,

что слева стоит проекция градиента функции U на вектор s , что и

требовалось доказать.

Замечание 3.14 Эта теорема устанавливает связь между производной по направлению и

градиентом скалярной функции U =U (x, y, z) .

Замечание

4.14

Если учесть, что нормаль к поверхности

F(x, y, z) = 0

(из курса

аналитической геометрии) имеет вид

∂ F i +

∂ F j +

∂ F k ,

N =

∂ x

∂ y

∂ z

то

легко

видеть,

что

градиент

gradU = ∂U i +

∂U j +

∂U k

является

вектором,

∂ x

∂ y

∂ z

направленным по нормали к поверхности равного уровня U (x, y, z) = C . (рис.4.14).

Векторное поле

Определение 7.14

Векторным полем называется

часть

пространства,

каждой точке

которого

соответствует

одно

значение

вектора

F(x, y, z) (рис. 5.14).

Определение

8.14.

Аналитически

векторное поле

можно описать в виде функции координат

F(x, y, z) = P(x, y, z) i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

(15.14)

или радиуса вектора

F(r) = P(r) i +Q(r) j + R(r) k

Замечание 5.14 Если скалярное поле определяется одной

функцией, то векторное поле определяют три функции

координат: P (x, y, z) ,Q (x, y, z) , R (x, y, z) .

Рис. 5.14 К заданию векторного

Определение

9.14.

Основными

характеристиками

поля

векторного

поля

являются

поток,

дивергенция,

циркуляция, ротор

Поток вектора

	Рассмотрим поле вектора F(r) , имеющего								F
	Рассмотрим поле вектора F(r) , имеющего
компоненты P(r),Q(r), R(r). . Примерами векторных
полей могут служить поле скоростей, поле ускорений,
силовое поле (рис. 6.14).
Определение 10.14. Потоком векторного поля через
поверхность называется поверхностный интеграл,
взятый от скалярного произведения						вектора поля			Рис. 6.14 Поток вектора F
F (r) на вектор нормали:									Рис. 6.14 Поток вектора F
				Π = ∫∫F n dσ = ∫∫Fn dσ
				Π = ∫∫F n dσ = ∫∫Fn dσ
	v			S		S
	v					(16.14)
						(16.14)			физический смысл
		n	Для	того,	чтобы представить		себе		физический смысл	этого
	S	n	выражения, рассмотрим рис. 7.14. Если векторное поле представляет
	S		собой поле скоростей жидкости v , и если построить параллелепипед,

	v	S	высота которого равна проекции вектора скорости на нормаль n к

			поверхности		S ,	а основание равно малому элементу площади
			поверхности		S ,	а основание равно малому элементу площади
	Рис. 7.14 Элемент		поверхности		S ,	через которую.	идёт поток вектора скорости, то
	потока		объём этого параллелепипеда равен объёму жидкости, протекающей
	потока		через	элемент		поверхности		S	в одну секунду и	равен
			через	элемент		поверхности		S	в одну секунду и	равен

V = v n S . Если взять интеграл по поверхности, то получим количество жидкости,

протекающей в секунду через эту поверхность.(расход)

Если обобщить этот интеграл на произвольное векторное поле F (r) , то получится

выражение (16.14)

Замечание 6.14 Если поверхность S замкнута и охватывает объём V, то количество жидкости, протекающей в секунду через поверхность S , равно суммарной мощности источников и стоков, находящихся в объёме V.

Определение 11.14 Пространственная область V , ограниченная двумя кусочно гладкими поверхностями Σ1 и Σ3 , заданными в виде

z1 = z1(x, y) и z3 = z3 (x, y)

(17.14)

ибоковой цилиндрической поверхностью Σ2 с

образующими, параллельными оси Oz , называются										« z −
цилиндрической областью» (рис. 8.14).
Поверхности	z1 = z1 (x, y)			и z3 = z3 (x, y)						-	это
криволинейные	основания	(нижнее				и		верхнее)		« z −
цилиндрической области».
Замечание 7.14	Аналогично		можно			построить				« x	-
цилиндрическую» и « у – цилиндрическую» области.
				∂ P		∂Q		∂ R
Рассмотрим в	интеграле				+		+			третье
		∫∫∫		∂ x		∂ y		∂ z	dV
		V

z Σ3

Σ2

n Σ1

x D

Рис. 8.14 К формуле Остроградского - Гаусса

слагаемое и преобразуем его к разности двойных интегралов, взятых по области D

	∂ R		Σ3		∂ R
	∂ R				∂ R
∫∫∫		dV = ∫∫		∫		dz dxdy = ∫∫[R(x, y, z3 (x, y)) − R(x, y, z1(x, y))]dxdy =
∫∫∫	∂ z	dV = ∫∫		∫	∂ z	dz dxdy = ∫∫[R(x, y, z3 (x, y)) − R(x, y, z1(x, y))]dxdy =
V	∂ z	S		Σ	∂ z		S	D
			D	1				D
= ∫∫R(x, y, z3 (x, y)) dxdy − ∫∫R(x, y, z1(x, y)) dxdy
SD							SD

Первый из полученных интегралов можно свести к поверхностному интегралу, взятому по верхней поверхности Σ3 с уравнением z = z3 (x, y) , а второй – по нижней поверхности

Σ3 с уравнением z = z1 (x, y) . Отсюда, с учётом направления внешней нормали к поверхностям Σ1 и Σ3 , можно записать

∫∫∫V ∂∂Rz dV = Σ∫∫3 R(x, y, z) dxdy + Σ∫∫1 R(x, y, z) dxdy

где первый интеграл берётся по верхней стороне поверхности Σ3 , а второй по нижней стороне поверхности Σ3 . Прибавим такой же интеграл по поверхности Σ2 . Этот интеграл равен нулю, так как нормаль перпендикулярна оси z , в направлении которой берётся интеграл, то есть ∫∫Σ2 R(x, y, z dxdy = 0 . Поэтому можно записать

∫∫∫V ∂∂Rz dV = Σ∫∫3 R(x, y, z) dxdy + Σ∫∫2 R(x, y, z) dxdy + Σ∫∫1 R(x, y, z) dxdy =

=∫∫R dxdy =∫∫R cos(n, z) dσ

ΣΣ

или

		∫∫∫		∂ R dV =			∫∫R cos(n, z) dσ
			V	∂ z			Σ
			V				Σ
Аналогично получаются интегралы
		∫∫∫		∂Q dV =			∫∫R cos(n, y) dσ,
			V	∂ y			Σ
			V				Σ
		∫∫∫		∂ P dV =			∫∫R cos(n, x) dσ
			V	∂ x			Σ
Отсюда можно записать
	∂ P			∂Q		∂ R
	∂ P		+	∂Q	+	∂ R			(18.14)
∫∫∫	∂ x		+	∂ y	+	∂ z	dV = ∫∫(P cosα +Q cos β + R cosγ )dS		(18.14)
V	∂ x			∂ y		∂ z		S

где F = P i +Q j+ R k , а n =i cosα + jcos β + k cosγ .

Это и есть формула Остроградского - Гаусса в координатной форме. Она связывает

тройной интеграл по замкнутой пространственной области с поверхностным интегралом, взятом по внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область.

Для вывода этого выражения в векторной форме введём понятие дивергенции векторного поля.

Замечание 8.14 Поток векторного поля является скалярной величиной.

Замечание 9.14 Если представить векторное поле как поле скоростей движущейся жидкости, то поток П выражает объём жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени. (расход).

Рис. 9.14 Источник и сток

Дивергенция

Определение 12.14 Дивергенцией векторного поля называется предел отношения потока П через замкнутую поверхность S к объёму V , ограниченного этой поверхностью, когда объём V стремится к нулю

∫∫F n dS

div F = lim S

V→0 V

(за V принимаем бесконечно малый объём ).

Т е о р е м а 2.14 Если F = P(x, y,z)i + Q(x, y,z)j + R(x, y,z)k - векторное поле,

определённое в области V и такое, что функции P,Q, R непрерывны в V вместе со всеми производными первого порядка, то div F существует во всех точках этой

области и в любой декартовой системе координат выражается формулой

div F =	∂ P	+	∂Q	+	∂ R	(19.14)
	∂ x		∂ y		∂ z

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (18.14), которую представим в виде

			∂ P		∂Q		∂ R
				+		+
Π = ∫∫F n dσ = ∫∫(P cosα +Q cos β + R cosγ )dS = ∫∫∫			∂ x		∂ y		∂ z	dV
S	S	V

Тогда

		∂ P		∂Q		∂ R
		∂ P	+	∂Q	+	∂ R
	∫∫∫	∂ x	+	∂ y	+	∂ z	dV
div F = lim	V	∂ x		∂ y		∂ z		.
div F = lim				V				.
V →0				V


Производная						в		правой части существует и равна производной			от интеграла
	∂ P		∂Q			∂ R
	∂ P	+	∂Q		+	∂ R
∫∫∫	∂ x	+	∂ y		+	∂ z		dV по объёму, которая по теореме о среднем для тройного интеграла
V	∂ x		∂ y			∂ z
		∂ P			∂Q			∂ R
		∂ P		+	∂Q		+	∂ R		V , где А – некоторая средняя точка в объёме V	При стягивании
равна		∂ x		+	∂ y		+	∂ z		V , где А – некоторая средняя точка в объёме V	При стягивании
		∂ x			∂ y			∂ z	A

объёма в точку получим, что div F = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz , что и требовалось доказать.

Замечание 10.14 В гамильтоновом обозначении дивергенция представляет собой

скалярное произведение

оператора

Гамильтона =

∂

i +

∂

j +

∂

на векторную

∂ x

∂ y

∂ z

функцию F

F = (

∂

i +

∂

j +

∂

k) (Pi + Qj + Rk) =

∂P

∂Q

∂R

= div F

(20.14)

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

Подставляя (19.14) в формулу (18.14) и учитывая (16.14), можно поток выразить через дивергенцию следующим образом:

Π = ∫∫∫div F dV = ∫∫F n dσ		(21.14)
V	Σ

Замечание 11.14 (21.14) - это формула Остроградского – Гаусса в векторном виде.

Замечание 12.14 Дивергенция векторного

поля F

является

дифференциальной

скалярной характеристикой векторного поля.

Расчётные формулы дивергенции имеют вид:

div F =

∂ P

∂Q

∂ R

или

F =

∂ P

∂Q

∂ R

(22.14)

∂ y

∂ z

∂ y

∂ z

∂ x

Замечание 13.14 Дивергенция выражает интенсивность источника (или стока) в точке

M (x, y, z) векторного поля (рис. 9.14).

Определение 13.14 Поток можно рассматривать как суммарную мощность источников и стоков, находящихся в данном объёме, ограниченном поверхностью S (формула 21.14) Таким образом, формула Остроградского – Гаусса имеет вид

∫∫∫div F dV = ∫∫F n dσ		(23.14)
V	S
Следствия из формулы Остроградского – Гаусса
В гамильтоновых обозначениях формула (23.14) имеет вид:
∫∫∫ a dτ = ∫∫n a dS		(24.14)

V S

Эта формула справедлива для случая векторного произведения (для ротора)

∫∫∫ ×a dτ = ∫∫n ×a dS

(25.14)

Вслучае скалярной функции ϕ эта формула имеет такую же форму

∫∫∫ ϕ dτ = ∫∫nϕ dS

(26.14)

V S

Из (24.14) и (25.14) следует, что формула (24.14) сохраняет свой вид для диадного произведения двух векторных функций

∫∫∫ (v;a) dτ = ∫∫n( v;a) dS		(27.14)
V	S

Формула (24.14) при применении к скалярному произведению двух векторных функций имеет вид:

∫∫n( a v) dS = ∫∫∫[a( v) + (v )a]dτ		(28.14)
S	V

Для лапласиана это соотношение преобразуется следующим образом:

∫∫∫ 2 ϕ dτ = ∫∫∫ ( ϕ ) dτ = ∫∫(n )ϕ dS = ∫∫

∂∂ϕn dS

(29.14)

Применительно к векторной функции получается формула

∫∫(n )a dS = ∫∫∫ 2 a dτ

(30.14)

Циркуляция вектора

В векторном поле а рассмотрим некоторую кривую М1М2 .(Рис.10.14) и разобьем её с

помощью

точек

r1,r2 ,...,rn

на

малые

участки

= ri

−ri −1 . Составим сумму произведений

∑ai ri ,

(31.14)

где

i =1

– значение вектора поля в какой-нибудь точке

участка

ri .

Если существует

предел

суммы

ri ri−1

Определение 14.14

∑ai

при

неограниченном

возрастании

числа

Рис. 10.14 К циркуляции

i =1

вектора

элементов

убывании

до

нуля

длины всех

элементов, то он называется криволинейным интегралом вдоль М1М2 и обозначается

	n	∫a dr =	∫a1dx1 + a2dx2 + a3dx3
lim	∑ai ri =	∫a dr =	∫a1dx1 + a2dx2 + a3dx3	(32.14)
n→∞ i =1		M1M 2	M1M 2

Здесь вектор dr направлен в каждой точке кривой М1М2 по касательной, и его модуль равен дифференциалу дуги кривой:

dr = dx2	+ dx2	+ dx2	= dL	(33.14)
1	2	3

Определение 15.14 Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора а по контуру L и обозначается в виде

Γ = ∫a dL	(34.14)
L

Здесь dL - направленный элемент контура, который равен dL = t dL ( t - орт касательной к

контуру, dL - дифференциал длины дуги контура). Замечание 14.14 Если а – сила, то циркуляция представляет собой работу этой силы при движении по контуру.

	x2	x2	=ϕ2 (x1 )
		x2	=ϕ2 (x1 )
			β
		А	σ	В
		А	α
			α
О		x2	= ϕ1	(x1 )	x1
О		a		b	x1
		a		b

Рис. 11.14 К теореме Грина

Теорема Грина

Пусть задано векторное поле

F (x1, x2 , x3 ) = P(x1, x2 , x3 ) +Q(x1, x2 , x3 ) + R(x1, x2 , x3 )

(35.14)

и заданы

∂ P

;

∂ P

;

∂Q

;

∂Q

;

∂ R

;

∂ R

∂ x

Т е

р е

3.14

Пусть

на

плоскости заданы непрерывные

функции

P(x , x

),Q(x , x

)

и их производные

∂ P

∂Q

. Тогда справедлива формула

∂ x3

∂ x1

∂Q

∂ P

−

(36.14)

∫∫

∂ x

dσ = ∫Pdx1 + Qdx2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Двойной интеграл может быть представлен в виде двукратного интеграла. Для примера рассмотрим интеграл (рис. 11.14)

dx1dx2 = ∫b dx1

( x )

∫∫

∂ P

dσ = ∫∫

∂ P

2∫

∂ P

dx2 =

∂ x2

ϕ1( x1)

= ∫b [P(x1 ,ϕ2 (x1 )) − P(x1 ,ϕ1 (x1 ))]dx1 =

∫P(x1 , x2 )dx1 −

∫P(x1 , x2 )dx1

AαB

AβB

Меняя в первом интеграле направление интегрирования, получим

∫∫∂∂xP2

dσ = − ∫P(x1 , x2 )dx1 −

∫P(x1 , x2 )dx1 = −∫P(x1 , x2 ) dx1

(37.14)

BαA

AβB

Аналогично получается

∫∫∂∂xQ dσ = ∫Q dl

(38.14)

Вычитая из (38.14) равенство (37.14), получим формулу Грина

∂Q

∂ P

∫Pdx1 + Qdx2

(39.14)

∫∫

∂ x

− ∂ x

dσ =

Теорема Стокса

∂ P

∂Q

Т е о р е м а 4.14 Если функции

P(x

, x

),Q(x

, x

), R(x , x

, x

) и

∂ x2

∂ x3

∂ x1

∂Q

∂ R

непрерывны на поверхности

и на замкнутом контуре

L , который

∂ x

является границей S , то

∫∫

∂ R

∂Q

∂ P

∂ R

−

∂ x

cos(n, x1 ) +

∂ x

− ∂ x

cos(n, x2 ) +

(40.14)

∂Q

∂

−

∂ x1

cos(n, x3 ) dS = ∫Pdx1 +Qdx2 + Rdx3

∂ x2

где n - орт нормали к поверхности S .

Поверхность S считается двусторонней, а положительное направление нормали n на ней связано с направлением обхода контура L .

Определение 16.14 Положительный обход контура L выбирается так, чтобы поверхность всегда оставалась слева для наблюдателя, обходящего контур так, что положительный орт n в точках у контура L направлен от ног к голове наблюдателя.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы Стокса основано на теореме Грина (которая относится к плоскости).

За положительный обход контура L принимается направление против часовой стрелки. В этом случае орт n составляет с осью x3 острый угол. Тогда

dσ12 = dS cos(n, x3 ) при cos(n, x3 ) > 0

Преобразуем интеграл

∫P(x1 , x2 , x3 ) dx1 ,

используя тот факт, что контур L принадлежит поверхности S , уравнение которой может быть записано в виде x3 = f (x1, x2 ) . Отсюда при переходе от пространственного

контура интегрирования L к плоскому l подынтегральная функция может быть записана в виде P[x1, x2 , f (x1, x2 )] . Эта функция содержит только две координаты x1, x2 , которые

для переменной точки на контуре L имеют те же значения, что и в соответствующей точке на контуре l . Таким образом, получается равенство

∫P(x1, x2 , x3 ) dx1 = ∫P[x1, x2 , f (x1, x2 )] dx1 .

Применяя к этому интегралу формулу Грина, получим

∫P[x1, x2 , f (x1, x2 )]dx1 =

= − ∫∫

∂ P[x1

, x2 ,

f (x1, x2 )] +

∂ P[x1, x2 , f (x1, x2 )] ∂ f

(41.14)

dσ12

σ12

∂x2

∂ f

∂x2

= − ∫∫

∂ P[x1

, x2 , f (x1, x2 )] +

∂ P[x1, x2 , f (x1, x2 )] ∂ f

cos(n, x3 )dS

σ12

∂x2

∂ f

∂x2

Косинусы углов, которые составляет внешняя нормаль n к поверхности x3

= f (x1, x2 )

с координатными осями, имеют выражения

cos(n, x1) = ±

1 + p2 + q2

σ23

cos(n, x2 ) =

(42.14)

1 + p2 + q2

cos(n, x3 ) =

1+ p2 + q2

где p =

∂ f

, q =

∂ f

=1.

σ12

∂ x

cos(n, x2 ) на

Если умножить в этих формулах

cos(n, x3 ) и cos(n, x3 ) - на cos(n, x2 )

и приравнять

Рис. 12.14 К выводу формулы

правые части равенств

Стокса

	∂ f		cos(n, x3 )
			cos(n, x3 )
cos(n, x2 ) cos(n, x3 ) =	∂ x2			и cos(n, x3 ) cos(n, x2 ) =
cos(n, x2 ) cos(n, x3 ) =	±	1 + p2 + q2		и cos(n, x3 ) cos(n, x2 ) =
	±	1 + p2 + q2

то с учётом направления касательных к проекциям контура координатные плоскости (рис. 12.14) получим равенство

∂∂xf3 cos(n, x3 ) = −cos(n, x2 )

Тогда формула (41.14) примет вид

∫P dx1		∂ P cos(n, x3 ) −
	= −∫∫		∂ P cos(n, x2 ) dS .
L	S	∂x2	∂x3

cos(n, x2 ) ,

± 1 + p2 + q2

L на соответствующие

(43.14)

(44.14)

Аналогично получаются интегралы

		∂Q		cos(n, x1) −	∂Q
∫Q dx2 = −∫∫		∂x		cos(n, x1) −	∂x		cos(n, x3 ) dS ,	(45.14)
L	S		3			1
		∂ R		cos(n, x2 ) −	∂ R
∫R dx3 = −∫∫		∂x		cos(n, x2 ) −	∂x		cos(n, x1) dS .	(46.14)
L	S	1				2

Складывая эти формулы, получим формулу Стокса (40.14)

∂ R

∂Q

∂ P

∂ R

−

∫Pdx1 + Qdx2 + Rdx3 = ∫∫

∂ x

cos(n, x1) +

∂ x

cos(n, x2 ) +

∂Q

∂ P

−

∂ x

cos(n, x3 ) dS

Ротор

Для представления формулы Стокса в векторном виде необходимо ввести понятие ротора. Ротор векторного поля F равен векторному произведению оператора Гамильтона

на F , то есть, rot F = ×F .

	i	j
rot F =	∂	∂
rot F =	∂x	∂x	2
	∂x	∂x
	1
	P	Q

∂

∂x3

∂ R

∂Q

∂ P

∂ R

∂Q

∂ P

−

(47.14)

∂ x

i +

j +

Единичный вектор нормали имеет вид

n = i cos(n, x1) + jcos(n, x2 ) +k cos(n, x3 )

Легко видеть, что произведение

∂ R

∂Q

∂ P

∂ R

∂Q

∂ P

−

∂ x

rot F n =

cos(n, x1) +

cos(n, x2 ) +

Тогда получается формула Стокса в векторной форме

∫F dl = ∫∫rot F n dS ,

(48.14)

cos(n, x3 )

(49.14)

(50.14)

L S

т.е. циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектор через любую поверхность, на которой может лежать этот контур.

Следствия из теоремы Стокса

Формулу (44.14) можно применить не только к векторной, но и к скалярной функции. В этом случае она имеет вид:

∫ϕ dl = ∫∫(n × )ϕ dS

(51.14)

Вслучае векторного произведения вектора дифференциала длины дуги d l на вектор a

формула Стокса имеет вид:

∫dl ×a = ∫∫(n × ) a dS = −∫∫n( a ) dS + ∫∫( ;a )n dS

L	S		S	S
или, если учесть, что диадное произведение ( ;a )n = (n )a , получим равенство
	∫dl ×a = −∫∫n( a ) dS + ∫∫(n )a dS				(52.14)
	L	S		S

Тензорное поле

Определение 17.14. Говорят, что задано тензорное поле, если каждой точке пространства x и каждому моменту времени t сопоставлен тензор Т( r , t ) , где радиус -

вектор r меняется в заданной области пространства, а t				- в заданном интервале времени.
Частными случаями	тензорных	полей	являются	скалярные	или векторные поля
ϕ = ϕ(r) или a = a(r) .
Примеры скалярных	полей: 1)	поле	давления	p = p(r) ,	2) поле температуры

T = T (r) , 3) плотность ρ = ρ(r) .

Примеры векторных полей: 1) поле скорости v = v(r) , 2) поле ускорений w = w(r) Пример тензорного поля – напряжённое состояние среды pik = pik (r)

Определение 18.14 Тензорное поле называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты Т(x,t) являются непрерывными (или

дифференцируемыми) функциями x(x1, x2 , x3 ) и t .

Определение 19.14 Если компоненты тензора зависят только от x , то тензорное поле называется стационарным.

Определение 20.14 Тензорным полем n -го ранга Ti1i2 ...in (x1, x2 , x3 ) называется

совокупность 3n функций, которые в любой точке пространства (x1, x2 , x3 ) образуют

тензор n -го ранга.

1) Случай n = 0 даёт скалярное поле, то есть скалярную функцию координат Φ(r)

Примером скалярного поля служит поле точечного электрического заряда Φ(r) = e r Величина

		n	1 2
r	=	∑xi2		(53.14)

	i =1

- скаляр, поэтому функция Φ(r) инвариантна относительно вращения.

2) Случай n =1: векторное поле a(r) - векторная функция векторного аргумента.

Примером может служить электрическое поле точечного заряда E = r e r 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.20161.17 Mб53tau_dlya_chainikov.pdf
#
21.08.20191.28 Mб26td1.doc
#
21.04.2015943.1 Кб30td11.doc
#
18.09.2019273.41 Кб0tema4_1a.doc
#
22.08.2019451.02 Кб3Tema_1_2.docx
#
09.02.20151.52 Mб55Tensor-Gotman.pdf
#
10.02.201517.73 Mб44teopiya_tanka_sergeev.djvu
#
15.04.20195.54 Mб1teoria ответы.doc
#
23.09.201924.91 Mб6teoria-ilyukhina.docx
#
10.02.20153.26 Mб21teoria.pdf
#
10.02.20151.77 Mб7teoria_na_bilety_2013.pdf