Tensor-Gotman

Каждый тензор второго ранга можно представить в подобном виде, то есть, в виде трёх векторов или записать его как сумму трёх диад (диадика)

Это получается следующим образом: пусть матрица – столбец ортов и матрица – строка имеют вид

потому что произведение тензора на столбец ортов справа получается в виде

Если умножить матрицу-столбец (14.11) слева на E , получим исходный тензор

Умножение тензора Т скалярно на вектор а даёт выражение нового вектора a' a' = T a = e1 (t1 a) + e2 (t2 a) + e3 (t3 a) =

+ e3 (t31a1 + t32a2 +t33a3 )

Произведение тензора Т на вектор а с последующим свёртыванием

Определение 4.11 Скалярным произведением тензора Т на вектор а называется вектор a' , составляющие которого линейным образом выражаются через составляющие вектора а, причём коэффициентами являются компоненты тензора Т.

Замечание 6.11 Вектор a' = T a называется линейной векторной функцией вектора а.

Рассмотрим произведение, в котором производится свёртывание по первому индексу тензора Τik Ai . Это получается при умножении сопряженного (транспонированного)

тензора

51

t11 t21 t31 Tc = Tik = t12 t22 t32 t13 t23 t33

Замечание 7.11 Из получения произведений тензора Т на вектор а видно, что можно использовать исходный и сопряжённый тензор для получения одного и того же выражения, поэтому справедливо равенство

Свёртывание по второму индексу произведения тензора Т на вектор а

Для этого тензор Т умножается на вектор а справа

= e1 (t11a1 + t12a2 + t13a3 ) + e2 (t21a1 + t22a2 + t23a3 ) +e3 (t31a1 + t32a2 + t33a3 )

Пример 2.11 Найти произведение aij x j тензора второго ранга aij , матрица которого в некотором базисе равна

и тензора первого ранга xi (вектора), который в том же базисе имеет компоненты

(xi ) = ( 2 1 4 ),.

Решение.

52

a1 j x j = a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = 2 2 + 0 1 + 3 4 =16 a2 j x j = a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = 5 2 +1 1 + 2 4 =19 a3 j x j = a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = 4 2 +5 1 + 7 4 = 41

основных ортов i1, i2 i3 .

Для получения геометрической интерпретации ограничимся случаем двумерного пространства.

a = i1a1 + i2a2

a' = a1 t1 + a2 t2

Построим на взаимно перпендикулярных ортах i1 и i2 квадратную решётку из

растяжимых прутьев, соединённых шарнирами, как показано на рисунке 1.11. Теперь растянем стержни и повернём так, чтобы квадраты перешли в параллелограммы, как показано на рис.2.11. Тогда вектор а перейдет в новый вектор a’.

Пусть Aik и Bik - компоненты двух тензоров второго ранга. Их произведение будет иметь компоненты

Числа Ciklm образуют тензор 4 –го ранга. Д о к а з а т е л ь с т в о:

53

причём вообще вектор pn не параллелен орту n , то есть, на каждой площадке есть как

нормальные, так и касательные напряжения.

Интерес представляют такие площадки, на которых есть только нормальные напряжения, а касательные равны нулю. Для этих площадок

pn || n или λn = pn = pi ni

Тогда ориентация этих площадок, которую дают орты n , определится из системы уравнений

Задача 2.12 Если диэлектрические свойства среды определяются тензором Tik , то

возникает вопрос, как следует направить электрическое поле Е, чтобы электрическая индукция D была направлена по вектору напряжённости Е?

Общий вид зависимости D и Е имеет линейный характер

(собственными) направлениями тензора Tik .

Определение 2.12 Оси главных направлений называются главными осями тензора. Определение 3.12 Значения компонент тензора в координатной системе главных осей называются главными значениями.

Определение главных направлений и главных значений тензора Tik

Согласно (7.12) компоненты вектора А, определяющие оси тензора Tik , удовлетворяют системе трёх уравнений:

отличное от нуля, или, нетривиальное решение этой системы. Однородная система уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, когда её определитель равен нулю. Таким образом, для определения главных значений имеется уравнение

Уравнение (10.12) представляет собой кубическое уравнение относительно λ .

Определение 4.12 Уравнение (10.12) называется характеристическим уравнением

тензора Tik .

55

Замечание 1.12 Корни кубического уравнения (10.12) в общем случае могут быть не все действительными, и тогда из этого уравнения нельзя найти главные направления тензора Tik .

Замечание 2.12 При отнесении тензора к системам обобщённых координат можно использовать его любые компоненты для определения его главных направлений и значений.

Например, если известны ковариантные компоненты тензора Tik , то уравнение, определяющее собственные векторы А , имеет вид:

Тогда для определения собственных значений тензора получаем характеристическое уравнение вида

Замечание 3.12 Обычно рассматриваются только симметричные тензоры, потому что у них корни характеристических уравнений всегда действительные.

Остановимся на рассмотрении симметричных тензоров второго ранга, отнесённых к прямоугольным декартовым системам координат, так что Ti k = Tk i . В этом случае все

корни λ1 , λ2 , λ3 характеристического уравнения (13.12) вещественные

(действительные).

Действительно, пусть λ - какой-нибудь из корней уравнения (13.12) и пусть ему отвечают в силу системы уравнений (9.12) какие-то величины Ai , вообще комплексные.

Тогда умножив каждое (i =1,2,3) из тождеств

на величины Ai , комплексно сопряжённые с Ai , и просуммировав по i , получим

56

Отсюда видно, что сумма Tik Ak Ai вещественна, так как все Ti k вещественны и выражение в скобках вещественно. Вспомним, что произведение комплексного числа на сопряжённое

предыдущему получим вещественность характеристического уравнения (13.12).

Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга

В дальнейшем будут рассмотрены только симметричные тензоры с действительными компонентами. Это несколько проще в математическом отношении, так как тензоры, важные для механики сплошной среды, обычно симметричны, то жертвуя немногим, целесообразно принять такое ограничение.

Для каждого симметричного тензора Ti j , заданного в некоторой точке пространства, и для каждого направления в этой точке (характеризуемого единичным вектором ni ) существует вектор, определяемый внутренним произведением (см. определение 6.11)

Здесь Ti j можно рассматривать как линейный векторный оператор, который ставит в

которое представляет систему трёх уравнений для четырёх неизвестных ni и λ ,

соответствующих каждому главному направлению. В развёрнутой записи система, которую следует решить, имеет вид

T31 n1 + T32 n2 + (T33 − λ) n3 = 0

Это однородная система уравнений, поэтому при любом λ существует тривиальное решение ni = 0 , но наша цель состоит в том, чтобы получить нетривиальное решение, то есть отличное от нуля. Кроме того, не теряя общности, можно ограничится только

(19.12) или, что то же самое (20.12), имела нетривиальное решение, определитель из коэффициентов должен быть равен нулю, что можно записать так:

57

называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора Ti j . Три корня кубического уравнения (20.12), обозначенные λ1 , λ2 , λ3 , называются главными значениями тензора Ti j . У симметричного тензора с действительными компонентами

главные значения действительны; если все они различны, то три главных направления взаимно ортогональны. В главных осях таблица из компонент тензора приводится к диагональной форме

Замечание 4.12 Если λ1 = λ2 , то диагональный вид тензора не зависит от выбора осей, соответствующих λ1 и λ2 , и нужно установить только главную ось, соответствующую

λ3 .

Замечание 5.12 Если все главные значения равны, то любое направление является

главным.