Tensor-Gotman
.pdfЗамечание 1.13 В декартовых координатах (и только в декартовых координатах)
векторный базис одинаков для всех точек пространства, поэтому для любого базисного вектора d il = 0 .
В системе обобщённых координат векторный базис ( e1, e2 , e3 ) является локальным, так что каждый базисный вектор является вектор – функцией обобщённых координат x1 , x2 , x3 , то есть, векторы основного и взаимного базиса имеют вид
ei = ei (x1, x2 , x3 ); |
ei |
= ei (x1, x2 , x3 ) |
(2.13) |
|||||||||
Отсюда получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da = d (al e |
l |
|
l |
dal |
+ al de |
l |
|
|
||||
|
) = e |
|
, |
(3.13) |
||||||||
l |
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
el ) = el da |
+ a |
|
|
|
|
|||||||
da = d (a |
|
|
del . |
|
Таким образом, абсолютный дифференциал вектора, кроме части, отражающей изменение компонент вектора при переходе от точки к точке, содержит ещё часть
al del , al del , связанную с тем, что базис введённой системы координат также меняется от
точки к точке.
Ковариантная производная вектора
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
∂a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
d a = |
|
d xk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то на основании (20.13) частная производная вектора а |
по обобщённой координате |
xk |
||||||||||||||||||||||
должна иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
∂el |
|
|
∂al |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂a |
= |
∂al |
e |
l |
+al |
|
= |
el +a |
l |
∂el |
|
|
|
|
|
(5.13) |
|
||||||
|
∂ xk |
∂ xk |
|
∂ xk |
∂ xk |
|
∂ xk |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение 1.13 Компоненты (ко- и контравариантные) этих векторов |
|
∂a |
( k =1,2,3) |
|||||||||||||||||||||
|
∂ xk |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
образуют девять величин, совокупность которых |
называют ковариантной (абсолютной) |
|||||||||||||||||||||||
производной (ковариантного или контравариантного) вектора.. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для совокупности ковариантных компонент |
вектора |
|
∂a |
вводят |
обозначения |
(с |
||||||||||||||||||
∂ xk |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точкой с запятой) |
|
|
|
|
∂a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ei ≡ ai ; k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которые называют ковариантной производной ковариантного вектора. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Совокупность контравариантных компонент векторов |
|
∂a |
обозначают через ai |
; k , |
||||||||||||||||||||
∂ xk |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∂a |
|
e i ≡ ai; k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.13) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и называют ковариантной производной контравариантного вектора. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Замечание 2.13 В дальнейшем будет показано, что ai; k |
и ai ; k |
являются компонентами |
||||||||||||||||||||||
тензора 2 – го ранга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Символы дифференцирования в тензорном исчислении.
Символы Кристоффеля 2-го рода Гij k
Найдём явное выражение ковариантных производных
поля.
В соответствии с определением из (6.13) получим
ai; k |
= |
|
∂a |
|
ei |
= |
∂ai |
+ a j |
∂e j |
ei , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂ xk |
∂ xk |
∂ xk |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂a |
e i = ∂a i |
|
|
∂e j |
|
|
||||||
ai ; k = |
+ a j |
e i . |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
∂ xk |
|
|
∂ xk |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через компоненты векторного
(8.13)
Учитывая. что компоненты gi. j = ei e j |
либо равны нулю, либо единице, получим |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
(ei |
e j ) = 0 |
|
|
|
|
|
(9.13) |
|||||||||||||||||
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(как производные константы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
|
|
∂e i |
|
||||||
Отсюда из (9.13), дифференцируя, получают ei |
+e j |
= 0 , а отсюда |
|||||||||||||||||||||||||
∂ xk |
∂ xk |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ei |
|
∂e |
j |
|
= −e j |
|
∂e i |
|
|
|
|
|
(10.13) |
||||||||||||||
|
∂ xk |
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вводится обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Гi |
=ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.13) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
j k |
|
|
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 2.13 Величины Гi |
|
=ei |
|
∂e j |
|
(их всего 27 |
в трёхмерном пространстве) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
носят название символов Кристоффеля 2 – го рода. |
Гij k |
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда в силу (10.13) и (11.13) формулы (8.13) принимают вид |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ai |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||||
ai; k |
= |
|
|
|
|
|
|
|
− a j Гi k |
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
∂ xk |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂a i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
i |
;k |
= |
|
+ a |
j |
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂ xk |
|
Г j k |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этих формул следует, что абсолютная (ковариантная) производная векторного поля учитывает не только скорость изменения самого поля, как такового при перемещении
вдоль координатных линий (члены |
∂a |
i |
, |
∂a i |
), но также и скорость изменения |
|
∂ xk |
∂ xk |
|||||
|
|
|
локального базиса (вторые члены в (12.13)).
Замечание 3.13. Если локальный базис не меняется от точки к точке (декартовы системы координат), то из (12.13) следует, что все символы Кристоффеля второго рода
равны нулю. В этом случае ковариантные производные обращаются в наборы частных производных компонент по координатам.
62
Замечание 4.13. Таким образом, слагаемые − a j Гijk и + a j Гij k обязаны своим
происхождением исключительно введением местного подвижного координатного базиса. Поэтому символы Кристоффеля должны выражаться через производные от
компонент метрического тензора ( e j ek |
|
= g jk , |
|
gij |
= ei e j , |
e j ek |
= δkj ). |
Их явное |
|||||||||||||||||||||||
выражение получается так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ei Гi |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.13) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Замечание 5.13 Таким |
образом, |
символы |
Кристоффеля |
2 – |
го рода Гij k |
являются |
|||||||||||||||||||||||||
коэффициентами разложения векторов |
∂e j |
по векторам основного базиса. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∂ xk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Символы Кристоффеля 1-го рода Гi, j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Замечание 6.13 Символы Кристоффеля 1-го рода |
Гi, j k являются коэффициентами |
||||||||||||||||||||||||||||||
разложения векторов |
∂e j |
по векторам взаимного базиса, то есть |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∂ xk |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
e i Гi, j k |
= |
∂e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.13) |
||||||||||
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из (14.13) получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Гi, j k |
= e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Связь между символами Кристоффеля 1-го и 2 –го рода |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Эта связь получается в виде |
|
= gi l Гl |
|
|
|
и Гl |
|
|
= g i l Гl, j k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Гi, j k |
j k |
j k |
|
|
|
|
|
(16.13) |
|||||||||||||||||||||
(Здесь использовано правило поднятия и опускания индексов) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Определение 3.13 Величины Гi, j k = e |
|
|
∂e j |
|
(их всего 27 в трёхмерном пространстве) |
||||||||||||||||||||||||||
i ∂ xk |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
носят название символов Кристоффеля 1 – го рода. |
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|||||||||||||||||||||||
Замечание 7.13 В силу |
того, |
что векторы локального базиса равны |
ei = |
, легко |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂qi |
|||
получить |
|
∂e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
∂ ∂r |
|
= |
|
∂ ∂r |
= |
∂e |
k |
|
|
|
|
(17.13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂ xk |
∂ xk ∂ x j |
∂ x j ∂ xk |
∂ x j |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определений (11.13) и (15.13) следует, что символы Кристоффеля ! –го рода
симметричны по двум нижним индексам (у Γi, j k |
эти индексы отделены запятой), то есть |
||
Гi, j k = Гi,k j : |
Гl |
j k = Гl k j |
(18.13) |
Тогда, учитывая симметрию Гi, j k по j и k |
и из свойства (17.13), |
получают |
63
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Г |
i, j k |
= e |
i |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e |
i |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
i |
e |
j |
) + |
|
|
|
|
|
|
|
(e |
i |
|
e |
k |
) −e |
j |
|
|
|
|
|
|
−e |
k |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
∂ gi j |
|
|
∂ gi k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂e j |
|
|
|
1 |
∂ gi j |
|
|
∂ gi k |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
−e |
j |
|
|
|
|
|
|
|
−e |
k |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
(e |
k |
e |
j |
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
j |
|
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
∂ x |
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
2 |
|
∂ x |
|
|
|
|
∂ x |
|
∂ x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Таким образом, окончательно получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∂ gi j |
|
|
|
|
∂ gi k |
|
|
|
∂ gk j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
i, j k |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= Г |
i,k j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19.13) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∂ x |
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
∂ x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гij k |
|
|
= g i l Гl, j k |
|
= Гik j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.13) |
Замечание 8.13 Символы Кристоффеля 1 –го рода не являются тензорами.
Это следует из закона преобразования символов Кристоффеля при изменении
пространственной системы координат (в системе обобщённых координат |
∂ xk |
= αik' ): |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x'l |
|
Г'i, j k = e'i |
∂e' j |
= αil'el |
|
|
∂ |
|
|
|
|
(enαnj' )∂ xm |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
∂ xm |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂ x'k |
|
|
|
|
|
|
|
∂ x' k |
|
|
|
|||||||||||
= αlαmαn e |
l |
∂en |
+αlαm |
(e |
l |
e |
n |
) |
∂αnj' |
= |
|
|
(21.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
i' k' |
j' |
∂ xm |
i' |
k' |
|
|
|
|
|
|
|
∂ xm |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂αn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= αil'αkm'αnj'Гl,n m +αil'αkm' |
|
|
|
|
|
j' |
gl n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂α n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Г'ij k = αli'αkm' αnj'Гln m +αni'αkm' |
|
|
|
|
|
j' |
|
|
|
|
|
|
(22.13) |
|||||||||||
∂ xm |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что символы Кристоффеля 2 –го рода тоже не являются тензорами.
Замечание 9.13 Ковариантные производные вектора являются компонентами тензора второго рода.
Действительно, учитывая (22.13)1
1 Здесь было использовано соотношение α j' |
∂αnj' |
= −α n |
∂αrj' |
, которое получается при |
|
∂ xm |
|||||
r |
j' |
∂ xm |
|
дифференцировании выражения αrj'αnj' = grn (см. Метрический тензор).
64
|
|
|
|
|
|
∂b' |
|
−b'j Гi' jk = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b'i ; k |
= |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∂ x'k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
l |
|
|
∂ x |
m |
|
r |
|
|
|
j' |
m l n |
|
j' |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m ∂αi' |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
(αi'bl ) |
|
|
k |
−α j'br |
αn αk'αi'Гl m |
+αn αk' |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∂ x |
m |
∂ x' |
|
∂ x |
m |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
l m ∂bl |
|
|
|
m ∂αil' |
|
|
|
r |
j' |
m l n |
|
|
r |
|
|
|
|
j' m |
|
∂αin' |
|
|
|||||||||||||
= |
αi'αk' |
|
|
|
|
+ blαk' |
|
|
|
|
−α j |
'brαn αk' αi' |
Гl m |
− |
α j'brαn αk ' |
|
|
|
= |
(23.13) |
|||||||||||||||||
|
∂ xm |
∂ xm |
|
|
|
∂ xm |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
l m ∂bl |
|
|
|
m ∂αil' |
|
|
|
r |
j' |
m l n |
|
|
|
|
m ∂αin' |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= αi'αk' |
|
|
|
|
+ blαk' |
|
|
|
|
−α j'brαn αk' αi' |
Гl m |
−bnαk ' |
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂ xm |
∂ xm |
|
|
|
∂ xm |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= αlαm |
|
|
l |
−b αmαl |
Гn |
|
= αlαm |
|
l |
−b |
Гn |
= αlαmb |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
m |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i' |
k' |
|
∂ x |
|
|
n |
k ' i' |
l m |
|
i' k' |
∂ x |
n |
|
l m |
|
|
|
i' k' |
|
l; m |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
величины |
|
b'i ; k |
преобразуются |
как |
ковариантные |
компоненты |
тензора второго ранга, а величины b' ;ik - как смешанные компоненты, которые аналогично получаются (без подробностей предыдущего вывода)
b' |
|
i |
= |
∂b'i |
+ b |
' j |
Г |
'i |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
;k |
∂ x'k |
|
|
j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
(αli'b l ) |
∂ x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂αn |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j' |
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+αrj'b r |
αli'αkm'αnj'Гln m +αni'αkm' |
|
|
|
= |
(24.13) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ x |
|
|
|
|
∂ x' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
m |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i' |
|
|
|
|
∂b |
l |
|
|
|
|
n |
|
l |
|
|
|
|
|
|
i' |
m |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
α |
l |
α |
k |
|
|
|
|
+ b |
|
Гn m |
|
= α |
l |
α |
k' |
b;m . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
' |
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание 10.13 Из определений (22.13) |
|
и (13.13), |
учитывая, что |
e i |
= g i l el , следуют |
||||||||||||||||||||||||||||||
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
= g |
i l |
bl |
|
; |
|
bi |
= g il b |
; k |
; |
|
|
|
|
(25.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i; k |
|
|
|
|
|
;k |
|
|
|
;k |
|
l |
|
|
|
|
|
|
Определение 4.13 Величины bi; k , и b;lk являются компонентами (ковариантными и
смешанными) одного и того же тензора, который и называется абсолютной
(ковариантной) производной вектора.
Теорема 1.13 Если Ti1 i2 ...in (r) - тензорное поле n -го ранга, то величина ∂∂xi Ti1i2 ...in есть тензорное поле n +1-го ранга.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что при переходе из системы координат xi к xi' справедливо равенство
|
∂ |
|
' |
|
∂ |
|
|
|
|
Ti1i2 |
|
= |
|
T 'i1i2 ...in . |
(27.13) |
|
|
||||||
|
∂xi |
...in |
∂x'i |
||||
|
|
|
|
|
|
n
При повороте xi' = ∑ui j xi (i =1,2,3) . Отсюда в силу условия (знак - означает «для
j=1
любого»)
65
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
j = k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
∑ui j uik = ∑u jiuk i |
= δ j k |
= |
(28.13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j ≠ k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует, что |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
= ∑ui j x'i |
или |
j |
= ui j . |
(29.13) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
3 |
|
|
|
∂x j |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
= ∑ui j |
|
. |
(30.13) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ' |
∂ ' |
|
|
∂x |
j |
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi j=1 |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
j |
|
|
||||||||||||||||||
Замечание 11.13 В |
равенстве |
|
|
(26.13) |
|
предполагается, что все x'j ( j ≠ i) и |
xi (i ≠ j) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фиксированы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂xi Ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теперь видно, что величина |
|
|
|
i |
2 |
...i |
n |
|
|
|
преобразуется как тензор n +1-го ранга, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ |
|
|
|
∑ui j ui1 j1 ...uin jn |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
T 'i1i2 ...in |
= |
|
|
|
|
|
T ' j1 j2 ... jn , |
|
|
|
(31.13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
' |
∂x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xi |
|
j, j |
, j |
|
,..., j |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а число компонент такого тензора равно 3n+1 . Тем самым данная теорема доказана. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из этой теоремы вытекают следующие следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1ое следствие. Если |
Φ(r) |
- |
|
скаляр, то |
|
|
|
∂Φ ∂xi - |
компоненты вектора (i =1,2,3) . |
Этот |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор называется градиентом скалярного поля Φ(r) , |
и его компоненты градиента |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обозначаются как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( Φ) |
≡ |
|
≡ (gradΦ) . |
|
|
|
|
|
|
|
(32.13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(«набла») - |
градиент (оператор Гамильтона) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= i |
|
|
∂ |
+ j |
∂ |
|
|
|
+ k |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(33.13) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ое следствие. |
|
Если |
A - |
вектор, |
|
|
то |
|
|
|
∑∂Ai |
∂xi |
есть |
скаляр, который |
является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дивергенцией вектора A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A = divA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(34.13) |
||||||||||||||||||||||||||||
3ье следствие. Величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∑εi jk |
∂Ak |
|
|
≡ ( ×A)i |
|
≡ (rot A)i |
|
|
|
|
|
|
(35.13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляют собой компоненты вектора |
|
(i =1,2,3) . Вектор × A - ротор (вихрь) |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4ое следствие. Величина |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂2 Φ2 ≡ ∆Φ = 2Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(36.13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
есть скаляр – лапласиан скалярной функции Ф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5ое следствие. Величины |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ (∆A)i ≡ ( 2 A)i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
Ai |
|
|
|
|
|
(37.13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j =1 |
∂x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суть компоненты вектора, который называется лапласианом векторной функции А.
66
Доказательство тождеств, связывающих приведенные величины.
Тождество 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( × A) = 0 |
|
|
|
|
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(38.13) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 A |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∑ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
Ak = ∑εi j k |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
= −∑ε jik |
|
|
|
= −∑ε jik |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
εi j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂x |
j |
|
|
|
|
|
∂x |
i |
∂x |
j |
|
|
∂x |
∂x |
j |
∂x |
∂x |
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i, j,k |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
j |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= −∑εi j k |
|
|
∂2 A |
|
|
= −∑εi j k |
|
|
|
∂2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
j |
∂x |
i |
|
∂x |
∂x |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(здесь используется преобразование индексов суммирования). Отсюда видно, что |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑εi j k |
|
|
|
∂2 A |
|
|
|
|
= −∑εi j k |
|
∂2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
i |
∂x |
j |
|
|
|
∂x |
i |
∂x |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
что и доказывает тождество (38.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Тождество 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×(Φ) = 0 |
|
|
Φ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(39.13) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично предыдущему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[ ×( Φ)]i = ∑εi j k |
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂Φ |
|
= |
∑εi j k |
|
|
|
∂2Φ |
|
|
|
|
= −∑εi k j |
|
|
∂2Φ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
j |
∂x |
k |
|
∂x |
j |
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= −∑εi j k |
∂2Φ |
|
|
|
|
= −∑εi j k |
|
|
|
|
∂2 Φ |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
k |
∂x |
|
|
|
∂x |
j |
∂x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тождество 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×( × A) = ( A) - 2 A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(40.13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
[ ×( × A)]i = ∑εi j k |
|
|
∂ |
|
|
( × A)k = ∑εi j k εkl m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x j |
|
|
|
∂x j ∂xl |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,k,l,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из задачи |
5.7 |
|
|
|
известно, |
|
|
|
что |
|
|
|
|
|
|
εijk εkpq |
|
= δipδ jq |
|
−δiqδ jp ; |
|
|
|
Так |
как |
равенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
εijk εkpq = δipδ jq −δiqδ jp ; |
|
|
справедливо |
|
при |
|
|
|
любых |
значениях |
|
|
индексов, |
то |
его |
можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
применить векторно – векторному произведению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 Am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
[ ×( × A)]i = ∑(δilδ jm −δimδ jl ) |
|
|
|
. = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,l,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x j ∂xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑δilδ jm |
∂ |
2 A |
|
|
. − ∑δimδ jl |
∂2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x j ∂xl |
|
|
∂x j ∂xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j,l,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,l,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ∑ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
Am . − ∑ δim |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
δil |
|
|
|
δ jm |
|
|
|
|
|
|
δ jl |
|
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂xl |
|
|
∂x j |
|
|
∂xl |
|
∂x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j,l,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j,l,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂ |
|
∂ |
A . − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
δ |
|
|
A |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
A . − |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
A |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑∂xm ∂xl |
|
|
m |
∑ |
∂xl ∂xl |
|
|
|
im m |
|
|
|
|
|
∑ |
∂xm ∂xl |
|
m |
|
∑ |
∂xl ∂xl |
i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что
67
[ ×( × A)]i = ∂∂xi ( A) − 2 Ai ,
что и доказывает тождество (40.13)
Ковариантная производная тензора
Естественным обобщением формул для ковариантной производной вектора является определение ковариантного дифференцирования тензора 2 –го ранга.
|
|
|
|
|
|
|
∂Ti k |
|
|
|
Гm |
|
|
Гm , |
|
|
|
|||||||
T |
|
;l |
= |
|
−T |
−T |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||||||||
i k |
|
|
|
|
∂ x |
|
|
m k |
|
i l |
i m |
|
|
k l |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂T i k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T |
i k |
= |
+T |
m k |
Г |
i |
+T |
i m |
Г |
k |
|
|
(45.13) |
|||||||||||
;l |
|
|
∂ xl |
|
|
|
m l |
|
|
|
m l |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂T ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T i |
|
|
|
= |
+T m Гi |
−T i |
|
Гm |
,. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k;l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
k m l |
|
m |
|
k l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что эти величины преобразуются при изменении системы координат,
как соответствующие компоненты тензора 3 –го ранга (Ti k ;l - как ковариантные компоненты, T i;lk - как смешанные - дважды контравариантные, один раз ковариантные и т.д.)
Правила дифференцирования тензоров.
Правило 1. Ковариантные производные тензора любого ранга определяются так: первое слагаемое – это частные производные компонент тензора по координатам; остальные слагаемые (их число равно рангу тензора) являются суммами из компонент тензора и символов Кристоффеля 1 – го рода, причём индексом суммирования являются поочерёдно индексы компонент тензора и противоположный (верхний или нижний – в зависимости от «немого» индекса тензора) индекс символов Кристоффеля. Эти последние слагаемые входят с минусом, если «немой» индекс компонент тензора является ковариантным (нижним), и с плюсом – если «немой» индекс у тензора -
контравариантный (верхний)
Пример 1.13
λ..l |
|
∂λ..l |
− λ..l Гn |
− λ..l Гn |
+ λ..n Гl |
|
= |
ik |
|||||
∂ xl |
||||||
ik;m |
|
nk i m |
in k m |
ik n m |
Правило 2 Ковариантная производная от тензора n -го ранга является тензором n +1 -
го ранга (см. теорему 1.13).
Замечание 13.13 Ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра)
совпадает с частными производными по координатам
|
f;i = |
∂ f |
. |
|
|
|
|
||
|
|
∂ xi |
|
|
Ковариантная производная от |
скаляра является ковариантным |
вектором |
||
(ковариантные компоненты градиента скаляра) |
|
|||
Правило 3. Ковариантная производная суммы равна сумме производных |
|
|||
( Aik + Bik );l |
= Aik;l + Bik;l |
(46.13) |
||
Правило 4. Ковариантная производная произведения равна |
|
|||
( Aik Bmn );l = Aik;l Bmn + Aik Bmn;l |
(47.13) |
68
Теорема Риччи.
Ковариантная производная метрического тензора равна нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно (19.13) и (20.13), имеем
gi k ;l = |
|
∂ gi k |
− gi m Гkml − gmk Гiml = |
∂ gi k |
|
- Гi,k l − Гk ,i l = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ xl |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ gi k |
|
1 |
|
|
∂ gi k |
|
∂ gi l |
|
|
|
∂ gk l |
|
1 |
|
|
∂ gi k |
|
∂ gk l |
|
∂ gi l |
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
= 0, |
||||
|
l |
|
|
|
l |
|
|
k |
|
|
i |
|
|
|
|
l |
|
i |
|
k |
||||||||||||||||||
|
∂ x |
|
2 |
|
|
∂ x |
|
∂ x |
|
|
|
∂ x |
|
|
|
2 |
|
|
∂ x |
|
∂ x |
|
∂ x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следствие. из теоремы Риччи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из теоремы Риччи выводится часто используемое соотношение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ gi k |
= Гi,k l |
+ Гk ,i l ., |
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ xl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание 14.13 Аналогично показывают, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g;ikl |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(49.13) |
Факт равенства нулю ковариантной производной от метрического тензора
позволяет обращаться с его компонентами как с постоянными при ковариантном дифференцировании. Отсюда справедливы, например, соотношения
g |
Al = (g |
i l |
Al ) |
;k |
= A |
|
|
|
||||
|
i l |
;k |
|
|
|
i;k |
|
|
|
|||
g |
T l m = (g |
i l |
T l m ) |
;k |
= T |
.m |
|
|||||
|
i l |
;k |
|
|
|
i;k |
|
|||||
T |
|
g im g kn |
= (T g im g kn ) |
;l |
= T mn |
|||||||
ik;l |
|
|
|
|
ik |
|
|
|
;l |
Физические свойства, имеющие тензорный характер, могут меняться с течением времени от точки к точке в некоторой части пространства. Для этого рассматривается тензор-функция скалярного аргумента и радиуса - вектора точки:
Tik = Tik (r,t) |
(50.13) |
Замечание 15.13 Предметом тензорного анализа является дифференцирование и интегрирование тензор - функций.
Рассмотренные выше символы сведены в таблицу 9 ПРИЛОЖЕНИЯ 2.
69
|
|
|
|
|
ГЛАВА 3. |
ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
§ 14 Скалярные, векторные и тензорные поля |
|
|
|
||||||||||||
Скалярное поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 1.14 |
Скалярным полем называется часть пространства, |
каждой точке М |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 1.14) которого соответствует одно значение скалярной |
|||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
U =U (x, y, z) . |
|
|
(1.14) |
|
|||||
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
Определение 2.14 |
Аналитически |
скалярное поле можно |
|||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
также описать с помощью радиуса – вектора точки М в виде |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
r = r (x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U =U (r) |
|
|
|
(2.14) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Определение 3.14 |
|
Геометрическими характеристиками |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
Рис. 1.14 Система |
|
скалярного поля являются поверхности равного уровня |
||||||||||||||||||
|
координат |
|
|
|
|
(рис. 2.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения поверхностей |
|
|
U (x, y, z) = C1 |
|
||||||||
равного |
уровня |
являются |
функциями |
координат |
и |
|
|
|
|||||||||||||
константы |
|
|
|
U (x, y, z) = Ci |
|
|
|
(3.14) |
|
|
|
U (x, y, z) = C2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где Ci |
- константа i - той поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
U (x, y, z) = C3 |
|
||||||||||
Производная скалярной функции по направлению |
|
s |
U (x, y, z) = C4 |
|
|||||||||||||||||
вектора s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Определение |
4.14 |
Дифференциальной |
|
скалярной |
Рис. 2.14 Поверхности |
|
|||||||||||||||
характеристикой скалярного поля является производная |
|
равного уровня |
|
||||||||||||||||||
скалярной функции по направлению вектора s . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для того, чтобы получить производную по направлению, дадим |
приращение |
s |
|||||||||||||||||||
вектору, |
выходящему из точки M o |
(рис. 3.14). |
|
s можно представить в виде вектора |
|||||||||||||||||
s = |
x i + |
y j + |
z k . |
Приращение функции |
U =U (x, y, z) |
обозначим |
U |
и выразим |
|||||||||||||
через |
|
производные, |
учитывая |
связь |
|
приращения |
с |
производной |
функции |
||||||||||||
( y = y' |
x +ε |
x ). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U = |
∂U |
x + |
∂U |
y + ∂U |
z +ε1 |
x +ε2 |
|
y +ε3 |
z , |
|
|
|
|
(4.14) |
|
||||||
|
∂ x |
|
∂ y |
|
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ε1,ε2 ,ε3 стремятся к нулю, |
когда |
s → 0 . Разделим |
|
|
|
s |
|
||||||||||||||
все члены равенства (4.14) на |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U = |
∂U x + ∂U y |
+ ∂U z +ε1 |
|
x +ε2 |
y |
+ε3 |
z |
z |
|
s |
М |
|
|||||||||
s |
∂ x |
s |
∂ y |
s |
∂ z |
s |
|
s |
|
s |
|
|
s |
|
|
|
|||||
Из рис. 3.14 |
видно, что |
|
|
|
|
|
(5.14) |
|
M o |
|
y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
s = cosα, |
|
s |
= cos β, |
s = cosγ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.14 Схема приращений |
|
||||
U = |
∂U cosα + |
∂U cos β + |
∂U cosγ +ε1 cosα +ε2 |
cos β +ε3 cosγ координат |
|
|
|||||||||||||||
s |
∂ x |
|
|
∂ y |
|
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.14) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |