Tensor-Gotman

№

Название формулы

Векторное выражение

Тензорное выражение

п/п

1

Задание вектора

a = a1e1 + a2e2 + a3e3

a = aiei

b = b1e1 +b2e2 +b3e3

b = biei

2

Векторное

a ×b = c

c = a × b = ck e

k

произведение в

c1 = ε(a2b3 − a3b2 ),

= V (aib j − a jbi )=

косоугольной

c2 = ε(a3b1 − a1b3 ),

ck

системе координат

G (aib j − a jbi )

c

3

= ε(a b − a

2

b

).

=

1

2

1

1

(a

b )=

c k =

b

j

− a

j

V

i

i

=

1

(a

b

j

− a

j

b

)

G

i

i

3

Векторное

e1

e2

e3

a ×b = ε[(a2b3 − a3b2 )e1 +

произведение в

a ×b = ε

a1

a2

a3

+ (a3b1 − a1b3 )e2 +

декартовых

b1

b2

b3

+ (a1b2 − a2b1)e3 ]

координатах

и символ Леви-

a × b =

Чивита

= aib j (ei × e j ) = εijk aib j ek

ck

= εkij aib j

4

Свойство 1. (не

a ×b = −b ×a

εijk aib j ek

=

коммутативно)

−εijk bi a j ek

5

Свойство 2..

(λ a)×b = λ(a ×b)

εijk λ aib j ek

= λεijk aib j ek

(ассоциативность)

6

Свойство 3

(a + b)×c = a ×c + b ×c

(a +b)×c =

.(дистрибутивность)

= εijk aic j ek

+εijk bic j ek

7

Свойство 4. Квадрат

a ×a = 0

εkij ai a j

= 0

при векторном

произведении

8

Векторное

e1 ×e1 = e2 ×e2 = e3 ×e3 = 0

ei ×e j = εijk eie j ek

произведение

e1 ×e2 = e3 ,

e3 ×e1 = e2 ,

базисных векторов

e

2

×e

3

= e

1

11

Условие

a || b

a ×b = 0

ai

= λ

или

a

= λb

коллинеарности двух

i

векторов

bi

i

12

Векторное

a ×ei

=

произведение

(a1e1 + a2e2 + a3e3 )×ei

a ×ei

= εijk ak ek

×ei

вектора на

a ×e1 = a3e2 − a2e3

базисный вектор

a ×e2 = a1e3 − a3e1

a ×e3 = a2e1 − a1e2

13

Модуль векторного

a ×b

=

a

b

sin α

ai ai

bibi

εkij aib j

произведения

ai ai bibi

Таблица 3 Элементы аналитической геометрии в тензорных выражениях

Плоскость

№

Название формулы

Векторное выражение

Тензорное выражение

п/п

1

Нормаль плоскости

n = a1e1 + a2e2 + a3e3

n = aiei

2

Текущие точка М и N

М: x = x e

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

x = x

e

i

1 1

i

3

Расстояние между

N: y = y1e1 + y2e2 + y3e3

y = yiei

MN = y − x =

MN = y − x =

двумя точками M и N

− x ) 2

) 2

) 2

δij ( yi − xi ) ( y j − x j )

( y

+ ( y

2

− x

2

+ ( y

3

− x

3

1

1

4

Векторное уравнение

− xo ) = 0

плоскости

Так как n (r - ro), то их скалярное

n (x

z

n

произведение равно нулю. Отсюда

i

i

i

нормальное уравнение плоскости

или

n (r −ro ) = 0

r

n ( x − xo ) = 0

ro

y

x

5

Общее уравнение

o

плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

Обозначая − ni xi

= b ,

Если плоскость

получим ai xi

+b = 0

проходит через начало

Ax + By +Cz = 0

ai xi

= 0

6

координат, то D = 0

Уравнение плоскости в

Разделим ai xi

+b = 0 на −b

«отрезках»

x + y

+ z

=1

= − ai

( ui наз.

и обозначим u

i

. Тогда

тангенциальными

a

b

c

b

ui xi

=1

координатами)

7

Нормальное уравнение

no =

niei

плоскости

nor - p = 0

ni ni

z

A

d

− xo )

K

n (x

i

= 0

р

i

i

ni ni

no

y

ni xi

− p = 0

x

ni ni

8

Расстояние от точки до

ni xi A

плоскости

d = no (rA − p)

d =

− p

ni ni

113