Tensor-Gotman

где G определено в (23.7).

Замечание 2.7 Знак перед корнем для правой системы координат выбирается

положительным.

базиса, равен G , а на векторах взаимного базиса G' .

Случай ортогональных базисов

Замечание 3.7 Случай ортогональных базисов рассматривается особо, потому что ортогональные системы координат наиболее распространены в приложениях.

Выше уже было указано, что ортогональный базис совпадает со своим взаимным.

В этом случае, согласно (26.7), из величин (gik ) отличны от нуля только g11, g22 , g33 . Тогда из ai = gik ak и ai = g i k ak следует

Задача 1.7 Выразить скалярное произведение двух векторов и косинус угла между ними через ковариантные и контравариантные компоненты.

Решение. По определению

Модуль вектора А равен

31

32

Рассмотрим системы криволинейных координат α1,α2 ,α3 (рис. 2.7) Для этого зададим радиус-вектор r как дифференцируемую вектор -функцию от трёх переменных

вектор ∂∂αr1 является вектором, касательным к линии α1 . Таким образом, в каждой точке

пространства можно рассмотреть тройку векторов ∂∂αri , которые можно принять за

векторы базиса (реперы), если они не компланарны. Это условие выполнено, если в каждой точке определитель

являются взаимно-обратными. Таким образом, при выполнении условий (39.7 и 44.7) в каждой точке пространства существует связанный с криволинейной системой координат базис

который называют локальным. Если k i - тройка единичных векторов, то локальный базис ei связан с ней соотношением

Итак, в каждой точке вектор a(a1 ,a2 , a3 ) представляется в локальном базисе ei

своими контравариантными компонентами

33

Его ковариантные компоненты согласно (49.7) определяются следующим образом

которая, очевидно, является симметричной. Она называется фундаментальной матрицей. Определитель этой матрицы

Умножая левую и правую части этого соотношения на g ij и производя суммирование

С помощью формул (55.7) и (56.7) и определения (14.7) скалярное произведение двух векторов a и b можно выразить четырьмя различными способами

Признак тензорности величин

Рассмотрим тензор второго ранга, содержащий 9 компонент.

Пусть Ai и Bi - компоненты двух произвольных векторов. Если при помощи

то девять величин Tik образуют тензор 2-го ранга.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дано: выражение (58.7) является инвариантом. Преобразуем компоненты векторов Ai и Bi по закону перехода в другую систему координат. Тогда

Так как векторы A и B взяты произвольно, то равенство нулю может быть только в том случае, если

T 'ik −T lmαi'lαk'm = 0 ,

то есть справедливо равенство

34

Равенство (61.7) представляет собой преобразование, которое и доказывает тензорность выражения Tik .

Замечание 5.7 Этот признак тензорности является также определением тензора второго ранга.

Замечание 6.7 В случае системы обобщённых координат, если можно написать, что

ковариантными, контравариантными и смешанными компонентами тензора второго ранга.

Обратный тензорный признак

является тензором ранга p + q . (без доказательства):

Символ Леви-Чивита

Символ Леви-Чивита или кососимметричный символ Кронекера записывается следующим образом:

εijk = 1, если значения индексов i, j, k образуют чётную перестановку из чисел 1,2,3

εijk = - 1, если значения индексов i, j, k образуют нечётную перестановку из чисел 1,2,3 (62.7)

εijk = 0, если значения индексов i, j, k не образуют перестановки из чисел 1,2,3

(если есть равные индексы)

Определение 4.7 Транспозицией называется перестановка двух индексов 1, 2, 3. Определение 5.7 Чётность и нечётность определяется числом транспозиций, необходимых для приведения данной перестановки к виду 1, 2, 3.

Например, (2, 1, 3) – нечётная транспозиция, Например, (2, 3, 1).- чётная транспозиция. Замечание 7.7 C помощью этого тензора векторное произведение a ×b = c представляется в индексной записи следующим образом:

Замечание 8.7 Символ Леви-Чивита автоматически учитывает знаки места, которые необходимо принимать при раскрытии определителя.

Таким же образом можно представить и смешанное произведение a ×b c , которое обычно выражается в виде определителя

35

+ a2b3c1 − a2b1c3 = a1(b2c3 −b3c2 ) + a2 (b3c1 −b1c3 ) + a3 (b1c2 −b2c1).

Замечание 9.7 Символ Леви-Чивита часто используют для выражения величины

определителя третьего порядка.

Замечание 10.7 Символ εijk подчиняется правилу преобразования декартовых тензоров третьего ранга.

+ε123 +ε132 +ε312 +ε321 +ε213 +ε231

Замечание 11.7 εijk a j ak является индексной формой записи векторного произведения

Если положить ai = A1i , bi = A2i , ci = A3i (строчки), то получим

λ = εi j k aib j ck = εi j k A1i A2 j A3k

Замечание 12.7 Этот же результат можно получить непосредственным разложением

определителя по строке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам дано

υ1 = αa1 + βb1 +γc1 , υ2 = αa2 + βb2 +γc2 , υ3 = αa3 + βb3 +γc3 .

По правилу Крамера

36

i = q =1, j = p = 2, p = 3 . ( В этой задаче доказывается, что это тождество справедливо

при любом выборе индексов).

Решение. а) Положим i =1, j = 2, p = 3, q = 2 и заметим, что k индекс суммирования и, следовательно, пробегает значения 1, 2, 3. Тогда

εijk εkpq = ε12k εk32 = ε121ε132 +ε122ε232 +ε123ε332 = 0

δi pδ jq −δiqδ j p = δ13δ22 −δ12δ23 = 0;

б) Пусть i =1, j = 2, p = 2, q =1. Тогда

εijk εkpq = ε123ε321 = −1

δi pδ jq −δiqδ j p = δ12δ21 −δ11δ22 = −1.

Задача 5.7 Воспользовавшись результатами задачи 4.7, доказать, что

а) ε p q sεm n r = δ p nδq r −δ p rδq n б) ε pqsεmnr = −2δ pr .

Решение. В тождестве, доказанном в задаче 4.7, разложим определитель по первой строке:

ε pqsεmnr = δmp (δnqδrs −δnsδrq ) +δmq (δnsδrq −δnpδrs ) +δms (δnpδrq −δnqδrp )

а) Положив m = s , получим

ε pqsεsnr = δsp (δnqδrs −δnsδrq ) +δsq (δnsδrq −δnpδrs ) +δss (δnpδrq −δnqδrp ) = = δrpδnq −δ pnδrq +δqnδrp −δnpδqr + 3δnpδrq −3δnqδrp = δnpδrq −δnqδrp .

б) В полученном в «а» соотношении положим n = q . Тогда

ε pqsεsqr = δqpδrq −δqqδrp = .δ pr −3δ pr = −2δ pr .

Задача 6.7 Для тензора Леви-Чивита εijk непосредственным расписыванием по индексам

показать, что а) εijk εkij = 6 , б) εijk a j ak = 0 .

Решение.

а) Просуммируем сначала по i :

εijk εkij = ε1 jk εk1 j +ε2 jk εk 2 j +ε3 jk εk3 j

Затем суммируем по j , записывая только отличные от нуля члены:

εijk εkij = ε12k εk12 +ε23k εk 23 +ε21k εk 21 +ε23k εk 23 +ε31k εk31 +ε32k εk32

Наконец, суммируем по k , опять оставляя только ненулевые члены:

εijk εkij = ε123ε312 +ε132ε213 +ε213ε321 +ε231ε123 +ε312ε231 +ε321ε132 = = (1)(1) + (−1)(−1) + (−1)(−1) + (1)(1) + (1)(1) + (−1)(−1) = 6

37

б) Суммируем по j , потом по k :

εijk a j ak = εi1k a1ak +εi2k a2ak +εi3k a3ak =

= εi12a1a2 +εi23a2a3 +εi21a2a1 +εi23a2a3 +εi31a3a1 +εi32a3a2

Из этого выражения получим:

§ 8 Якобиан Определение 1.8 Функциональный определитель, составленный из частных

производных первого порядка, вида Ai k = ∂ yi

∂xk

называется якобианом (якобиевой матрицей).

Замечание 1.8 Комплекты частных производных некоторой скалярной функции y точки

Р представляют интерес в механике в связи с понятием градиента потенциальной функции.

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию f (x1 , x2 ,..., xn ) , представляющую скаляр f (P) , и преобразование координат

то можно выяснить, что произойдёт с этим комплектом, если к нему применить преобразование (2.8). В этом случае функции будут зависеть от y1 , y2 ,..., yn . Тогда, например, комплект функций (3.8) станет

Если взять частные производные как производные сложной функции, то частные производные будут иметь вид

38

один и тот же математический аппарат, но в разных системах координат. В каждой отдельной точке P (x1 , x2 ,..., xn ) комплект (3.8) представляет n чисел, которые можно

рассматривать как компоненты градиента вектора, а комплект (5.8) представляет собой тот же вектор в другой системе координат.

Из формул (5.8) и (7.8) видно, что каждый раз при переходе из одной системы

являются матрицами преобразования величин из одной системы координат в другую.

координат по новым) имеет вид

Замечание 7.8 Произведения прямого и обратного преобразования равны дельте

Кронекера

39

40