Tensor-Gotman

Вывод: Отсюда ясно, что для каждого значения индекса

i

(i =1,2,3)

имеют место

следующие 18 соотношений

3

0,

i'≠ j',

∑αim' αmj'

= δi'j'

(iv)

=

i'= j'.

m=1

1,

3

m'

j

0,

i ≠ j,

j

∑

=

δ

(v)

αi α

m'

=

i = j.

i

1,

m'=1

Проверка показывает

3

3

3

e'i = ∑e'k

∑αim' αmk' = ∑δi'k' e'k

,

(vi)

k =1

m=1

k =1

3

3

3

ei = ∑ek

∑αim'αmk ' = ∑δik ek

,

(vii)

k =1

m'=1

k =1

что подтверждает корректность преобразований.

Вторая основная задача

Пусть в пространстве введены две прямоугольные декартовы системы координат (К) и

(K ') . Задача заключается в том, чтобы выразить координаты (x1, x2 , x3 )

произвольной

точки М в системе (К) через координаты (x'

, x'

, x' ) системы (K') и наоборот (рис. 2.2).

1

2

3

Решение. Пусть r и r’ – соответственно радиусы – векторы

точки М в системах (К) и

(K') , орты которых (e1,e2 ,e3 ) и (e'1 ,e'2 ,e'3 ) . Положение начала координат О1 системы

(K') в системе (К) определяется радиусом – вектором r'o , так что r

= −r'

o

.

o

1

Пусть αi'k - косинус угла между i - той осью системы (K ')

и k - той осью системы (К)

так, что

αi'k = cos(x'i , xk ) = ei ek .

(i)

Тогда

М

r = r'+ro1 ;

x3'

x3

x'

r' = r +r'o

r

r’

Используя выражение для радиуса – вектора,

ro1 e3'

(K’)

2

e2'

получим

e3

O1

xk ek = x'k e'k +xko1ek

(К)

'

x2

(ii)

e1

О

e2

e1

x'k e'k = xk ek + x'o e'k

(iii)

x1

x'

(Нужно помнить, что

k

1

3

Рис. 2.2

К преобразованию

xk ek = ∑xk ek = x1e1 + x2e2 + x3e3 ).

координат точки М

k =1

Умножая (ii) скалярно на ei , а (iii) на e'i

и используя свойства скалярного произведения

векторов

0,

i ≠ k

,

ei ek =

i = k

а также (i), получим

1,

3

3

3

3

ak ) ak

3

a = ∑ ak = ∑ak

ak

= ∑(a ik ) ak = ∑(a

= ∑(a ak2 )ak

(3.3)

k =1

k =1

ak

k =1

ak

k =1

ak

ak

k =1

ak

Замечание 2.3 Равенство (3.3) было рассмотрено для прямоугольной системы

координат, а задача состоит в том, чтобы определить компоненты вектора в

произвольном базисе.

Проекции вектора на оси пространственных координат

Определение 1.3 Два базиса реперы (e1,e2 ,e3) и

кореперы ( e1,e2 ,e3 )

называются взаимными, если их

е3

векторы удовлетворяют условию

е3

е2

0,

если

i ≠ k

(4.3)

h

ei ek =

если

i = k

е2

1

Замечание 3.3 Векторы

ek (реперы)

расположены под

произвольными углами друг к другу,

и их модули не

е1

обязательно равны единице.

ei ek

Замечание 4.3 Из равенства

= 0 ,

если

i ≠ k ,

е1

следует,

что

каждый

вектор

одного

базиса

Рис. 2.3

Связь основного и

перпендикулярен

к

двум

векторам

другого

базиса

взаимного базисов

(например,

e1 e2

и

e1 e3 ,

а это

значит, что

он

перпендикулярен плоскости векторов e2 и e3 ), а

с

третьим вектором, с которым

совпадает его индекс, он составляет острый угол (потому что их произведение равно

положительному числу).

Замечание 5.3 Если на двух взаимных базисах построить параллелепипеды с объёмами

V =

e

1

(e

2

×e

3

)

и V 1 =

e1 (e2

×e3 )

, то рёбра одного из них будут перпендикулярны к

1

граням другого и наоборот (рис. 2.3)..

Например, e3 e3 =

e3

e3

cos(e3 ,e3 ) =1 означает, что

e3

=

1

=

1

(5.3)

e3

cos(e3 ,e3 )

h

Пусть дан базис (e

,e

2

,e

3

) . Вектор e1

взаимного базиса должен быть

1

перпендикулярен к векторам e2 и e3 , т.е. параллелен их векторному произведению

e1 = m (e2 ×e3 )

(6.3)

Скаляр m определяется из условия

т.е.

e1 e1 =1,

(7.3)

me1 (e2 ×e3 ) =1

(8.3)

V V 1

=1, ч.т.д.

(18.3)

1

3

b = b1b1 + b2b2 + b3b3 = ∑bibi

,

(19.3)

i =1

где b1,b2 , b3 - некомпланарные векторы,

умножим вектор b на bk -

вектор взаимного

базиса. Тогда получим (см. формулу (4.3))

3

b bk

= ∑bibi bk

= bk

(20.3)

так как

i=1

0,

если

i ≠ k

bi bk

.

=

если

i = k

1

Отсюда получаются искомые проекции в виде

3

bk = ∑bibi bk

(21.3)

i=1

Замечание 7.3 Из формул (20.3) и (12.3) получается

b1 = b b1 =

b ( b2 ×b3 )

(22.3)

b1 (b2 ×b3 )

b

Замечание

8.3. Здесь интересно

равенство

b b1 =

которое

получается из

b

b1

b b1 b1 = b 1 = b или из b b1 b1 =

= b .

Задача 2.3

b1

b1

Требуется найти вектор А, удовлетворяющий трём уравнениям

A a1 = m1;

A a2 = m2 ;

A a3 = m3 ,

(23.3)

где заданы некомпланарные векторы a1,a2 ,a3 , а

m1,m2 ,m3 - скаляры.

A = m1a1 + m2a2 + m3a3

(24.3)

A a1 = m1a1 a1 + m2a2 a1 + m3a3 a1 = m1a1 a1 = m1,

(25.3)

A' a1 = m1; A' a2 = m2 ; A' a3 = m3

(26.3)

Вычитая из (23.3) выражение (26.3), получим

( A - A' ) a1 = m1 - m1 = 0,

( A - A' ) a2 = m2 - m2 = 0,

(27.3)

( A - A' ) a3 = m3 - m3 = 0.

e'

= a e

+ a

e

2

+ a

e

3

1

1'1

1

1'2

1'3

e'2 = a2'1e1 + a2'2e2 + a2'3e3

(1.4)

e'

3

= a

e

+ a

3'2

e

2

+ a

3'3

e

3

3'1

1

В сокращённой записи эта система выглядит так:

e'i = ai'iei (i,i'=1,2,3) ,

(2.4)