1.8. Цепь с распределенными параметрами

Примером цепи с распределенными параметрами является длинная линия. В такой цепи ток и напряжение зависят от координаты, так как сопротивление, индуктивность, емкость и проводимость непрерывно распределены по длине линии. Для бесконечно малого участка однородной двухпроводной линии эквивалентная схема имеет вид

Рис. 1.8-1

Здесь L₀, R₀ , G₀ , C₀ – первичные параметры длинной линии, задаются соответственно в Гн/м, Ом/м, См/м, Ф/м.

Определяем продольное сопротивление и поперечную проводимость:

.

Постоянная распространения волны

,

где  - коэффициент затухания,  - коэффициент фазы.

Волновое сопротивление линии

.

Фазовая скорость и длина волны

V_ф = / ;  = V_ф /f .

Уравнения установившегося синусоидального режима в линии:

,

где - комплексы напряжения и тока в конце линии;

х – текущая координата, отсчитываемая от начала линии ( иногда используют координату y = -x, отсчитываемую от конца линии); - длина линии.

Полагая х = 0, получим комплексы напряжения и тока в начале линии:

.

Так как постоянная распространения в общем случае комплексная величина, то имеем гиперболические функции комплексного аргумента, которые можно представить в виде

где ch(αl)=0,5(e^αl + e^-αl), sh(αl)=0,5(e^αl - e^-αl)

Если известна нагрузка Z _н = R_н +jX_н , то, подставив в первое уравнение системы, можно определить I₂, а затем U₂ и I₁ :

.

Определив токи и напряжения , можно рассчитать мощности в начале и в конце линии и к.п.д.:

Р₁ = U₁I₁cos₁ ; Р₂ = U₂I₂cos₂ ;  =Р₂ /Р₁.

В линии без потерь R₀ = G₀ = 0 и  =0, т.е. в такой линии отсутствует затухание. Тогда

.

Уравнения линии принимают вид

.

Если сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению линии, то режим называется согласованным, отраженная волна отсутствует. Для линии без потерь в этом случае действующие значения тока и напряжения неизменны по длине линии. Основные уравнения принимают вид

.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение длинной линии.

2. Что такое первичные параметры длинной линии?

3. Как рассчитать постоянную распространения и волновое сопротивление?

4. Запишите уравнения установившегося режима в длинной линии при известных напряжении и токе в конце линии.

5. Что такое линия без потерь?

6. Какой режим длинной линии называется согласованным?