Глава 1. Основные теоретические сведения

1.1. Линейная электрическая цепь постоянного тока

Режим электрической цепи любой конфигурации определяется законами Кирхгофа.

Первый закон. Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю (сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла).

I₁ + I₄ = I₂ + I₃ ;

I₁ + I₄ - I₂ - I₃ = 0 .

Рис.1.1-1

Второй закон. Алгебраическая сумма ЭДС контура равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях этого контура (алгебраическая сумма напряжений контура равна нулю).

Рис.1.1-2

E₁ – E₂ – E₃ = I₁R₁ – I₂R₂ + I₃R₃ – I₄R₄ .

Если направление ЭДС или тока совпадает с направлением обхода, то они учитываются в уравнении со знаком «+»; если направления противоположны, то со знаком « - » .

Если в схеме требуется рассчитать К неизвестных токов, то необходимо составить N-1 уравнений по первому закону ( N – число узлов ) и K- (N-1) уравнений по второму закону Кирхгофа.

В методе контурных токов количество уравнений в системе равно количеству независимых контуров. Уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Контурным называется ток, протекающий по всем элементам контура.

Рис.1.1-3

I_1K(R₁ + R₂ + R₃ + R₄) - I_2K R₃ - I_3K R₄ = E₁ - E₂ - E₃ ;

-I_1K R₄ + I_2K (R₃ + R₅ + R₆ + R₇) - I_3K R₇ = E₂ - E₄ ;

-I_1K R₄ - I_2K R₇ + I_3K (R₄ + R₇ + R₈ ) = E₃ – E₅ .

В данном примере направления обходов совпадают с направлениями контурных токов. Если в общем для двух контуров сопротивлении контурные токи имеют противоположные направления, то соответствующее напряжение учитывается с отрицательным знаком. Например, в первом уравнении - I_2K R₃ , - I_3K R₄.

По найденным контурным токам определяются токи в ветвях с учетом выбранных направлений.

I₁ = I_1K , I₂ = I_1K –I_2K , I₃ = -I_2K ;

I₄ = I_3K –I_1K , I₅ = I_3K –I_2K , I₃ = -I_3K .

В методе узловых потенциалов потенциал одного любого узла принимается равным нулю. Например, в рассмотренной схеме для узла 1 ₁ = 0. Для остальных узлов составляются уравнения вида

₂(g₁+g₄+g₈) - ₃g₄ - ₄g₈ = -E₁g₁ - E₃g₄ - E₅g₈ ;

- ₂g₄ + ₃ (g₄+g₃+g₇)- ₄g₇ = E₃g₄ – E₂g₃ ;

- ₂g₈ - ₃g₇ + ₄(g₇+g₆+g₈) = -E₄g₆ + E₅g₈ .

Правила составления уравнений следующие. Каждое уравнение относится к одному узлу. Например, первое уравнение составляется относительно узла 2, второе – относительно узла 3 и т.д. Потенциал этого узла берется со знаком «+» и умножается на сумму проводимостей ветвей, подключенных к данному узлу. Другие потенциалы в этом же уравнении берутся со знаком «-» и умножаются на проводимости ветвей, соединяющих данный узел с соседними. В первом уравнении это слагаемые - ₃g₄ и - ₄g₈ , где g₄ и g₈ – проводимости ветвей, соединяющих узлы 2,3 и 2,4. В правой части уравнения записывается сумма произведений ЭДС ветвей, подключенных к данному узлу, на проводимости этих ветвей. Если ЭДС направлена к узлу, для которого составляется уравнение, то соответствующее произведение берется со знаком «+», если ЭДС направлена от узла, то со знаком «-».

Из полученной таким образом системы находят потенциалы узлов, а затем по закону Ома рассчитывают токи в ветвях:

I₁ =(₂ - ₁ +E₁)g₁ ,I₂ =(₁ - ₃ -E₂)g₃ ,I₃ =(₄ - ₁ +E₄)g₆ ;

I₄ =(₂ - ₃ +E₃)g₄ , I₅ =(₃ - ₄ )g₇ , I₆ =(₂ - ₄ +E₅)g₈ .

В данных уравнениях учтено, что если направления ЭДС и тока в ветви совпадают, то ЭДС берется со знаком «+»; если не совпадают, то со знаком «-».

Если необходимо рассчитать ток в какой-либо одной ветви, то удобно пользоваться методом эквивалентного генератора. В этом методе цепь относительно выбранной ветви представляется в виде активного двухполюсника (эквивалентного генератора). Пусть в приведенной выше схеме необходимо рассчитать ток I₅. Тогда расчет сводится к нахождению тока в эквивалентной схеме:

I₅ = E_Г /( R_Г + R₇ ) .

Рис.1.1-4

ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению холостого хода на зажимах, к которым подключается R₇: Е_Г =U_{хх 3-4} .

Рис.1.1-5

Для определения U_{хх 3-4} можно воспользоваться методом контурных токов или методом двух узлов. Например, по методу двух узлов:

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R_г равно эквивалентному сопротивлению цепи относительно выводов 3, 4 при закороченных источниках ЭДС. В этом случае схема принимает вид (R_1-2 = R₁ + R₂ , R_5-6 = R₅ + R₆ )

Рис.1.1-6

Заменим треугольник сопротивлений R_1-2 , R₄ , R₈ звездой

Рис.1.1-7

Здесь R_{1-2, 3} = R_1-2 R₃ / (R_1-2 + R₃ + R₄ );

R_{1-2, 4} = R_1-2 R₄ / (R_1-2 + R₃ + R₄ );

R_{4, 3} = R₄ R₃ / (R_1-2 + R₃ + R₄ ).

Тогда

R_г = R_{4, 3} + (R_{1-2, 3} +R_5-6 ) (R_{1-2, 4} +R₈ )/ (R_{1-2, 3} +R_5-6 + R_{1-2, 4} +R₈ ).

Таким образом, параметры эквивалентного генератора определены, и можно вычислить искомый ток:

I₅ = E_Г /( R_Г + R₇ ) .

Потенциальной диаграммой называется диаграмма, показывающая изменение потенциала на элементах цепи. Расчет проводится по следующим правилам:

при переходе через сопротивление по направлению тока потенциал уменьшается на величину падения напряжения на этом резисторе (против тока – увеличивается);

при переходе через источник ЭДС по направлению стрелки потенциал увеличивается на значение ЭДС.

Для схемы на рисунке 1.1-8

Рис.1.1-8

Баланс мощности представляется в виде уравнения, которое связывает мощность источников и мощность потребителей (нагрузки). В цепи постоянного тока в качестве нагрузки рассматриваются активные сопротивления. Мощность, выделяющаяся в резисторах, положительна и определяется по закону Джоуля-Ленца. Мощность источников рассчитывается как произведение ЭДС (напряжения) на ток источника. Мощность источника ЭДС может быть как положительной (ЭДС и ток имеют одинаковое направление), так и отрицательной (направления ЭДС и тока противоположны). Для рассмотренной схемы баланс мощности имеет вид

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте законы Кирхгофа.

2. Порядок расчета разветвленной цепи методом контурных токов.

3. Порядок расчета разветвленной цепи методом узловых потенциалов.

4. Порядок расчета методом эквивалентного генератора.

5. Что такое потенциальная диаграмма? Правила расчета.

6. Что такое баланс мощности? Как его составить для цепи постоянного тока?