1.4. Цепи несинусоидального периодического тока

В радио- и электротехнических цепях токи и напряжения могут отличаться по форме от синусоиды, оставаясь при этом периодическими. Причинами этого, как правило, являются несинусоидальность ЭДС источников и наличие нелинейных элементов. Применять символический метод непосредственно для расчета таких цепей нельзя. В этом случае несинусоидальные токи и напряжения представляют в виде ряда Фурье:

,

где I₀ – постоянная составляющая (нулевая гармоника);

I_1msin(t+ψ₁) – первая (основная гармоника);

=2 / Т – основная частота,

Т – период исходной функции;

при к>1 гармоники называются высшими.

Таким образом, исходная функция представляется в виде суммы постоянной составляющей и синусоид ( в реальных случаях ограничиваются конечным числом гармоник).

Например, схема питается от источника несинусоидальной ЭДС, разложение которой ограничено четырьмя гармониками:

.

Реальный источник теперь представляется в виде последовательно соединенных источников постоянной и синусоидальных ЭДС, для которых можно использовать комплексный метод:

Для каждого источника отдельно рассчитываются токи в цепи. Окончательный результат в соответствии с принципом суперпозиции получается суммированием частичных токов в ветвях . При расчетах необходимо учитывать, что от номера гармоники зависят частота и реактивные сопротивления: с ростом номера индуктивное сопротивление увеличивается, а емкостное – уменьшается:

Источник, соответствующий постоянной составляющей, необходимо рассматривать как источник постоянной ЭДС, для которого индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а конденсатор является обрывом цепи ( в установившемся режиме).

Активная мощность в цепи несинусоидального периодического тока определяется как сумма активных мощностей всех гармоник:

.

Действующее значение несинусоидального тока

.

Вопросы для самопроверки

1. В каком случае применяется разложение периодической несинусоидальной функции в ряд Фурье?

2. Основные характеристики несинусоидального тока, представленного в виде ряда Фурье.

3. Порядок расчета линейных цепей при несинусоидальных источниках.

4. Как зависят реактивные сопротивления от номера гармоник?

5. Как рассчитать активную мощность в цепи несинусоидального тока?

6. Как рассчитать действующие значения в цепи несинусоидального тока?

1.5. Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы возникают в результате коммутаций, которые представляют собой включения и отключения источников питания, включения и отключения участков цепей, скачкообразное изменение параметров элементов и т.д. Анализ переходных процессов проводят на основании законов коммутации.

1. При коммутации напряжение на емкостном элементе не может изменяться скачком:

U_C(0-) = U_C(0) = U_C(0+) _{_},

где (0-) – момент до коммутации, (0) – момент коммутации,

(0+) – момент сразу после коммутации.

2. При коммутации ток в индуктивном элементе не может изменяться скачком:

i_L(0-) = i_L(0) = i_L(0+).

Расчет переходных процессов классическим методом

Искомая функция y(t) (ток или напряжение) представляется в виде суммы свободной и принужденной составляющих. Принужденная составляющая находится из расчета цепи в установившемся режиме (после завершения переходного процесса). Необходимо учитывать, что в установившемся режиме при наличии только постоянных источников ток через конденсатор равен нулю, сопротивление и напряжение идеальной катушки индуктивности также равны нулю.

Свободная составляющая находится как общее решение однородного дифференциального уравнения. Для цепи первого порядка

.

Для цепи второго порядка

.

Параметр р находится из уравнения

z(p) = 0,

где z(p) - выражения для характеристического сопротивления цепи в послекоммутационном режиме. Характеристическое сопротивление записывается как полное сопротивление цепи переменному току с заменой множителя j на р: jL  pL,

1/jC  1/pC.

Для цепи первого порядка z(p) – линейное уравнение с одним корнем, для цепи второго порядка – квадратное уравнение. Возможны три варианта: один корень (дискриминант равен нулю), два действительных корня р₁ и р₂ ( дискриминант больше нуля), два комплекс-сопряженных корня р₁ и р₂ (дискриминант меньше нуля).

В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер: напряжение и ток на участках цепи изменяются со временем без колебаний. В последнем случае наблюдается периодический (колебательный) процесс.

Постоянные интегрирования А, А₁, А₂ находятся из начальных условий. Начальные условия разделяют на независимые и зависимые. Независимые - напряжение на конденсаторе и ток в катушке в момент коммутации. Зависимые - ток в конденсаторе, напряжение на катушке, токи и напряжения на резисторах в момент t = (0+). Зависимые условия получаются из расчета схемы для послекоммутационного режима с учетом независимых условий.

Расчет закончен, если для искомой функции найдены корни (корень) характеристического уравнения и определены константы (константа) интегрирования. Окончательное решение имеет вид

y(t) = y(t)_св + y(t)_пр .