1.2. Линейная электрическая цепь синусоидального тока

Синусоидальным называется ток, изменяющийся со временем по закону

i = I_m sin(t + ψ),

где i – мгновенное значение тока;

I_m – амплитуда (максимальное значение);

(t + ψ) - фаза тока (характеризует состояние колебательного процесса в данный момент);

ψ - начальная фаза тока ( фаза в момент t=0);

 - циклическая (угловая ) частота,  = 2  f ;  [рад/с],

f [ Гц ].

Начальная фаза определяет сдвиг графика синусоиды относительно начала отсчета. Если ψ >0 , то график смещается влево (опережение); если ψ <0 , то график смещается вправо (отставание). На рисунке изображен график функции i = 10 sin( + /4). По горизонтальной оси откладывается угол  =t в радианах, по вертикальной оси откладывается мгновенное значение i. Синусоида смещена влево от начала отсчета на угол /4 = 0,785.

Рис.1.2-1

Две синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой, в общем случае могут различаться по амплитуде и по фазе. Различие фаз характеризуется разностью фаз (сдвигом по фазе).

Цепи синусоидального тока, как правило, рассчитываются комплексным (символическим) методом. В основе этого метода лежит представление синусоидальных функций времени комплексными числами. Например,

i = I_m sin(t + ψ) I = I_m e ^{j(t + ψ )} = I_m e ^jt e ^{j ψ} ,

где - мнимая единица.

Если токи и напряжения в схеме изменяются с одинаковой частотой, то их комплексы будут содержать одинаковый множитель e ^jt, который в расчетах можно не учитывать. Таким образом, в символическом методе рассчитываются комплексы амплитуд или комплексы действующих значений:

Комплексное число можно представить в показательном или алгебраическом виде:

Переход от показательной к алгебраической форме:

где – соответственно действительная часть, мнимая часть и модуль числа.

Переход от алгебраической к показательной форме:

Арифметические операции с комплексными числами выполняются по формулам:

В цепи синусоидального тока, кроме активного сопротивления R , рассматриваются индуктивное и емкостное сопротивления:

Х_L = L; X_C =1/C.

В комплексном виде

Мгновенные значения напряжений на элементах R, L, C

Если ток синусоидальный i = I_m sin(t) , то соответствующие напряжения

Таким образом, на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивности напряжение опережает ток на угол 90⁰, на емкости напряжение отстает от тока на угол 90⁰. Данные соотношения справедливы для идеальных элементов. Реальная катушка, кроме индуктивности, обладает активным сопротивлением, поэтому сдвиг фаз между током и напряжением будет меньше 90⁰. Реальный конденсатор характеризуется не только емкостью, но и активной проводимостью, обусловленной токами утечки и токами смещения. В таком конденсаторе сдвиг фаз между током и напряжением также будет меньше 90⁰.

Цепи синусоидального тока рассчитываются теми же методами, что и цепи постоянного тока. Рассмотрим схему

Рис. 1.2-2

Данную схему рассчитаем методом двух узлов.

.

Направим токи в ветвях от узла а к узлу b, тогда по закону Ома

Комплексные величины можно представить в виде векторов, отложенных на комплексной плоскости. Совокупность векторов, представляющих токи и напряжения в какой-либо схеме, называют векторной диаграммой. Например, пусть в некоторый узел втекают три тока:

Тогда векторная диаграмма токов имеет вид

Рис. 1.2-3

Вопросы для самоконтроля

1. Какой ток называется синусоидальным? Перечислите основные характеристики синусоидального тока.

2. Как представить синусоидальные токи и напряжения в виде комплексов?

3. Формы представления комплексных чисел.

4. Как рассчитать сопротивления в цепи синусоидального тока?

5. Напишите выражения для мгновенных значений напряжения на элементах R, L, C.

6. Каковы значения сдвига фаз между током и напряжением на элементах R, L, C?