14. Анализ коэффициентов уравнения регрессии

Анализ коэффициентов уравнения регрессии предполагает проверку гипотезы о их значимости (существенном отличии от нуля) и построение доверительных интервалов для них.

Анализ коэффициентов уравнения регрессии, построенного

с помощью элементарной функции

Вычисляются оценки стандартных отклонений коэффициентов А и В

,

где , , ,

– экспериментальные точки, пересчитанные в систему координат, в которой выбранная аппроксимирующая функция линейна. Заметим, что для степенной функции нужно также пересчитать коэффициент А, а для показательной – оба коэффициента А и В (см. замену переменных в методе выравнивания (таблица перед формулой )).

Далее при заданном уровне доверительной вероятности р рассчитывается квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы , т.е. (Приложение 3, формула ).

Гипотеза о значимости коэффициента или принимается с вероятностью р, если, соответственно, справедливы условия

.

Если гипотеза о значимости какого-либо коэффициента отклоняется, то его значение следует принять равным нулю.

Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов уравнения регрессии определяются по формулам

,

,

Анализ коэффициентов уравнения регрессии, построенного

с помощью полиномов Чебышева

Стандартное отклонение коэффициента можно найти по формуле

,

где – значения полиномов Чебышева в экспериментальных точках ,

– значения, вычисляемые по формуле .

Далее при заданном уровне доверительной вероятности р рассчитывается квантиль распределения Стьюдента (Приложение 3, формула ), где k – степень полинома, описывающего уравнение регрессии.

Коэффициент является значимым с заданной доверительной вероятностью р, если

.

Если гипотеза о значимости какого-либо коэффициента отклоняется, то его значение следует принять равным нулю.

Доверительный интервал для истинных значений коэффициентов уравнения регрессии строится по формуле

.

15. Проверка адекватности модели

Под адекватностью модели (соответствие уравнения регрессии экспериментальным данным) понимается статистическая неразличимость результатов наблюдений и значений , вычисляемых по уравнению регрессии. Статистическая неразличимость определяется проверкой гипотезы. При этом используется вся таблица экспериментальных данных

1. Вычисляется значение дисперсии D, определяемой рассеянием значений вокруг линии регрессии (остаточная дисперсия), по формуле

где – количество коэффициентов уравнения регрессии,

– среднее значение отклика при i-ом уровне воздействия.

2. Вычисляется значение дисперсии , определяемой естественным рассеянием значений вокруг своих средних , по формуле

,

где .

3. При заданной доверительной вероятности р вычисляется квантиль распределения Фишера (Приложение 3, формула ).

4. Ошибка в определении регрессии с доверительной вероятностью р признается статистически значимой, если

.

В этом случае уравнение регрессии не соответствует экспериментальным данным. Следует проверить правильность расчета коэффициентов уравнения регрессии и, если ошибки отсутствуют, выбрать другую аппроксимирующую функцию.