- •Аннотация
- •Пособие может быть использовано также для других специальностей и направлений, при подготовке магистерских и кандидатских диссертаций введение
- •Техническое задание
- •Основная часть
- •1. Формирование статистического распределения
- •2. Расчет координаты центра опытного распределения
- •3. Расчет оценок стандартных отклонений
- •4. Идентификация закона распределения методом моментов
- •5. Устранение грубых ошибок многократных измерений
- •6. Исключение прогрессирующей систематической погрешности
- •7. Критерии нормальности опытного распределения
- •8. Определение случайной погрешности результата измерения
- •9. Проверка однородности дисперсий
- •10. Определение значимости корреляционной связи
- •11. Аппроксимация элементарными функциями
- •12. Регрессия полиномами Чебышева
- •13. Устранение грубых ошибок совместного измерения
- •14. Анализ коэффициентов уравнения регрессии
- •15. Проверка адекватности модели
- •16. Прогнозирование по уравнению регрессии
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Приложение 7
- •Список литературы
16. Прогнозирование по уравнению регрессии
Если найдено уравнение регрессии , адекватно описывающее экспериментальные данные, то можно с его помощью вычислить значение отклика Y при уровне Х, отличном от условий проведения эксперимента, т.е. сделать прогноз о возможном значении Y. Это важно, когда нужно узнать о поведении исследуемого объекта в условиях, воспроизведение которых по разным причинам невозможно.
Расчет прогнозируемого значения отклика производится подстановкой требуемого значения воздействия в уравнение регрессии. Поскольку значение оценивается по реализации случайных величин и (экспериментальные данные), то оно также случайно, поэтому необходимо определить доверительный интервал полученного значения .
Если уравнение регрессии получено с помощью аппроксимации элементарными функциями, то границы доверительного интервала для заданной доверительной вероятности р вычисляются по формуле
,
где , , , ,
– экспериментальные точки,
– коэффициенты уравнения регрессии,
– уровень воздействия, для которого ведется прогноз,
– квантиль распределения Стьюдента (Приложение 3, формула ).
Заметим, что формула справедлива для системы координат, в которой уравнение регрессии является линейной функцией, поэтому, прежде чем её применять, следует пересчитать в эту систему участвующие в формуле координаты (см. замену переменных в методе выравнивания (таблица перед формулой )). Для функций, которые предусматривают пересчет координаты y, ещё необходимо провести обратный перенос результата вычисления по формуле в исходную систему координат.
Если уравнение регрессии получено с помощью полиномов Чебышева по равноотстоящим значениям , то границы доверительного интервала для значения (r – глубина прогноза) вычисляются по формуле
,
где – величина остаточной дисперсии,
– квантиль распределения Стьюдента (Приложение 3, формула ),
– коэффициент, зависящий от количества точек n, по которым определялось уравнение регрессии и глубины прогноза.
Для линейной регрессии ( )
Для квадратичной регрессии ( )
,
где , .
Для вычисления и можно использовать следующие формулы
,
.
Приложение 1
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА
Обозначение |
|
Параметры |
|
Плотность вероятности |
|
Функция распределения |
|
Среднее |
|
Дисперсия |
|
Стандартное отклонение |
|
Коэффициент вариации |
|
Коэффициент асимметрии |
0 |
Коэффициент эксцесса |
0 |
В практических задачах используется нормированная случайная величина , распределение которой называется нормированным нормальным распределением (или стандартным нормальным распределением) .
Значение дифференциальной функции стандартного нормального распределения определяется по формуле
.
Значение интегральной функции стандартного нормального распределения можно определить с помощью аппроксимации
Значение функции Лапласа вычисляется через значение
.
Значение р-квантиля стандартного нормального распределения можно определить по аппроксимации
Значение р-квантиля нормального распределения с параметрами и вычисляется через квантиль стандартного нормального распределения
.