10. Определение значимости корреляционной связи

Если измеряемые величины зависимы друг от друга, то они называются коррелированными, в противном случае – некоррелированными. Степень такой зависимости определяется коэффициентом корреляции.

Пусть имеются две выборки и объемом n, тогда оценка коэффициента корреляции случайных величин и определяется выражением

где ,

, – средние арифметические значения.

Значимость корреляционной связи между величинами и определяется проверкой статистической гипотезы.

Наблюдаемым значением критерия при этом является модуль оценки коэффициента корреляции, т.е.

.

Критическое значение критерия определяется в зависимости от объема результатов наблюдений n и значения доверительной вероятности р

– при

,

где ,

– квантиль стандартного нормального распределения (Приложение 1, формула ),

– при

,

где – квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы (Приложение 3, формула ),

– при

где – квантиль стандартного нормального распределения (Приложение 1, формула ),

Корреляционная связь признается значимой с вероятностью р, если

.

11. Аппроксимация элементарными функциями

Пусть заданы значения аргумента некоторой функции, называемые узлами, и соответствующие им значения этой функции . Необходимо определить аналитический вид функции , близко проходящей через точки . Решение этой задачи называется аппроксимацией, а функция называется аппроксимирующей.

– уклонение (разность в i-ой точке между значением аппроксимирующей функции и экспериментальным значением, т.е. ). В математической статистике уклонения называют регрессионными остатками. Критерием близости аппроксимирующей функции к экспериментальным точкам в методе наименьших квадратов является минимальная сумма квадратов уклонений, т.е.

Аппроксимация может быть линейной, когда используется функция и нелиней-ной.

В качестве аппроксимирующих чаще всего используются следующие нелинейные функции

.Степенная
Логарифмическая
Гиперболическая
Дробно-линейная 1
Дробно-линейная 2
Показательная

Выбор аппроксимирующей функции может проводится двумя методами:

1. Рассчитываются уклонения для нескольких функций и выбирается функция с минимальным значением критерия .

2. Аппроксимирующая функция методом замены переменных преобразуется к линейному виду (метод выравнивания)

Исходная функция	Замена переменных	Выровненная функция

Функция наилучшим образом проходит через экспериментальные точки, если эти точки в новой системе координат лежат на одной прямой. Для этого нужно, чтобы разделенные разности первого порядка

были примерно (а в идеальном случае строго) равны, т.е.

.

Таким образом, алгоритм выбора аппроксимирующей функции методом выравнивания следующий:

1. Рассчитываются разделенные разности первого порядка по координатам экспериментальных точек . Если они равны, то в качестве аппроксимирующей выбирается линейная функция. В противном случае переход к шагу 2.

2. Экспериментальные точки пересчитываются в новую систему координат для нелинейных функций.

3. Вычисляются значения разделенных разностей первого порядка по формулам .

4. Выбирается та функция, для которой значения разделенных разностей наиболее близки друг к другу.

Коэффициенты А и В выбранной функции рассчитываются через вспомогательные коэффициенты Р и Q, которые определяются по формулам

где

Аппроксимирующая функция	А	B	Переменные
			,
			,
			,
			,
			,
			,
			,

Альтернативным методом поиска уравнения регрессии является аппроксимация полиномами Чебышева.