- •Аннотация
- •Пособие может быть использовано также для других специальностей и направлений, при подготовке магистерских и кандидатских диссертаций введение
- •Техническое задание
- •Основная часть
- •1. Формирование статистического распределения
- •2. Расчет координаты центра опытного распределения
- •3. Расчет оценок стандартных отклонений
- •4. Идентификация закона распределения методом моментов
- •5. Устранение грубых ошибок многократных измерений
- •6. Исключение прогрессирующей систематической погрешности
- •7. Критерии нормальности опытного распределения
- •8. Определение случайной погрешности результата измерения
- •9. Проверка однородности дисперсий
- •10. Определение значимости корреляционной связи
- •11. Аппроксимация элементарными функциями
- •12. Регрессия полиномами Чебышева
- •13. Устранение грубых ошибок совместного измерения
- •14. Анализ коэффициентов уравнения регрессии
- •15. Проверка адекватности модели
- •16. Прогнозирование по уравнению регрессии
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Приложение 7
- •Список литературы
12. Регрессия полиномами Чебышева
Если не удается подобрать элементарную функцию, адекватно описывающую экспериментальные данные, то нужно применять регрессию полиномами.
Любое уравнение регрессии может быть представлено в виде полинома степени k
,
где – полином Чебышева порядка i.
Полиномы Чебышева первых двух порядков имеют вид
.
Полином Чебышева произвольного порядка можно найти, зная полиномы двух предыдущих порядков и , по формуле
где
– значения полиномов Чебышева в точках .
Коэффициенты уравнения регрессии находятся по формуле
Оптимальное значение степени полинома k находится последовательным уточнением (увеличением значения k, начиная с величины ). Значение степени полинома оптимально, если оно обеспечивает наименьшее значение остаточной дисперсии (дисперсии, обусловленной разбросом экспериментальных точек вокруг линии регрессии). Иными словами, последовательное увеличение величины k обеспечивает приближение аппроксимирующей кривой к экспериментальным точкам (т.е. уменьшает остаточную дисперсию) до тех пор, пока не будет достигнуто оптимальное значение k, после которого его дальнейшее увеличение приводит к увеличению .
Остаточная дисперсия определяется по формуле
где
Таким образом, алгоритм поиска уравнения регрессии в виде следующий:
Принимается значение .
1.1. Определяются выражения для полиномов и .
1.2. Вычисляются значения полиномов и в экспериментальных точках .
1.3. Вычисляются коэффициенты и и составляется уравнение регрессии порядка 1.
1.4. Вычисляется значение остаточной дисперсии .
Принимается значение .
2.1. Определяется выражение для полинома .
2.2. Вычисляются значения в экспериментальных точках .
2.3. Вычисляется коэффициент и составляется уравнение регрессии порядка 2.
2.4. Вычисляется значение остаточной дисперсии .
3. Сравниваются значения и . Если , то в качестве модели выбирается уравнение регрессии порядка 1. Если , то переходят к следующему шагу.
4. Проводятся аналогичные вычисления для , затем для и т.д.
Вычисления заканчиваются, когда будет установлено, что для некоторого значения k справедливо . Таким образом, достигнуто наименьшее значение остаточной дисперсии и оптимальная степень полинома установлена.
13. Устранение грубых ошибок совместного измерения
Наличие грубых отклонений (промахов) в значениях , не связанных с естественным разбросом, может приводить к большим ошибкам при построении регрессии. Обнаружение промахов осуществляется проверкой статистической гипотезы. Наиболее простым является критерий Прескотта-Лунда. При этом вычисляются регрессионные остатки
,
где – результат i-ого измерения величины ,
– значение, вычисленное подстановкой i-ого наблюдения величины в уравнение регрессии.
Наблюдаемое значение критерия Прескотта-Лунда вычисляется по формуле
,
где – наибольшее значение модуля регрессионных остатков.
Критическое значение критерия при заданной доверительной вероятности р вычисляется по формуле
,
где – квантиль распределения Фишера со степенями свободы (Приложение 4, формула ).
Гипотеза о наличии в i-ом результате наблюдений промаха при заданном уровне доверительной вероятности р принимается, если
.
Этот результат должен быть исключен из экспериментальных данных, а оценки коэффициентов уравнения регрессии должны быть пересчитаны.