619_Sidel'nikov_G._M._Statisticheskaja_teorija_radiotekhnicheskikh_

x2 y2 p(y2/x2)

Рис. 3.9. Граф однородного двоичного канала

На этом рисунке x1 и x2 – сигналы на входе канала связи, y1 иy2 – сигналы на выходе. Вероятности переходов указаны на Рис. 3.9. Если канал симметричный, то вероятности переходов попарно равны.

Обозначим:

p(y2/x1)=p(y1/x2)= pош – вероятность ошибки, p(y1/x1)=p(y2/x2)=1 pош – вероятность правильного приёма. В соответствии с формулами (3.4) и (3.5)

p x2 pош log pош p x2 1 pош log 1 pош

pош log pош 1 pош log 1 pош .

Подставив это значение условной энтропии в выражение для пропускной способности канала, то получим:

41

C, бит/с

1/ э

pош

3.10. Зависимость пропускной способности от вероятности ошибки в канале

На рис. 3.10. построен график зависимости пропускной способности двоичного симметричного канала от вероятности ошибки.

Для канала с k>2 пропускная способность определяется почти аналогичной формулой:

В заключении рассмотрим один пример. Пусть имеется двоичный источ-

Если вероятность искажения pош =0,01, то из этого следует, что из 1000

элементов сигнала, переданных за одну секунду, в среднем 990 элементов будут приняты без искажений и только 10 элементов будут искажены. Казалось бы, пропускная способность в этом случае будет составлять 990 бит в секунду. Однако вычисление по формуле (3.10) даёт нам величину, значительно меньшую (C=919 бит/с). В чём здесь дело? А дело в том, что мы получили бы C=990 бит/с, если бы точно знали, какие именно элементы сообщения искажены. Незнание этого факта (а это практически знать невозможно) приводит к тому, что 10 искажённых элементов настолько сильно снижают ценность принимаемого сообщения, что пропускная способность резко уменьшается.

Другой пример. Если pош =0,5, то из 1000 переданных элементов 500 не

будут искажены. Однако теперь уже пропускная способность будет составлять не 500 бит/с, как можно бы предполагать, а формула (3.10) даст нам величину C=0. Действительно при pош =0,5 сигнал по каналу фактически уже не проходит

и канал просто эквивалентен генератору шума.

При pош 1 пропускная способность приближается к максимальной вели-

чине. Однако в этом случае сигналы на выходе системы необходимо инвертировать.

42

3.11. . Пропускная способность непрерывного канала

Если x(t) – сигнал на входе канала, а y(t)=x(t)+n(t) – сигнал на его выходе (n(t)– аддитивная помеха), то скорость передачи информации по непрерывному каналу будет определяться выражением (3.31), в котором величину 1/ надо заменить на 2Fmax ( или 2Fk , предполагая, что источник сигнала согласован с каналом и его полоса пропускания Fk= Fmax)

где, как и ранее, h(y) – это энтропия выходного сообщения, h(y/x) – энтропия шума (почему она так называется, будет видно из дальнейшего изложения).

Дифференциальные энтропии в этом случае определяются по соответствующим формулам (3.19) и (3.20).

Пропускная способность равна максимально возможной скорости передачи по каналу, когда источник сигнала полностью согласован с характеристиками канала

При учёте влияния помехи необходимо рассматривать наихудший случай, когда помеха распределена также по гауссовскому закону.

Условная вероятность w(y/x), используемая при определении h(y/x), – это попросту ФПВ случайной величины y при якобы известном заранее значении x, хотя величина x является случайной. Но, так как y(t)=x(t)+n(t), можно записать

В этом выражении предполагается, что x известно заранее. Таким образом, величина x в приведенном выражении является попросту математическим ожиданием величины y. Однако известно, что энтропия непрерывного случайного процесса от математического ожидания не зависит.

43

Ф[x(t)]

Рис. 4.1. Решающее устройство

Втеории статистических решений ставится и решается задача синтеза оптимальных решающих устройств. В СТРТС эти задачи решаются в приложении

ктеории и практике приема сигналов в условиях шума.

Вприёмном устройстве РУ может располагаться как до, так о после демодулятора (детектора). При этом одноканальное РУ имеет один вход, многоканальное – к входов(рис. 4.2.).

k

k V -координаты пространства.

V

0

Рис. 4.2. Многоканальное РУ

Сигнал во всех каналах содержит одну и ту же информацию. Общий процесс, из которого выделяется нужная информация, является векторным случайным процессом

Многоканальное РУ позволяет организовывать систему пространственновременного наблюдения.

Если РУ имеет один выход, то это однофункциональное РУ; многофункциональное РУ имеет несколько выходов. Например, решающее устройство решает задачу обнаружения сигнала в шумах и измерение значения какого-либо

45

из его параметров (амплитуды, фазы и пр.).

По априорным сведениям о сигнале на входе РУ разделяются:

полная априорная информация о входном процессе x(t), 0 t T (синтез при полностью известном сигнале): в этом случае вероятностная модель x(t) задана полностью в виде конечномерных функций плотности распределения

wn x,t , n 1,2,..., .

параметрическая априорная неопределенность о процессе x(t)(синтез при не полностью известном сигнале): вероятностная модель x(t) задана не полностью, с точностью до конечного числа параметров ,

wn x,t, ,n 1,2,...;

(может быть известна область возможных значений параметра ); параметр θ может быть векторным с m-компонентами

m

непараметрическая априорная неопределенность о процессе x(t) (синтез при непараметрической неопределенности): вероятностная модель x(t) задана с точностью до бесконечного числа параметров, фактически не известна функция плотности распределения для данного момента времени t(может быть известно, что одномерная функция w1 x,t P0 (принадлежит классу Р0), например, клас-

су функций симметричных относительно 0).

Наиболее типичные задачи, решаемые в процессе синтеза РУ в зависимости от назначения РТС:

–обнаружение сигнала на фоне помех;

–различение сигналов на фоне помех;

–оценка параметров сигнала на фоне помех;

–различие двух сигналов и оценка их параметров;

–восстановление формы (фильтрация) сигнала.

Таким образом, любой приемник обязательно содержит хотя бы одно решающее устройство, которое в соответствии с некоторым правилом решения Ф(х), определяет значение информационного параметра (принимает решение о значении выходного сигнала γ, используя входной сигнал x(t)).

Рассмотрим постановку задачи синтеза РУ в зависимости от назначения РТС на следующих примерах.

Пример 4.1 Обнаружение сигнала.

При обнаружении сигнала на фоне помех в результате анализа сигнала x(t) на интервале 0 t T формулируется две гипотезы:

гипотеза Н0: x(t) – только помеха, то есть x(t)=n(t), 0 t T ;

46

правило решения устанавливает функциональное соответствие между множеством реализаций сигнала x(t)и множеством Г. В дальнейшем будут расматриваться только детерминированные правила решения.

ли оно устанавливает статистическую связь между входом и выходом (между множеством реализаций сигнала xi(t)и множеством Г ), Рис. 4.4.

Рис. 4.4. Рандомизированное правило решения

На рисунке 4.4 реализации сигнала xi t и решения k связаны вероятностью Pki ,где Pki i 0,1,...,m - совместная вероятность i-й реализации сигна-

ла на входе и k-го решения на выходе.

Следует отметить, что рандомизированное правило решения в среднем никогда не лучше детерминированного решения.

Пример 4.2 Различение двух разных сигналов (или m сигналов).

При различении двух сигналов на фоне помех в результате анализа сигнала x(t) на интервале 0 t T формулируется две гипотезы:

гипотеза Н0: x(t) – смесь сигнала S0(t).и помехи, то есть

x(t)=S0(t)+n(t), 0 t T ;

гипотеза Н1: x(t) – смесь сигнала S1(t).и помехи, то есть

Врезультате должно быть найдено правило решения Ф x t , которое

позволит принять одну из указанных гипотез. При этом γ принимает два значения из множества Г→( γ0 ,γ1):

γ0 – справедлива гипотеза Н0, γ1 – справедлива гипотеза Н1.

Приемник решает, какой из сигналов (S1или S2 ) имеется на его входе ; на рисунке 4.3б показаны два вектора сигналов вместе с помехами. Все пространство сигналов и помех разбивается на подпространства по числу сигналов: в

48

данном случае подпространство сигнала S0(t) (гипотеза Н0) и подпространство сигнала S1(t) (гипотеза Н1). Приемник принимает решение в пользу той гипотезы, в подпространстве которой находится конец вектора суммы сигнала и помехи. Если под действием помехи конец суммарного вектора попадет в чужое подпространство, произойдет ошибка в принятии решения.

Следует иметь в виду, что, когда приемник предназначен для приема дискретных сигналов (обнаружение сигналов, различение сигналов), то, как правило, форма выходных сигналов не совпадает с формой сигналов на его входе. Например, если приемник осуществляет различение сигналов S1(t) = A cos 1t и S2(t) = A cos 2t, 0 t T (дискретная частотная модуляция), то при приеме сигнала S1(t) на выходе приемника будет импульс напряжения положительной полярности, а при приеме сигнала S2(t) - импульс отрицательной полярности (или 0, в зависимости от конкретной реализации схемы приемника).

В общем случае модель сигнала может быть представлена во временном пространстве в виде:

x t Sv t n t ,0 t T , (4.5) v {0,1...},

и в вероятностном пространстве в виде k-мерной функции плотности распределения: wn x,v , причем при изменении v может изменяться и вид функции. Параметр v обычно называется параметром состояния входного сигнала.

Пример 4.3 Оценка параметров сигнала.

Например, в РУ определяется амплитуда сигнала или величина его запаздывания. Такая задача решается в телеметрических системах, в радиолокации; при этом скорость изменения измеряемого параметра сигнала значительно меньше скорости измерения (то есть значение параметра не изменяется в процессе измерения).

В рассматриваемом примере на входе РУ всегда присутствует сигнал вместе с помехой

которой зависит от конкретного вида реализации сигнала на входе, то есть оценка ˆ является случайной величиной.

49

Рис. 4.5. Оценка параметра сигнала

Разные реализации дают разные точки около истинного значения параметра .

Таким образом, в решении задачи ставится соответствие множеству реализаций сигнала xi (t) xT через правило решения Ф x множество оценок ампли-

туды сигнала ˆi .

Пример 4.4 Различие двух сигналов с неизвестными параметрами.

При различении двух сигналов с неизвестными параметрами на фоне помех в результате анализа сигнала x(t) на интервале 0 t T формулируется две гипотезы:

где , - векторный параметр с двумя компонентами:λ – непрерывная компонента, v– дискретная компонента.

Истинное значение параметра λ неизвестно. При этом, если v =0, то 0 ; если v =1, то 1 , то есть при изменении параметра состояния v может изменяться и пространство решений (рис 4.6).

(v 0) 0 (v 1) 1

50