5. Аппроксимация характеристик.

5.1.Общие положения

Аппроксимация – замена истинной сложной характеристики более простым выражением.

Аппроксимация состоит из 3-х этапов:

1) выбор аппроксимирующей функции.

2) определение коэффициента аппроксимации.

3) оценка точности аппроксимации.

23

5.2. Аппроксимация полиномом.

В этом случае произвольная характеристика ( для определенности будем рассматривать вольт-амперную характеристику ВАХ )– аппроксимируется полиномом вида:

i = a₀ + a₁U + a₂U ² + a₃U ^{3 +} (5.1)

При этом виде аппроксимации обычно требуют совпадения заданной и аппроксимирующей характеристик в нескольких выбранных точках (см. рис.5.1)

i

i з (u)

i(u)

3

2

Рис.5.1

1 u

I (u ) з - заданная вах. I(u) - аппроксимирующая вах. I (u ) з и I(u) должны совпадать в заданных точках (1,2 и 3). M I u

1( ; )

1 1

m i U

2( ; ) 2 2

m i U

3( ; ) 3 3

(5.2)

_{Составим уравнения для определения} a_{k .}

^⎪_⎨⎧

2

i a a U a U = + +

1 0 1 1 2 1 2

i a a U a U = + +

(5.3)

2 0 1 2 2 2 ^⎪⎩

2

i a a U a U = + +

3 0 1 3 2 3

Отсюда определяем _{0 1 2} a ,a ,a . Размерность аk, если :

i[ ] [] мА ,U В , то a0[mA], a1[mA/B], a2[mA/B²].

5.3. Линейно-ломаная аппроксимация. При этом виде аппроксимации заданная характеристика iз(u) аппроксимируется отрезками прямых (рис.5.2) :

24

S u E u E

( ),

_⎩⎨^⎧_<^{− ≥} =₀0 0

ⁱ (5.4)

0,

u E

^{i S tg} ₋ = α =

1

u E

1 0

E0 -напряжение отсечки i

i1

iз(u) α

Е0 u1 u

Рис.5.2

Вопросы для самопроверки.

1.Что такое аппроксимация?

2.Какие виды аппроксимации Вы знаете?

3.Что такое аппроксимация полиномом?

4.Аппроксимируйте произвольную ВАХ полиномом.

5. Аппроксимируйте произвольную ВАХ отрезками прямых.

6. Методы расчёта спектра тока на выходе нэц. 6.1. Метод угла отсечки.

Ток на выходе нелинейного элемента имеет вид импульсов при входном гармоническом воздействии (рис.6.1).

Углом отсечки θ называется половина части периода, выраженная в градусах, в течение которого протекает выходной ток (рис.6.2).

i i(t)

Imax

E E₀

u t θ 2θ

Um

t Рис.6.1

25

i θ =180° i θ =90° i θ<90°

t t t

i i

θ>90° θ = 0°

t t Рис.6.2.

На рис. 6.1 на входе нелинейного элемента (НЭ) действует гармоническое напряжение с частотой ω0 и амплитудой Um. Напряжение смещения Е задает рабочую точку на ВАХ . Ток на выходе НЭ имеет вид импульсов с амплитудой Imax. Периодическую последовательность импульсов iвых (t) представим рядом Фурье:

( ) cos cos 2 cos3 cos 4 .... i_вых t = I₀ + I₁ ω₀t + I ₂ ω₀t + I₃ ω₀t + I ₄ ω₀t + (6.1) Порядок расчета амплитуд гармоник Ik методом угла отсечки следующий:

1) Определяем (1 cos ) I _max = SU_m − θ i

E − ^E = ⁰

cosθ (правая ВАХ) u

2) Рссчитываем : _Um

i

E E⁰ _cos ⁻ θ = (левая ВАХ) u

_Um

3) определяем амплитуду n-ой гармоники.

( ) I_n =I_maxα_n θ

α (θ ) _n - коэффициенты Берга (определяем по графикам в учебнике[1]). Коэффициент гармоник характеризует относительный уровень нелинейных искажений гармонического сигнала и рассчитывается по формуле:

2

2

2

I I I

K_Г^{+ + + =} (6.2)

2

I

1

3

4

26

Спектр входного напряжения.

u

Um

0 ω0 ω Рис.6.3

Спектр выходного тока.

i

…… Рис.6.4.

0 ω0 2ω0 3ω0 4ω0 ω Угол отсечки θ _опт - называется оптимальным, если амплитуда n-ой гармоники будет максимальной.

Если _max I _{= const, то n опт}^{ 120} θ = (например, ₃I _{- максимальна, если} ^ = 40 θ_опт ) ^{ 180} θ ⁼ (например, I4 - максимальна при θ _опт =45⁰)

Если Um^{= const, то} n ^опт