11.6.Фпв и фрв для дискретных случайных процессов.

Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0. Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.

x(t)

а

T1

Т2 t Рис.11.11

b

T1+T2=T

Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации.

^{< < + Δ} =

^{P x x x x} W x

^{( )} ( ) lim

1 1

₀ 1

Δ →

x

_⎜^⎜_⎝^⎛ ⎟ ^Δ _⎠^{⎞ ⎜}_⎝^⎛ =

^T W x

Δ

x

_⎜^⎜_⎝^⎛ ⎟ ^Δ _⎠^{⎞ ⎜}_⎝^{⎛ +} _⎟^⎟_⎠⎞ _⎟^⎟_⎠⎞

T

( ) lim / lim /

₀ 1

1

T

x

0

2

T

x

Δ → Δ → x x

59

T1/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение а.

T2/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение b.

^T W x

T

T

_{( ) ( )} ¹ _{( ) lim} ¹ ( ) lim _Δ = _{Δ → Δ →}

если x a

_Δ ⋅ = +

если x b

⋅ = = − +

1

1

T x

2

T x

1

T

δ

x a

x x

0

0

T

+ −

2

T

δ

( ) x b

ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:

W(x)

T _{δ − ( )} ¹ x a

( ) ² x b T

T _{δ −}T

Рис.11.12. b 0 a x

^{x b} _,^0, δ ^{( )}

^{x a} _,^0, δ ^{( )} _⎩⎨^⎧_{∞ =}^{≠ − =} x b

_⎩⎨^⎧_{∞ =}^{≠ − =} x a

x a

x b

ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и x=b имеет вид:

^{> =} ₌^{⋅ <} = =

^, ( ) ( )

x

∫

F x W x dx −∞

если x b то F x

( ) 0

x b <

x a

T

= +

2

T

x

∫

T

T

x a dx x a

T

+ − = > = + =

δ

( ) 1

1 2 1

−∞

T

_⎪^⎪_⎨⎧

0 ,

x b <

T

T

F x

T

( ) ² =

,

T

b x a < <

_⎪^⎪⎩

1,

x a >

60

F(x)

1

T2/T1

Рис.11.13.

t

b a

Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения:

x=a c вероятностью T1/T, x=b c вероятностью T2/T

∞

∞

T

∞

T

∞

^{= = − + − = − = =} ∫ ∫ ∫ ∫

m xW x dx x

x b dx x

x a dx f x x a dx f a

₁ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ

2 1

T

−∞

^T b

a

−∞

T

−∞

T

−∞

= + 2 1

T

∞

T

T

T

^{= = +} ∫

2 2 2 2 1 ( )

m x W x dx b 2

−∞

a

T

T

2

T

T

T

^T b

σ

2 2 2 2 1 2 1 2

m m b

a

( )

a

= − = + − +

2 1

T

T

T

T