3.2. Спектр дискретизированного сигнала.

Рассмотрим временные диаграммы исходного и дискретизированного сигналов:

x(t)

t

0 Δt 2Δt 3Δt 4Δt Рис. 3.6

xд(t)

0 Δt 2Δt 3Δt 4Δt t

x (t) x(t)U (t) _д = _δ - дискретизированный сигнал

x(t)- исходный сигнал.

U (t) _δ -периодическая последовательность δ - импульсов

16

Разложим периодическую последовательность δ-импульсов в ряд Фурье, как мы это делали выше:

^{1 1 1} ( )

U t

_Δ = +

−

j t j t ω ω

 

^et

+

+

e

+

δ

д д

Δ

t t Δ

_] ^{1 1 1} ( ) ( ) ( ) ( )[

−

x t x t U t x t

_Δ = = +

j t j t ω ω

 

^et

+

+

e

+

д

δ

д д

Δ

t t Δ

Найдём спектр дискретизированного сигнала.

∞

∞

∞

_{( )} ¹ _{( )} ¹ ( ) ( )

− − + ₋ ∙ ∫ ∫∫

j t j t j t

ω ω ω ω

S x t e dt



( )

ω

_Δ = = +

x t e dt

+

x t e dt

+

_д д −∞

t

д

−∞

Δ

t

−∞

_{∙ ∙} ∞ _{( )} ¹ _{( )} ¹ _{( )} 1

(3.4)

+

∫

j t

( )

ω ω

− −

x t e dt д

 

+ = +

S

Sx

ω ω ω + +

+

Δ

t

−∞

Δ

t

x д

Δ

t

_{( 2 ) ...} ¹ _{( )} 1

∙ ∙

+

Sx

ω ω ω ω

_Δ − +

Sx

− +

Δ

д д

t

t

Т.о. мы видим, что спектр дискретизированного сигнала содержит спектр исходного сигнала Sx(ω), спектр исходного сигнала смещенный на величину частоты дискретизации вправо Sx(ω - ωд), тот же спектр смещенный на величину частоты дискретизации влево Sx(ω+ ωд), тот же спектр смещенный на величину 2ωд и т.д.

Спектр исходного непрерывного сигнала.

Sx(ω)

Рис.3.8

-ωg ωg ω

Спектр дискретизированного сигнала: ∙ Sд(ω)

Рис.3.9 ……….. …………

(-ωд - ωв) - ω д - ωв 0 ωв ωд (ωд + ωв) ω

17

3.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал амплитудно-импульсной модуляции или АИМ сигнал). Очевидно, что реально мы располагаем не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности.

В результате процесса дискретизации мы получим не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов,

амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сингнала в тактовые моменты времени.

Рассмотрим временные диаграммы :

x(t) аналоговый сигнал

t

U(t) периодическая последовательность импульсов

t

xаим(t) сигнал АИМ

t

0 Δt 2Δt 3Δt 4Δt ……

Рис.3.10.

АИМ сигнал можно записать в виде:

^⎥_⎦^{⎤ ⎢}_⎣^⎡ = = + + + + _дАИМ  ^{− − j} _д^te^{− j} _д^t _ a a

a

x t x t U t x t ^{ω ω}

_{2 2 2} ( ) ( ) ( ) ( ) ^{1 0 1}

e

U(t)-периодическая последовательность импульсов.

В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности.

Спектр АИМ сигнала,следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта -импульсами , но

18

амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники : _S ^a _S ^a _S ^a S

^{∙ ∙} ₋ ^∙ ₋ ∙

^{( )} ₂ ^{( )} ₂ ^{( 2 )} ₂ ( )

ω  ω ω ω ω ω

= + + + + + +

2 1 0

_{д x д x} ^x д

_S ^a _S a

∙ ∙

+ − + − + ^{( 2 ) ......} ₂ ^{( )} 2

ω ω ω ω

1 2

_д ^x x д

(3.5)

Спектр АИМ сигнала в соответствии с формулой (3.5) принимает вид, показанный на рис.3.11.

∙

Sд(ω)

-2ωд - ω д - ωв 0 ωв ωд 2ωд ω

Рис.3.11

3.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов. В линию связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника.

Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов отсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики. Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ (АЧХ ИФНЧ) имеет вид:

K(ω)

K

- ωд 0 ωд ω

Рис.3.12 Импульсная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс имеет вид:

19

gифнч (t)

Рис. 3.13

t -3 Δt - 2Δt -Δt 0 Δt 2Δt 3Δt

^{sin ω} ( )

t

=

g t K

в

ИФНЧ

ω π t k

ω

в

t

в

=

π

(3.6)

t k k t = = Δ

ω

верх

Первая формула - это выражение для импульсной реакции ИФНЧ, вторая и третья формулы определяют моменты времени, для которых g ИФНЧ(t) обращается в ноль.

Cо спектральной точки зрения мы пропускаем дискретизированный сигнал, имеющий спектр в соответствии с рис.3.9 или 3.11, через ИФНЧ с АЧХ рис.3.12. Очевидно, что на выходе ИФНЧ получим спектр: S(ω)= K Sд(ω) = K Sx(ω) /Δt;

или для АИМ сигнала получим: S(ω)= KSд(ω) = K a₀Sx(ω) /2. Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получили на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала x(t). С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал x(t).