11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.

Нелинейное преобразование:

y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(tk) в момент времени tk зависит только от x(tk).

ФПВ для процесса y на выходе:

^dx _{W y W x} ^{( )} ( ) = ( ) =

W x

dy

dy dx

Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.

61

y

Рис.11.14 b

-a a x -b

nx b x a

− < −

y

=

^⎪_⎨⎧

,

kx kx a

,

≤

^⎪⎩

nx b x a + >

,

Это нелинейное устройство называется ограничителем.

Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m1x=0.

x

2

¹ ( ) ^σ W x e⁻

=

2

2

σ π

2

ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок). Рассчитаем ФПВ процесса y:

1. Пусть x ≤ a у=kx (k>1)

W x

^{W x} _{W y} ^{( ) ( ) ( ) = =}

dy

dx

k

Подставим в W(x) вместо x, y/k, тогда

y

2

¹ ( ) ^σ W y ^{− =}

e

k

2

σ π

k

2 2

2

На интервале y ≤ ka ФПВ для у будет нормальной, со средним значением m1y=0, но дисперсия y, т.е. ( . . 1) ^{2 2 2 2} σ _y= k σ > σ т к ⋅ k > .

62

W(x)

x

-a a

W(y)

Рис.11.15.

-ka 0 ka y

2. Пусть:

x a

>

y ka

>

y nx b = +

^{W x} _{W y} ^{( ) ( )} ( ) = = W x

dy

dx

n

y b

_x ⁻ =

Выражаем x через у, т.е. _n

2

( )

y b

⁻ −

¹ ( ) ^σ

W y

=

e

n

2

σ π

2

n

2 2

Это нормальная ФПВ со средним значением b и дисперсией ,( 1) ^{2 2 2}

n σ <σ n<

63

3.Пусть:

x a

< −

y ka

< −

y nx b = −

2

( )

y b

^{W x} W y⁺ − ^{( ) ( ) 1} ( ) ^σ W x

= = =

e

2

n

2 2

dy

dx

n n

σ π 2

Это нормальная ФПВ, m1= -b и дисперсия ^{2 2}

n σ .

ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).

11.8.Фпв процесса на выходе идеализированного ограничителя.

Такой ограничитель имеет горизонтальные участки насыщения.

^⎪_⎨⎧

kx x a

,

≤

y

=

ka x a

,

>

^⎪⎩

ka x a − < ,

x a y kx ≤ =

1 . ,

y ka

≤

^e W y

−

y

^{2 2} 2

k

σ

^, ₂ ( ) = <

2.

k

x a y ka > =

;

σ π

y ka

² (y b) ⁻ −

при n дисперсия .. ,

→ ∞ → ∞

² 2n

2

= δ ( )

y ka

W(y) lim

e

σ

=

" "

уши сжимаютсяи к функции → −

δ

( )

y ka

= >

P x a

( )

−

δ

nσ 2π

n ,b ka

→∞ →

−

64

< − = −

3. ;

x a y ka δ

W y P x a y ka

( ) ( ) ( )

= < − +

W(y)

P(x<-a)δ(y+ka) P(x>a)δ(y-ka) Рис.11.16.

-ka 0 ka y

11.9.ФПВ процесса на выходе идеального ограничителя. Характеристика идеального ограничителя показана на рис.11.17. y

ka Рис.11.17.

x

-ka

Процесс на выходе идеального ограничителя y - имеет только два значения : ка и –ка. Т.к. вероятность положительных и отрицательных значений х равна 0.5, то вероятность того, что y принимает значения +ka или -ka также равна 0.5. Поэтому, выполняя расчеты, как в предыдущем случае, получим, что ФПВ процесса y вырождается в две дельта-функции в точках y=-ka и y=ka (рис.11.18):

W(y)

0,5 δ(y+ka) 0,5 δ(y-ka) Рис.11.18.

-ka 0 ka y

65