lection_part3

Из равенства (4.9) видно, что ширина интерференционной полосы увеличивается с уменьшением расстояния d между источниками (щелями), поэтому для получения четкой, различимой интерференционной картины необходимо выполнение условия l>>d. Если источник монохроматический, то на экране будет наблюдаться ряд чередующихся темных и светлых полос. Если источник немонохроматический, например, белого света, то полосы на экране будут цветными за исключением центрального белого максимума, где для любой длины волны разность хода будет равна нулю. Все остальные полосы будут радужно окрашенными, так как для каждой длины волны будет своя разность хода δ . При этом красные полосы будут удалены от центральной больше, чем фиолетовые, так как при всех прочих равных

условиях λкр > λфиол.

Интерференционные полосы можно наблюдать и в воздушном клине, если положить одну плоскопараллельную пластинку на другую, а под один из концов верхней пластинки подложить небольшой предмет для образования воздушного клина (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Принимая толщину воздушного клина d → 0, для разности хода

световой волны от оптически более плотной среды (показатель преломления стекла больше показателя преломления воздуха nвозд ≈1), при этом

отражающиеся световые волны меняют фазу на π , что эквивалентно прохождению ими дополнительного пути (дополнительной разности хода)

λ / 2 .

На границе, где стеклянные пластинки соприкасаются d=0 и δ = λ / 2,

учетом равенства (4.10) получим толщину воздушного клина в данном месте d = λ / 4. По аналогии вторая светлая полоса (максимум) придется на d = 3λ / 4 и т.д. Эти полосы, каждой из которых соответствует своя вполне определенная толщина клина или параллельной пластинки, называют полосами равной толщины. Они могут быть параллельными линиями,

41

концентрическими окружностями и иметь любую форму в зависимости от расположения точек, соответствующих d = const . Угол клина должен быть очень мал, иначе полосы равной толщины ложатся друг на друга и их нельзя различить.

Полосы равной толщины в виде концентрических колец (колец Ньютона – классический пример) можно получить, если положить плосковыпуклую линзу с большим радиусом кривизны (R=10–100 м) на плоскопараллельную пластинку (рис. 4.3).

Они получаются в результате отражения лучей от стеклянного клина ОАВ. Лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей линзы, а также от стеклянной пластинки, не интерферируют, так как из-за большой толщины нарушается условие временной когерентности. В результате наложения лучей 1/ и 1//, отраженных в точках А и В, возникают кольца Ньютона.

Для радиуса r кольца Ньютона из треугольника АDC при R>>b получаем r 2 = R2 − (R −b)2 = 2Rb −b2 ≈ 2Rb. Отсюда 2b ≈ r 2 / R и разность

хода δ = 2b + λ / 2 = r 2 / R + λ / 2 . Для радиусов светлых (максимумы) и темных (минимумы) колец с учетом условий (4.3) и (4.4) для m≥0

Измеряя радиусы колец Ньютона при известном радиусе кривизны линзы, можно рассчитать длину световой волны λ, и наоборот.

4.3. Интерференция света в тонких пленках. Интерференция многих волн

Часто интерференция света наблюдается в естественных условиях, например, окраска мыльных пузырей, тонких пленок различного происхождения на поверхности воды.

42

При падении воды, на, в общем случае, неоднородную по толщине пленку падающая волна частично отражается и частично преломляется во вторую среду как на верхней, так и на нижней границе пленки (рис. 4.4).

Для лучей 1/ и 1// разность фаз, а, следовательно, и результат интерференции определяется разностью хода волн:

где λi – длина волны в i-среде. Формула (4.13) получена для рис. 4.4 на основе формулы (1.15) в случае равенства нулю начальных фаз ϕ1 = ϕ2 . Добавочная величина λ1 / 2 в формуле (4.13) обусловлена тем, что при отражении от оптически более плотной среды ( n2 > n1) в отраженной волне фаза изменяется на π , что эквивалентно дополнительному пути в первой

среде λ1 / 2 .

Выражая длины волн в формуле (4.13) через длину волны λ света с такой же частотой v, распространяющегося в вакууме со скоростью с:

λ1=v1/v=c/(vn1), λ2 =v2/v=c/(vn2),

где li – геометрическая длина пути, пройденного интерферирующими волнами в i-среде, si=nili – оптическая длина пути световой волны в i-среде,

δ – оптическая разность хода волн.

43

Условия интерференционного минимума и максимума выражаются формулами (4.3) и (4.4) соответственно.

Для плоскопараллельной пластинки OD = DB , поэтому величина δ

OA = 2dtgγ sinα . Тогда, подставляя все в формулу (4.14), с учетом n1=1

Интерференция может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем сквозь пленку свете (лучи 2/ и 2//). При этом разность хода для

проходящего света меньше, чем для отраженного на величину λ1 / 2 .

Следовательно, минимумам в отраженном свете соответствуют максимумы в проходящем свете, и наоборот.

Рассмотренная модель справедлива при условии, что коэффициент отражения R<<1, поэтому рассматривалось только взаимодействие волн первого отражения от верхней и нижней границ пленки. Если R велик, то есть прохождение света во вторую среду достаточно малое, необходимо рассматривать интерференцию многих волн, т.е. волн не только первого отражения, но и второго, третьего и т.д.

Явление ослабления (гашения) отраженного света вследствие интерференции используется для так называемого просветления оптики. Для этого на поверхность оптики наносится пленка такой толщины, чтобы осуществлялся минимум отражения для зеленого света с λ ≈550 нм, соответствующего максимуму чувствительности человеческого глаза. Поэтому просветленная оптика (линзы, призмы, т.п.) кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как максимум отражения приходится на красную и фиолетовую видимую область спектра.

Наиболее полное гашение световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки, происходит при равенстве интенсивностей этих волн I1=I2 или R1=R2. С учетом сказанного для абсолютного показателя преломления просветляющего покрытия (пленки) для воздушной атмосферы справедливо выражение

где nопт – абсолютный показатель преломления оптики (линзы, призмы, т.п.).

44

Лекция 5. Дифракция света

1.Понятие дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля.

2.Дифракция Френеля на круглом отверстии. Метод зон Френеля.

3.Дифракция Фраунгофера на щелях. Дифракция рентгеновских лучей на пространственной (кристаллической) решетке. Формула ВульфаБрэггов. Понятие о рентгеноструктурном анализе.

4.Понятие о голографии.

5.1. Понятие дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля

Явление дифракции (от лат. difractus – разложенный) заключается в огибании волнами препятствий или, точнее, в отклонении их от прямолинейного распространения. Дифракция наблюдается в тех случаях, когда линейные размеры препятствий сравнимы или немного больше длины волны, падающего на препятствие света. В оптике различают дифракцию Френеля (в сходящихся лучах) и дифракцию Фраунгофера (в

параллельных лучах). Первую разновидность наблюдается в случаях, когда свет от точечного источника направлен на круглое отверстие или непрозрачный диск. Вторую разновидность наблюдают при падении параллельных лучей на щель или систему щелей (дифракционную решетку), например, от точечного источника, удаленного на бесконечность или помещенного в фокус собирающей линзы.

Рис. 5.1

Качественно явление дифракции объясняется на основании принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка волнового фронта является самостоятельным источником сферических волн, а огибающая этих волн представляет собой волновой фронт в следующий момент времени. На рис. 5.1 видно, что волны, проходя через отверстие, попадают в область геометрической тени. Однако принцип Гюйгенса не позволяет выполнить количественный расчет дифракционной картины, т.е. расчет пространственного распределения амплитуды, а, следовательно, и интенсивности дифрагирующих волн.

45

Френель дополнил принцип Гюйгенса интерференционной идеей,

согласно которой вид дифракционной картины определяется результатом интерференции вторичных сферических волн.

Амплитуда вторичных волн, согласно Френелю, пропорциональна элементарной площадке волнового фронта, рассматриваемой как вторичный источник. В общем случае расчет интерференции вторичных волн сложен, но во многих практически важных случаях удается приблизительно рассчитать дифракционную картину с помощью метода зон Френеля.

5.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Метод зон Френеля

Рассмотрим случай распространения света с длиной волны λ от точечного источника S в направлении непрозрачного экрана с малым отверстием (дифракция Френеля).

Определим амплитуду А (а, следовательно, и интенсивность I~A2) в точке М экрана на расстоянии b от препятствия. Для этого сферическую поверхность необходимо разделить на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояние от краев зон до точки М отличается на λ / 2 (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Так как колебания от соседних зон приходят в точку М с разностью пути в λ / 2 , то они противофазны и при наложении будут ослаблять друг друга.

сферического сегмента Sm = 2πahm . Согласно рис. 5.3

rm = a2 − (a − hm )2 = b + m λ2 2 − b − m λ2 2 .

Возводя обе части в квадрат и раскрывая скобки, имеем:

a2 − a2 + 2ahm − hm2 = b2 + bmλ + m2λ2 / 4 −b2 − 2bhm − hm2 .

46

Приводя подобные и пренебрегая членом второго порядка малости

hm

Рис. 5.3

Результат (5.2) означает, что площади всех зон Френеля равны.

Однако при росте m амплитуда Аm колебаний, пришедших от соответствующей зоны уменьшается, так как растет расстояние до точки М и увеличивается угол между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку М: А1>А2>А3>… С достаточно хорошей точностью можно записать

где знак «+» берется для четных m, а «–» – для нечетных m. Соответственно в точке М будет максимум или минимум. Из выражения (5.3) следует, что действие полностью открытого волнового фронта равно половине действия только одной центральной зоны Френеля, радиус которой r1 может быть весьма мал.

Расчет в других точках экрана более сложен, так как соответствующие зоны закрыты непрозрачным экраном. Из закона сохранения энергии и симметрии системы следует, что интерференционная картина вблизи точки М будет иметь вид концентрических чередующихся темных и светлых колец с центром в точке М. Если свет немонохроматический, то кольца будут многоцветными, так как для одной длины волны будет наблюдаться максимум, а для другой (других) – минимум.

Теория Френеля не учитывает изменение амплитуды и фазы колебаний материалом экрана на границах щели и на малых расстояниях (< λ ) от ее края (краевые эффекты), но хорошо описывает результат дифракции на достаточно больших препятствиях с размерами значительно больше λ. Теория Френеля также дает неправильные значения фазы

47

результирующей волны, меньшие на π / 2, чем имеет место в действительности.

5.3. Дифракция Фраунгофера на щелях. Дифракция рентгеновских лучей на пространственной (кристаллической) решетке. Формула Вульфа-Брэггов. Понятие о рентгеноструктурном анализе

Дифракция Фраунгофера наблюдают при падении параллельных лучей на щель или систему щелей (дифракционную решетку), например, от точечного источника, удаленного на бесконечность или помещенного в фокус собирающей линзы (щель сама по себе является точечным источником, рис. 5.4).

I и т.д.

аϕδ

P

Рис. 5.4

Пусть ширина бесконечно длинной щели а. Тогда разность хода волн от краев щели δ = a sinϕ . Если разбить поверхность волнового фронта на зоны

Френеля, то вид дифракционной картины будет определяться числом зон Френеля m:

Если m – четное, то наблюдается дифракционный минимум, если нечетное, то максимум. В центральной точке экрана Р щель действует как одна центральная зона Френеля, здесь интенсивность I прошедшего через щель света максимальна – так называемый главный центральный максимум.

Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему параллельных щелей равной ширины а, расположенных на равных расстояниях b друг от друга. Величина d=a+b называется периодом дифракционной решетки. Дифракционная картина в данном случае кроме главных минимумов и максимумов будет включать и дополнительные минимумы и максимумы, обусловленные интерференцией света от разных щелей. Например, разность хода от краев двух соседних щелей по аналогии с формулой (5.4)

48

Если m – четное, то наблюдаются дополнительные минимумы, а если нечетное – главные максимумы. Главные минимумы наблюдаются согласно условию (5.4) при четных m.

Согласно формуле (5.5) число главных максимумов m ≤ d / λ , все они (как и минимумы) кроме центрального будут иметь различную окраску, зависящую от длины волны λ, поэтому дифракционную решетку используют в качестве спектрального прибора.

Примером пространственной дифракционной решетки являются естественные симметричные образования – монокристаллы, на которых дифрагируют рентгеновские лучи. Данное явление положено в основу рентгеноспектрального и рентгеноструктурного анализа материалов, т.е. определения состава и структуры кристаллических веществ в силу индивидуальности строения их кристаллических решеток и, следовательно, индивидуальности получаемой в результате дифракции на них (электронов)

δ/2δ/2

Рис. 5.5

Пусть расстояние между атомными плоскостями в кристалле равно d (рис. 5.5), тогда результат интерференции лучей 1 и 2 будет определяться разностью их хода по формуле Вульфа–Брэггов

где k=1, 2, 3, … – порядок дифракционного максимума.

Условие дифракционного максимума для данной длины волны λ излучения (света) и для данного межплоскостного расстояния d анализируемого вещества выполняется только при угле ϕ , удовлетворяющем

выражению (5.5), то есть образец (монокристалл) необходимо облучать только под определенным углом. По методу Дебая–Шерера анализируемое вещество предварительно размельчают в порошок, при этом среди множества хаотично ориентированных в порошке маленьких кристалликов обязательно найдутся ориентированные под нужным углом к рентгеновскому лучу. По виду дифракционной картины, известному углу облучения ϕ , длине

волны λ по формуле Вульфа–Брэггов (5.5) можно определить межплоскостное расстояние d и предположить качественно химический состав вещества.

49

5.4. Понятие о голографии

Идея голографии (holos – греч. весь, grapho – пишу) была впервые высказана англ. физиком Д.Габором в 1948 г. (Нобелевская премия по физике

1971 г.).

Голография позволяет получить объемное изображение объекта в отсутствие самого объекта лишь по дифракционной картине от волнового поля объекта. При получении голограммы объекта (О) сигнальная волна или предметный пучок 1 (рис. 5.7, а) и опорное излучение 2 (от зеркала З) испускает один и тот же источник света (лазер Л). Изображение на фотопленке (Ф) – дифракционную картину, получающуюся в результате наложения предметной 1 и опорной волн 2, и называют голограммой объекта.

Для получения изображения (обратный процесс, рис. 5.7, б) голограмма освещается лазерным излучением с теми же характеристиками, что и при создании голограммы (необходима высокая когерентность и монохроматичность). В отсутствие объекта с закрытием предметной части лазерного излучения 1, попадавшего ранее на объект непрозрачным экраном Э, получим мнимое изображение объекта И на старом месте только с помощью опорного пучка 2.

Рис. 5.7

Для получения цветного изображения предмета необходимо как при создании голограммы, так и при ее «проигрывании» одновременно использовать как минимум три цветных лазера: Red – англ. красный, Green – зеленый и Blue – голубой по аналогии с компьютерной RGB-палитрой.

В обычной плоской дифракционной картине, например, фотокарточке, фиксируется распределение амплитуд (интенсивностей) только предметного пучка от объекта. Объемное изображение в голографии формируется благодаря тому, что в голограмме фиксируются не только распределение амплитуд (интенсивностей), но и распределение разностей фаз между опорным и предметным излучением.

Голография как способ записи информации отличается огромной плотностью записи по сравнению со всеми известными в настоящее время способами, так как по любому даже очень маленькому кусочку от исходной голограммы можно все равно получить исходное объемное изображение предмета.

50