lection_part3

Скалярная величина, равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны I = <U > . Интенсивность и

амплитуда плоской волны не изменяются, если не происходит поглощения в среде.

1.2. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Принцип суперпозиции (наложения) волн применяется только для линейных сред, т.е. сред, в которых скорость волны не зависит от ее интенсивности: при распространении в линейной среде одновременно нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы в среде равно геометрической (векторной) сумме смещений, которые получает частица, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции любая волна может быть представлена в виде суммы волн. Например, при разложении в ряд Фурье любая, даже несинусоидальная, волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн с различными амплитудами и частотами или гармоник, т.е. в виде волнового пакета или группы волн. Совокупность частот волнового пакета называется спектром частот или просто спектром.

Требование линейности среды обусловлено тем, что сигнал при перемещении в ней не изменяет своей формы, так как все синусоидальные или косинусоидальные (гармонические) волны, образующие данный волновой пакет, имеют одинаковые фазовые скорости, равные скорости сигнала.

Простейший пример применения принципа наложения волн – получение группы волн при наложении двух плоских косинусоидальных волн, распространяющихся вдоль оси Ох и имеющих близкие частоты и волновые числа (рис. 1.3, вспомним биения, см. Колебания, часть II настоящего пособия)

s = s1 + s2 = A0 cos(ωt − kx)+ A0 cos([ω − dω]t −[k − dk]x)=

s

x

Рис. 1.3

11

За скорость распространения этой квазикосинусоидальной волны принимают скорость перемещения точки, в которой амплитуда А имеет какое-либо фиксированное значение, например, А=0 или А=2А0, т.е. эта точка движется по закону tdω − xdk = const , откуда

= dx = dω

u (1.11)

dt dk

– групповая скорость, равная скорости переноса энергии (энергия ~ A2) волновым пакетом или группой волн.

Связь между групповой и фазовой скоростью можно определить,

подставляя в формулу (1.11) из формулы (1.5) dω = vk с учетом равенств

Т.е. фазовая и групповая скорость совпадают для недиспергирующих сред, где скорость v не зависит от длины волны λ (и, следовательно, частоты v): v ≠ f (λ, v).

1.3. Интерференция волн. Стоячая волна

Когерентными называются волны, которые согласованно протекают во времени и пространстве, у которых разность фаз не изменяется с течением времени. Это возможно только в случае одинаковых частот и волновых чисел

волн: (ω2t − k2 x +ϕ2 )−(ω1t − k1x +ϕ1)= const , ω2 =ω1, k2 = k1.

При наложении в пространстве двух или более когерентных волн в разных точках среды наблюдается усиление или ослабление возмущения в зависимости от разности фаз накладывающихся волн – интерференция волн. Если рассмотреть случай наложения двух сферических волн вида

s1 = A1 sin(ωt − kr1 +ϕ1) = A1 sin Φ1, s2 = A2 sin(ωt − kr2 +ϕ2 ) = A2 sin Φ2 ,

(ri – расстояние от i-го источника возмущения до рассматриваемой точки среды) то, вспомнив метод вращающихся векторов или векторных диаграмм при сложении сонаправленных колебаний (см. Колебания, часть II настоящего пособия, формулы (14.20), (14.21)), можно получить

s = s1 + s2 = Asin Φ,

12

В зависимости от значения разности фаз под знаком косинуса формула (1.13) принимает вид либо квадрата суммы, либо квадрата разности, что для амплитуды результирующего возмущения в данной точке среды означает

либо A = A2 + A1 (max), либо A = A2 − A1 (min):

k = 2π / λ можно записать условие интерференционного максимума в

виде

Часто условие (1.16) при равенстве начальных фаз ϕ2 =ϕ1 записывают как

Стоячая волна образуется при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды. Например, поперечная стоячая волна образуется на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в движение, продольная стоячая волна – при отражении звуковой волны от перегородки в воздушной трубе. При этом

s= s1 + s2 = A0 sin(ωt − kx)+ A0 sin(ωt + kx +ϕ0 )=

=2A0 cos(kx +ϕ0 / 2)sin(ωt +ϕ0 / 2)= Aст sin(ωt +ϕ0 / 2). (1.20)

13

Точки, в которых функция координаты Аст=0, называются узлами, если Аст=2А0 – пучностями стоячей волны (рис. 1.4).

Расстояние между двумя соседними узлами (пучностями) одинаково, есть длина стоячей волны, которая равна λст = λ / 2 .

Стоячая волна, в отличие от бегущей, энергию не переносит, вернее две встречные бегущие волны, образующие при наложении стоячую,

деформация ε опережает vч по фазе на π / 2. Когда ε достигает максимума, vч=0, и наоборот, т.е. кинетическая энергия колеблющихся частиц среды превращается в потенциальную энергию деформации среды, и наоборот. Поэтому энергия периодически мигрирует от узлов стоячей волны к ее пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю. Среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, так как две встречные бегущие волны, образующие при наложении стоячую, переносят равную энергию в прямо противоположных направлениях.

1.4. Эффект Доплера в акустике

Упругие волны с низкими частотами называются звуковыми или акустическими, слышимыми называются волны с частотой 16 Гц <v<20000 Гц.

Эффектом Доплера называют изменение частоты v (длины λ) волны, воспринимаемой приемником сигнала при движении источника сигнала и приемника друг относительно друга. Например, понижение тона (частоты) воспринимаемого человеком гудка тепловоза, удаляющегося от перрона.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть источник сигнала движется со скоростью vист к неподвижному приемнику вдоль прямой, их соединяющей (рис. 1.5, а), пусть скорость сигнала (волны) в среде v. Тогда за период колебаний в волне Т источник завершает излучение одной длины волны, приблизившись на расстояние vистТ

14

к приемнику, т.е. длина волны воспринятая приемником (наблюдателем) будет λ = λ0 m vистT . Знак «–» соответствует рассматриваемому случаю

приближения источника к приемнику, а «+» – удаления. Так как λ = v / v и T =1/ν , то частота, воспринятая приемником

2. Пусть источник неподвижен, а приемник (наблюдатель) движется со скоростью vпр вдоль прямой, их соединяющей (рис. 1.5, б). Тогда наблюдатель будет воспринимать одну длину волны за время

T = λ0 /(v ± vпр). Знак «+» соответствует случаю приближения приемника к источнику, а «–» – удаления. С учетом T =1/ v и λ0 = v / v0 можно записать

В случае одновременного движения источника и приемника друг относительно друга, объединяя формулы (1.21) и (1.22), можно получить

Так как движение объектов может быть сложным, то в формуле (1.23) можно использовать проекции скоростей источника и приемника сигнала на выбранное интересующее нас направление, в результате чего выражение усложняется, появляются тригонометрические функции

15

Лекция 2. Электромагнитные волны

1.Свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитных волн.

2.Отражение и преломление электромагнитных волн на границе двух диэлектрических сред. Формулы Френеля.

3.Эффект Доплера для электромагнитных волн.

2.1.Свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитных волн.

Электромагнитными волнами (ЭМВ) называются поперечные возмущения электромагнитного поля (ЭМП), т.е. переменное ЭМП,

→ →

распространяющееся в пространстве. В ЭМВ векторы H E (рис. 2.1), образуя с вектором скорости волны правую тройку. Свет также является ЭМВ. Гипотеза об этом была высказана Дж.Максвеллом еще до экспериментального обнаружения ЭМВ. Так как на человеческий глаз

→

воздействуют в основном колебания вектора E , то он называется световым вектором. Оставаясь взаимноперпендикулярными с течением времени,

→→

векторы E и H изменяются так, что в зависимости от разности фаз и соотношения амплитуд их концы могут описывать эллипс, круг, прямую, т.п. В зависимости от этой преобладающей в колебаниях векторов траектории, колебания называют поляризованными эллиптически, циркулярно, линейно, т.п. Плоскость, простирающаяся по лучу волны, в которой происходят такие колебания, называется плоскостью поляризации.

→ →

Плоскость, в которой колеблется вектор H ( В), называется плоскостью колебаний. Плоскость поляризации и плоскость колебаний всегда взаимно перпендикулярны. Естественный (неполяризованный) свет

характеризуется всевозможной ориентацией колебания вектора

→

напряженности E . Различают также частично поляризованный свет, когда колебания в каком-либо направлении ослаблены.

Рис. 2.1

Колебания векторов в ЭМВ описываются уравнениями

16

* зеленый цвет соответствует максимуму чувствительности человеческого глаза.

17

Действие электромагнитного излучения или электромагнитных волн (ЭМВ) определяется его энергией, которая, в свою очередь, определяется частотой (длиной) волны v (λ). Границы в приведенной классификации следует рассматривать как условные, так как на стыке диапазонов проявляемые свойства позволяют отнести излучение к обоим соседствующим диапазонам (табл. 2.1).

Источниками инфракрасного (ИК) излучения являются нагретые тела, которыми можно считать практически все тела вплоть до температур, близких к абсолютному нулю (0 К).

Рентгеновское излучение или рентгеновские лучи возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества.

Гамма-излучение (γ -излучение) испускается возбужденными атомами

при радиоактивном распаде и ядерных реакциях, распаде частиц и их аннигиляции, т.п. γ -излучение сопровождает перечисленные процессы, но

не является единственным видом излучения, ими порождаемым.

Для ЭМП в линейной изотропной несегнетоэлектрической и неферромагнитной среде объемная плотность энергии ЭМП (см. формулы (4.15), (11.11), часть II данного пособия)

Вектор плотности потока энергии – вектором Умова (Умова– Пойнтинга) для ЭМВ с учетом формулы (1.7) определяется выражением

изависит от типа поляризации ЭМВ.

2.2.Отражение и преломление электромагнитных волн на границе двух диэлектрических сред. Формулы Френеля

Относительным показателем преломления второй среды относительно первой называется величина

где n1, n2 – абсолютные показатели преломления, определяемые формулой (2.4). Для неферромагнитных сред ( µ ≈1)

При падении на границу раздела двух диэлектриков ЭМВ частично отражается от поверхности раздела и частично преломляется, переходя во

18

вторую среду. При этом в первой среде на поле падающей волны (далее величины с индексом «0») накладывается поле отраженной волны (далее индекс «отр»), а во второй среде распространяется только прошедшие волны

(далее индекс «пр»). В предположении неферромагнитных сред ( µ1 = µ2 =1)

граничные условия для нормальных и тангенциальных проекций векторных характеристик поля на нормаль и касательную плоскость к границе раздела сред имеют вид

Отсюда следует, что независимо от типа поляризации при падении ЭМВ на гладкую поверхность раздела

1)отраженные и преломленные волны являются монохроматическими с той же частотой, что и падающая;

2)выполняются законы отражения и преломления (закон Снеллиуса) геометрической оптики (см. лекцию далее).

С помощью граничных условий (2.9)–(2.12) можно найти связь между интенсивностями, фазами и амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Для этого требуется записать уравнения (2.9)–(2.12) для двух предельных случаев:

E параллелен поверхности раздела, а вектор H перпендикулярен ей.

→

Связь между амплитудами колебаний вектора E в падающей,

отраженной и преломленной волнах для s- и р-волн выражается формулами Френеля:

19

где i – угол между перпендикуляром к границе раздела сред и падающим лучом, r – угол между перпендикуляром к границе раздела сред и преломленным лучом. В частности, при нормальном падении (i=r=0):

В формулах Френеля (2.13)–(2.16) амплитуды А0 и Апр положительны при всевозможных значениях углов i и r, что свидетельствует о совпадении фаз преломленной и падающей волн. Величины Аотр могут быть как

→

положительны, так и отрицательны: в первом случае фаза колебаний E не

→

изменяется, а фаза H изменяется на π , во втором случае – наоборот.

→

Значения сдвига фаз колебаний вектора E при отражении ЭМВ s- и р- типа в зависимости от угла падения i и относительного показателя преломления n21 приведем в таблице 2.2.

Угол падения iБ, при котором отраженные и преломленные лучи взаимноперпендикулярны, называется углом Брюстера. При i=iБ сумма углов

Из формул Френеля (2.13)–(2.16) видно, что если i=iБ, то Аотрр=0, т.е. р- волна не отражается, а полностью проходит во вторую среду.

20