2.2 Исследование модели в линейном приближении.

dX/dt = A – (B+1)X + X²Y Система двух нелинейных уравнений

dY/dt = BX - X²Y Переменные в уравнении соответству-

ющим образом обезразмерены.

Точки равновесия:

A – (B+1)X + X²Y = 0 X = A P₀(A, B/A)

BX - X²Y = 0 Y = B/A

В окрестности P₀(A, B/A):

X = A + x Здесь x и y - отклонения концентраций от

Y = B/A + y равновесных значений.

x = A–(B+1)(A+x)+(A+x)²(B/A+y) = x(B-1)+y(A²)+x²(B/A)+2xyA+x²y.

y = B(x+A)-(A+x)²(B/A+y) = -Bx - (B/A) x²-yA² – 2Axy – x²y/

Для исследования устойчивости используется линейное приближение динамики системы в малой окрестности положения равновесия.

x = x(B-1)+y(A²) Характеристическое уравнение

y = -Bx - yA² ² + (1+A²-B)  + A² = 0

2.3 Влияние параметра.

Концентрации исходных веществ:

A = 1, B– управляющий параметр

Характеристическое уравнение при этих значениях: ² + (2-B)  + 1 = 0

B< 2 P₀ – устойчивый фокус

B> 2 P₀ – неустойчивый фокус

B = 2 рождение цикла (бифуркация Хопфа)

При изменении параметра B (в направлении роста) меняется структура фазового пространства:

устойчивый фокус – рождение цикла – неустойчивый фокус.

2.4 Рождение предельного цикла. Задача Коши.

Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой в пределе при t - С стремятся все интегральные кривые. Предельный цикл представляет стационарный режим с определенной амплитудой, не зависящий от начальных условий, а определяющийся только организацией системы. Существование предельного цикла на фазовой плоскости есть основной признак автоколебательной системы. Очевидно, что при автоколебательном процессе фаза колебаний может быть любой.

Качественный анализ дифференциальных уравнений стал особо актуальным для приложений в 30-е годы в связи с анализом радиотехнических систем. Было установлено, что работа генераторов и ряда других электронных приборов тесно связана с реализацией режимов, описываемых устойчивыми предельными циклами. Возникла теория колебаний. Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой В.- переход простейшего лампового генератора при соответствующем изменении управляющего напряжения от режима статич. колебаний к автоколебат. Режиму В этом случае на фазовой плоскости (х, х)из устойчивого фокуса в начале координат при коэф. затухания рождается предельный цикл (табл. 1, строка 4), амплитуда к-рого при малых порядок, а фокус становится неустойчивым.

2.5 Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.

Аргументом в задаче Дирихле является пространственная переменная r. Цель состоит в нахождении пространственного распределения концентраций вещества x_i(r). Известно, что на границах реактора (r.=0, r.= L) концентрации x_i(r) или их производные x_i/r зафиксированы и не зависят от времени.

Решение:

x(r,t) = x₀e^tSin(nr)

y(r,t) = y₀e^tSin(nr)

Эти решения соответствуют дифференциальным уравнениям

dx(r,t)/dt = a₁₁x + a₁₂y + D_xk²x

dy(r,t)/dt = a₂₁x + a₂₂y + D_yk²y

В этих уравнениях нет пространственных координат (r). По форме они подобны уравнениям точечным уравнениям динамики. Их устойчивость можно исследовать обычным образом.

В теории динамических систем, бифуркация Андронова — Хопфа — локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый предельный цикл (мягкая потеря устойчивости), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её бассейн отталкивания после бифуркации имеет отделённый от нуля размер (жёсткая потеря устойчивости).

Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности.

Бифуркация Андронова — Хопфа и седлоузловая бифуркация — единственные локальные бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в типичных однопараметрических семействах.