- •4.5 Антиинтуитивное поведение.
- •9.5 Рамки экспериментов с моделью.
- •3. Уравнение Ресслера
- •3.1 Получение характеристического уравнения третьего порядка для уравнения, заданного в отклонениях от точки равновесия, из якобиана.
- •3.3 Условие для определения вида собственных значений характеристического уравнения третьего порядка.
- •2. Гамильтонова форма уравнений динамических систем
- •2.1 Декартова система координат.
- •2.2 Гамильтонова система координат.
- •3.1 Условие резонанса.
- •4. Консервативные динамические системы
- •4.1 Огромный класс объектов классической динамики – консервативные системы.
- •4.2 Инерциальная система отсчета. Возмущающих сил нет. Три закона сохранения. Обратимость времени.
- •4.4 Условие Лиувилля для консервативных систем.
- •1.1 Детальное качественно исследование этого уравнения: установившиеся режимы и асимптотическое поведение.
- •1.2 Аттракторы. Число и типы аттракторов. Области притяжения аттракторов.
- •2.1 Постановка задачи.
- •2.2 Исследование модели в линейном приближении.
- •2.3 Влияние параметра.
- •2.4 Рождение предельного цикла. Задача Коши.
- •2.5 Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.
- •2.6 Изменение концентраций по длине реактора.
- •1.1 Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы. 2 Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.
- •1.6 Достоверный прогноз разбегания близких вначале траекторий во времени для нелинейных систем.
- •2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы
- •2.7 Ляпуновкие показатели - наиболее эффективно и просто вычисляемые характеристики динамического хаоса. Объясните.
- •3.Фракталы
- •3.1 Объекты с дробной размерностю.
- •3.2 Какова размерность странных аттракторов? – дробная
- •3.3 «Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.
- •1. Теория катастроф
- •1.1 Потенциальные функции катастроф. Условия критического состояния.
2.7 Ляпуновкие показатели - наиболее эффективно и просто вычисляемые характеристики динамического хаоса. Объясните.
Показатели Ляпунова играют большую роль в теории устойчивости движения. Они являются характеристическими или собственными числами системы.
Они не зависят от начальных условий. Устойчивость (или неустойчивость) является внутренним свойством исследуемой системы, а не результатом внешнего воздействия на систему.
Если ляпуновские показатели отрицательны, то все xi(t) убывают со временем, поэтому состояние устойчиво. Система после возмущающего воздействия стремится вернуться в стационарное состояние.
Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, состояние будет неустойчивым.
В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Устойчивость определяется знаком действительной части комплексного числа.
Если среди чисел Ляпунова имеются чисто мнимые или равные нулю, то стационарное состояние называется нейтральным.
3.Фракталы
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.
Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)
Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба[1].
Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности[1].
3.1 Объекты с дробной размерностю.
Странные аттракторы характеризуются не целыми, а дробными размерностями. Они являются фрактальными объектами1. Такие объекты не могут быть ни точками, ни линиями, ни поверхностями, ни вообще топологическими многообразиями. Например, облако является не объемным телом или поверхностью, а некоторым промежуточным геометрическим объектом с размерностью, заключенной между 2 и 3.
Фрактальные объекты дают возможность по-новому взглянуть на удивительный мир форм, существующих в природе. Большинство этих форм не являются правильными геометрическими объектами, но могут быть охарактеризованы дробными размерностями.
Открытие аттракторов с фрактальными размерностями позволяет по-новому увидеть поведение объектов во времени.
3.2 Какова размерность странных аттракторов? – дробная
3.3 «Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.
Фрактальный аттрактор обладает необычайно тонкой структурой, которая выражает очень сложное поведение во времени.
Понятие аттрактора (особая точка, предельный цикл) - синоним устойчивости и воспроизводимости (выхода «на то же самое») при любых начальных условиях.
Аттракторы с фрактальными размерностями порождают типы поведения, которые невозможно ни предсказать, ни воспроизвести. В любой области странного аттрактора, сколь бы мала она ни была, обнаруживается одна и та же сложная структура. Малейшее различие в начальных условиях или малейшее возмущение не затухает, а усиливается аттрактором. Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям».
Лекция 6. Катастрофы и неустойчивости