3.1 Условие резонанса.

Рассмотрим интегрируемую систему с двумя степенями свободы, движение которой представлено на торе. Возможны 2 ситуации. Если k₁₁ + k₂₂ = 0, где k₁, k₂ – целые числа, не равные нулю одновременно – условие резонанса.

2. Резонансные и нерезонансные торы. Периодические и квазипериодические движения.

Это означает, что w1/w2=-k2/k1, то есть отношение частот есть рациональное число. Если есть резонанс, то движение на торе периодическое. Такой тор называется резонансным.

Еслиk₁₁ + k₂₂ отлична от нуля при произвольных целых числах k₁, k₂ , изображающая точка никогда не возвращается в начальное положение. В этом случае имеет место квазипериодическое движение - геликоидальная траектория на торе, которая, никогда не замыкаясь, навивается на поверхность тора - тор нерезонансный. Для системы с двумя степенями свободы квазиопериодическое движение возникает например, если w1/w2=1/sqrt(2)

2. Подавляющее большинство нелинейных динамических систем – неинтегрируемые. Доказательство А.Пуанкаре.

Определение интегрируемой системы связано с возможностью исключения взаимодействий между частицами. Как и в случае свободных частиц, гамильтониан после исключения взаимодействий зависит только от импульсов. В терминах переменных угол – действие это означает, что гамильтониан зависит только от переменных действия J и поэтому имеет вид H(J). В этом случае переменные действия являются инвариантами движения (dJ/dt = 0). Именно такие системы А.Пуанкаре назвал интегрируемыми.

Подавляющее большинство нелинейных динамических систем – неинтегрируемые(гамильтониан зависит только от переменных действия и не зависит от а). в них невозможно каноническое преобразование, сохраняющих вил гамильтоновых уравнений, которые приводили бы в циклическим переменнвым. (Солнце – Земля - интегрируемая, Солце-Земля-Юпитер - неинтегрируемая) H(J,a)=Ho(J)(своюбодный гамильтониан, соответствующий интегрируемой ситсеме)+ЛV(J,a)(потенциал действия, Л –константа связи (параметр, выражающий интенсивность взаимодейсвтия)). В принципе, можно исключить взаимодейсиве и привести ЛV(J,a) к гамильтониану, но как показал А. Пуанкаре, теория возмущений неизбежно приводит к появлению членов с опасными знаменателями (например, 1/ k₁₁ + k₂). Если существуют резонансы, то есть такие точки в фазовом пространстве, в которыхk₁₁ + k₂ = 0, то члены ряда теории возмущений расходятся.А. Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и объяснил причину – существование резонансов между степенями свободы. В отсутствии возмущений резонансы приводят к периодическому движению (резонансные торы). В общем случае имеет место квазипериодическое движение (нерезонансные торы).

2. Сохранение квазипериодического движения после возмущения. Условие А.Н.Колмогорова.

При введении возмущений квазипериодическое движение изменится очень незначительно (при малом возмущении ). А.Н. Колмогоров дал четкое описание тех видов квазипериодического движения, сохраняющих свой тип после наложения возмущения. Для этого связь между собственными частотами должна быть достаточно иррациональной. Для N=2 отношение₁ /₂ должно отвечать условию

₁ /₂ - r/s>c/s^, где r и s – целые , c – малое число, обращающееся в нуль при отсутствии возмущений,  - достаточно большое число ( = 2,5 )

2. Два типа движений: слегка изменившееся квазипериодическое; стохастическое, возникающее при разрушении резонансных торов (теория КАМ). Переход к хаосу. Существование траекторий двух типов – регулярных и стохастических.

Два типа движений:слегка изменившиеся квазипериодические траектории и стохастические траектории, возникающие при разрушении резонансных торов.(теория КАМ)

Переход к хаосу: Наиболее важный результат теории КАМ – появление стохастических траекторий. Результат теории: увеличивая параметр связи  , мы тем самым увеличиваем области, в которых преобладает стохастичность. При некотором критическом значении  возникает хаос.

Вклад КАМ состоит в том, что при малых значениях параметра мы имеем промежуточный режим, в котором существуют траектории двух типов – регулярные и стохастические.

Следует подчеркнуть, что теория КАМ не приводит к динамической теории хаоса. Ее главный вклад состоит в другом: теория КАМ показала, что при малых значениях параметра связи мы имеем промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов — регулярные и стохастические. С другой стороны, нас интересует главным образом то, что произойдет в предельном случае, когда снова останется лишь один тип траекторий. Эта ситуация соответствует так называемым большим системам Пуанкаре (БСП)