- •4.5 Антиинтуитивное поведение.
- •9.5 Рамки экспериментов с моделью.
- •3. Уравнение Ресслера
- •3.1 Получение характеристического уравнения третьего порядка для уравнения, заданного в отклонениях от точки равновесия, из якобиана.
- •3.3 Условие для определения вида собственных значений характеристического уравнения третьего порядка.
- •2. Гамильтонова форма уравнений динамических систем
- •2.1 Декартова система координат.
- •2.2 Гамильтонова система координат.
- •3.1 Условие резонанса.
- •4. Консервативные динамические системы
- •4.1 Огромный класс объектов классической динамики – консервативные системы.
- •4.2 Инерциальная система отсчета. Возмущающих сил нет. Три закона сохранения. Обратимость времени.
- •4.4 Условие Лиувилля для консервативных систем.
- •1.1 Детальное качественно исследование этого уравнения: установившиеся режимы и асимптотическое поведение.
- •1.2 Аттракторы. Число и типы аттракторов. Области притяжения аттракторов.
- •2.1 Постановка задачи.
- •2.2 Исследование модели в линейном приближении.
- •2.3 Влияние параметра.
- •2.4 Рождение предельного цикла. Задача Коши.
- •2.5 Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.
- •2.6 Изменение концентраций по длине реактора.
- •1.1 Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы. 2 Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.
- •1.6 Достоверный прогноз разбегания близких вначале траекторий во времени для нелинейных систем.
- •2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы
- •2.7 Ляпуновкие показатели - наиболее эффективно и просто вычисляемые характеристики динамического хаоса. Объясните.
- •3.Фракталы
- •3.1 Объекты с дробной размерностю.
- •3.2 Какова размерность странных аттракторов? – дробная
- •3.3 «Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.
- •1. Теория катастроф
- •1.1 Потенциальные функции катастроф. Условия критического состояния.
1.1 Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы. 2 Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.
Аттракторы вида узел, фокус и предельный цикл являются математическими образами установившихся режимов в динамических системах.
Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы.
Это свойство позволяет предсказывать поведение таких систем, даже если начальные условия x0 известны с некоторой погрешностью.
Существование и единственность решений на конечном интервале времени.– условие ляпуновской теории устойчивости решений..
В корректных задачах теоремы существования и единственности решений выполняются на конечном интервале 0 tT. Необходимо, чтобы существовала некоторая величина, которая гарантировала бы близость траекторий при 0t. Этоусловиефигурируетв ляпуновской теории устойчивости решений.
Как изменяется со временем расстояние между двумя близкими точками на траектории, принадлежащей аттрактору: узел или фокус, предельный цикл?
Две близкие точки x10 и x20 , лежащие на аттракторе, отстоят одна от другой на расстояние d0. Со временем это расстояние меняется dt = | x1t – x2t |.
Если аттрактор – особая точка, то dt = 0. (узел или фокус)
Если аттрактор – предельный цикл, то dt – периодическая функция времени.
Если аттрактор – странный, то dt = et,> 0.
Когда величина собственного числа характеризует аттрактор?
Чтобы величина характеризовала аттрактор, надо рассматривать бесконечно близкие траектории и среднюю скорость их разбегания на большом интервале времени.
( x10, ) = lim lim [(1/t) ln (dt/d0)], . (3)
t, d00
- вектор от x10 до x20
Выбирая различные точки х10 и x20 , можно получать разные числа .
В 1968 г. В. Оселедец показал, что при весьма общих условиях почти все точки х10 и x20 в окрестности странного аттрактора в N-мерной динамической системе будут давать один и тот же набор ляпуновских показателей 1, 2,… N.
- характеризует изменение длины отрезка dt.= |x1t – x2t |.
Изменение площади треугольника с вершинами х1t, х2t, х3t пропорционально
exp (1 + 2)t.
1 - характеризует изменение длины d1.= |x1t – x2t |,
2 - изменение длины d2.= |x2t – x3t|.
Изменение N-мерного объема пропорционально
exp (1 + 2 + N)t.
N-мерный объем малого элемента в фазовом пространстве N-мерной диссипативной системы для аттракторов сокращается
i < 0.
1
i N
1.6 Достоверный прогноз разбегания близких вначале траекторий во времени для нелинейных систем.
Если аттрактор точка или цикл, то, наблюдая за системой достаточно долго, можно дать достоверный прогноз даже, если хt известен с некоторой ошибкой. Ведь dt не будет расти.
Положительные ляпуновские показатели и связанная с этим чувствительность к начальным данным заставляют по-иному смотреть на саму возможность предсказания явлений природы. У странного аттрактора через время 1/ две близкие вначале траектории с течением времени перестанут быть близкими.
Существуют фундаментальные ограничения на возможность прогнозов в нелинейных системах.