- •4.5 Антиинтуитивное поведение.
- •9.5 Рамки экспериментов с моделью.
- •3. Уравнение Ресслера
- •3.1 Получение характеристического уравнения третьего порядка для уравнения, заданного в отклонениях от точки равновесия, из якобиана.
- •3.3 Условие для определения вида собственных значений характеристического уравнения третьего порядка.
- •2. Гамильтонова форма уравнений динамических систем
- •2.1 Декартова система координат.
- •2.2 Гамильтонова система координат.
- •3.1 Условие резонанса.
- •4. Консервативные динамические системы
- •4.1 Огромный класс объектов классической динамики – консервативные системы.
- •4.2 Инерциальная система отсчета. Возмущающих сил нет. Три закона сохранения. Обратимость времени.
- •4.4 Условие Лиувилля для консервативных систем.
- •1.1 Детальное качественно исследование этого уравнения: установившиеся режимы и асимптотическое поведение.
- •1.2 Аттракторы. Число и типы аттракторов. Области притяжения аттракторов.
- •2.1 Постановка задачи.
- •2.2 Исследование модели в линейном приближении.
- •2.3 Влияние параметра.
- •2.4 Рождение предельного цикла. Задача Коши.
- •2.5 Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.
- •2.6 Изменение концентраций по длине реактора.
- •1.1 Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы. 2 Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.
- •1.6 Достоверный прогноз разбегания близких вначале траекторий во времени для нелинейных систем.
- •2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы
- •2.7 Ляпуновкие показатели - наиболее эффективно и просто вычисляемые характеристики динамического хаоса. Объясните.
- •3.Фракталы
- •3.1 Объекты с дробной размерностю.
- •3.2 Какова размерность странных аттракторов? – дробная
- •3.3 «Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.
- •1. Теория катастроф
- •1.1 Потенциальные функции катастроф. Условия критического состояния.
2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы
2.1 Странные аттракторы не обладают свойством устойчивости. Что это значит?
пусть x0 – любое малое отклонение в начале траектории, тогда
||x(t, x0) – x(t, x0 + x0)|| et||x0||, > 0. (2)
Отсюда следует, что при t T будет теряться какая-либо информация о положении системы dx/dt = F(x) в фазовом пространстве. Такой вывод означает, что в классическом смысле задачи, связанные с изучением странных аттракторов, не корректны.
Причина неутсойичвочти является физическоне явление динамического хаоса.
2.2 Информация о положении системы в фазовом пространстве со временем теряется? - Да
2.3 Задачи изучения странных аттракторов некорректны. Почему?
При t T будет теряться какая-либо информация о положении системы dx/dt = F(x) в фазовом пространстве. В корректных задачах теоремы существования и единственности решений выполняются на конечном интервале 0tT. Необходимо, чтобы существовала некоторая величина, которая гарантировала бы близость траекторий при 0t.
2.4 Динамический хаос – математический образ установившегося хаотического поведения.
Странные аттракторы являются математическим образом установившегося хаотического поведения в динамических системах
Динами́ческий ха́ос — явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами.
Причиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.
Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области.
После такого перемешивания бессмысленно говорить о координате частицы, но можно найти вероятность её нахождения в некоторой точке.
Примерами хаотических динамических систем могут являться подкова Смейла и преобразование пекаря.
Обратным, в некотором смысле, к динамическому хаосу является динамическое равновесие и явления гомеостаза.
Существуют фундаментальные ограничения на возможность прогнозов в нелинейных системах. Какие? Почему?
Если аттрактор точка или цикл, то, наблюдая за системой достаточно долго, можно дать достоверный прогноз даже, если хt известен с некоторой ошибкой. Ведь dt не будет расти.
Положительные ляпуновские показатели и связанная с этим чувствительность к начальным данным заставляют по-иному смотреть на саму возможность предсказания явлений природы. У странного аттрактора через время 1/ две близкие вначале траектории с течением времени перестанут быть близкими.
Существуют фундаментальные ограничения на возможность прогнозов в нелинейных системах.
Странность странных аттракторов: сложная структура, обладающая масштабной инвариантностью. Что это значит?
В мелком масштабе они выглядят также, как в крупном.
Для диссипативных систем, перешедших в хаотический режим, характерно возникновени в их фазовом пространстве страных аттакторов
Режим странного аттрактора: область положений равновесия «притягивает» траектории; траекториине стремятс асимптотически кэти точкам, а вращатся вокруг них, перескакивя с одной спирали на другую.
Время, проведенное вблизи того или другого положения равновесия являетсясовершенно случайным.Система демонстрирует большую чувствительностьк начальным усовиям.↓«Эффект бабочки»